一阵染料被注入河道以后，颜色会沿着水流向下游移动。它不会在每个位置独立地“重新计算”，而是把上游某一刻留下的信息带到下游。偏微分方程

$$u_t+c u_x=0$$

正好把这件事写成了数学语言：$u$ 是被搬运的浓度、温度或信号，$c$ 是传播速度。真正要找的不是一个孤立的数，而是每个时空点 $(x,t)$ 应该回到初始线上的哪一个位置取值。

本章围绕一条主线展开：把二维时空中的方向导数认出来，再沿着这个方向把 PDE 降成 ODE。你会看到，特征线不是画图技巧，而是方程告诉信息“沿哪条路走”的结果。速度为正时信息从左向右，速度为负时从右向左；有源项时，沿途还会不断累积新的贡献。到了速度依赖于 $u$ 的拟线性方程，原本平行的特征可能挤到一起，经典解就会失效。

1. 从链式法则找出信息方向

先看时空平面中的一条曲线。用参数 $s$ 标记曲线上的位置；$s$ 不必是弧长，写成

$$t=t(s),\qquad x=x(s),\qquad U(s)=u(x(s),t(s)).$$

链式法则给出

$$\frac{dU}{ds} =u_x(x(s),t(s))\frac{dx}{ds} +u_t(x(s),t(s))\frac{dt}{ds}.$$

这样一来，偏导数的组合就有了几何含义。只要让曲线的切向量 $(dx/ds,dt/ds)$ 与 PDE 中 $u_x,u_t$ 前面的系数相匹配，就能把偏导数的组合变成沿曲线的普通导数。

一阶拟线性方程的特征系统

考虑二维时空中的一般一阶拟线性方程

$$a(x,t,u)u_x+b(x,t,u)u_t=d(x,t,u).$$

取曲线满足

$$\frac{dx}{ds}=a(x,t,U),\qquad \frac{dt}{ds}=b(x,t,U),\qquad \frac{dU}{ds}=d(x,t,U).$$

为什么这三条方程有效？把前两条代入链式法则：

$$\frac{dU}{ds} =u_x\frac{dx}{ds}+u_t\frac{dt}{ds} =a(x,t,u)u_x+b(x,t,u)u_t.$$

原 PDE 说右侧等于 $d(x,t,u)$，而曲线上 $U=u(x(s),t(s))$，所以恰好得到第三条方程。于是一个一阶 PDE 被改写成三条耦合的一阶 ODE。

若方程写成更常见的线性形式

$$A(x,t)u_t+B(x,t)u_x+C(x,t)u=F(x,t),$$

就可以取

$$\frac{dt}{ds}=A(x,t),\qquad \frac{dx}{ds}=B(x,t),\qquad \frac{dU}{ds}=F(x,t)-C(x,t)U.$$

这里的 $C U$ 没有消失，而是变成了特征线上的衰减或增长项；$F$ 则变成沿路加入的源。

初值可以写在任意曲线上吗

把数据曲线写成 $\Gamma(r)=(x_0(r),t_0(r))$，上面的值为 $g(r)$。从每个数据点出发解特征系统，得到 。仅仅解出这些 ODE 还不够：要把 写成 ，必须能由位置 找回参数 。

在初始参数 $s=0$ 处，位置映射的 Jacobian 为

$$J_0=\det\begin{pmatrix}x_0'(r)&a(x_0,t_0,g)\\ t_0'(r)&b(x_0,t_0,g)\end{pmatrix} =x_0'(r)b-t_0'(r)a.$$

假设系数和初始数据具有所需的连续可微性。若 $J_0\ne0$，ODE 的局部解与逆函数定理一起保证能在该数据点附近构造唯一的经典解。这就是“非特征数据”的含义：数据曲线的切线不能与特征方向平行。它是局部条件，没有保证解永远光滑。

例如 $u_t+u_x=0$ 的特征是 $x-t=\xi$。若把数据给在 $$ 上，，整条数据曲线恰好是一条特征。要求 与沿特征恒定直接冲突；改成 虽然相容，却只确定 ，无法决定其他 。相容与足够确定解，是两件不同的事。

传输方程的方向场

对

$$u_t+c(x,t)u_x=0,$$

令 $dt/ds=1$，则

$$\frac{dx}{dt}=c(x,t),\qquad \frac{dU}{dt}=0.$$

因此 $U$ 沿特征线保持不变。若 $c$ 是常数，特征线就是

$$x(t)=\xi+ct,$$

其中 $\xi=x(0)$ 是它在初始线 $t=0$ 上的脚点。

当 $c>0$，脚点在目标点 $(x,t)$ 的左侧：$\xi=x-ct$；当 $c<0$，脚点在右侧，公式仍然是 ，只是数值方向发生了变化。这个统一公式比“凭图猜左右”可靠。

2. 初值、依赖域与唯一性

给定初值

$$u(x,0)=f(x),$$

要计算时刻 $t>0$ 的 $u(x,t)$，沿特征反向走到 $t=0$。常速传输的特征满足 $x=\xi+ct$，所以

$$\xi=x-ct, \qquad u(x,t)=f(x-ct).$$

点 $(x,t)$ 所依赖的初始点就是 $x-ct$；在初始线上，所需数据只有这一个脚点的值。若初值只给在区间 $[a,b]$ 上，那么只有当 $x-ct\in[a,b]$ 时，初值能够决定这个点；这会立刻告诉你哪些边界数据必须补上。

例如在空间区间 $0<x<L$ 上，若 $c>0$，左边界 $x=0$ 是入口，信息从那里流入，所以需要给 $u(0,t)$；右边界是出口，方程会把内部信息带出去，不应额外强行给一个独立的边界值。若 ，角色完全反过来：右边界是入口，需要给 。

先猜一个目标点会取到初值还是入口值，再在实验中移动目标点和时间。把速度的符号反过来，入口也随之改变；打开衰减和源项，沿特征的值就不再恒定。观察“脚点位置”和“沿途数值”这两个不同的变化。

这个判断也解释了为什么“两个端点都给边界值”不是传输方程的默认做法。边界条件不是装饰，它必须放在信息进入区域的那一侧。把入口选错，通常会造成过度指定；把入口漏掉，通常会造成解不唯一。

1

在 0<x<L 上考虑 u_t-3u_x=0。信息从哪一侧进入计算区域？

A.左边界 x=0B.右边界 x=LC.两侧同时进入D.无法由方程判断

入口数据怎样接进解里

在半直线 $x>0$ 上求解 $u_t+2u_x=0$，设初值为 $f(x)=1+x$，入口值为 。反向特征经过 ，它先碰到哪里，决定用哪一份数据。

若 $x>2t$，脚点 $x-2t>0$ 落在初始线上，故 $u=1+x-2t$。若 $$，直线先碰到左边界，碰到时刻是 ，故 。于是

$$u(x,t)=\begin{cases}1+x-2t,&x\ge2t,\\1+t-x/2,&0<x<2t.\end{cases}$$

两式在 $x=2t$ 上都等于 $1$，因为 $f(0)=g(0)$。但是两侧的空间导数分别为 $1$ 和 $-1/2$，所以解在那里连续而非连续可微。角点的函数值兼容，只排除了跳跃，并没有自动保证更高阶的兼容性。

3. 常速传输：形状被搬走，不会自己变形

直接公式与检查方法

对

$$u_t+c u_x=0,\qquad u(x,0)=f(x),$$

公式为

$$u(x,t)=f(x-ct).$$

不要只在初值处代入一次就结束。至少做三项检查：

• 把 $t=0$ 代回去，确认得到 $f(x)$；
• 计算 $u_t=-c f'(x-ct)$ 与 ，确认 ；

例题一：高斯脉冲向右传播

设一条长直管中的信号满足

$$u_t+2u_x=0, \qquad u(x,0)=\exp\!\left[-\left(\frac{x-1}{0.5}\right)^2\right].$$

求 $u(x,t)$，并说明 $t=2$ 时脉冲峰值在哪里。

这里初值是一个以 $x=1$ 为中心的高斯脉冲。方程的速度是 $c=2$，所以应沿 $x=\xi+2t$ 的直线回溯，而不是做分离变量。

把结果代回 PDE 还能检查符号：令 $z=x-2t-1$，则 $u=e^{-(z/0.5)^2}$，有 ，所以确实满足 。如果你写成 ，峰值会向左走，那是速度符号读反了。

负速度不是换一套公式

若 $u_t-1.5u_x=0$，统一公式给出 $u(x,t)=f(x+1.5t)$。初值中的一个峰在 出发后位于 ，所以向左移动。公式里出现加号并不表示速度变成正的；真正的速度仍是 。

4. 有源传输：沿特征线边走边积累

考虑

$$u_t+c u_x+\lambda u=g(x,t), \qquad u(x,0)=f(x),$$

其中 $c,\lambda$ 为常数。特征仍满足 $x=\xi+ct$，但 $U(t)=u(\xi+ct,t)$ 不再保持常数。链式法则给出

$$\frac{dU}{dt}=u_t+c u_x=g(\xi+ct,t)-\lambda U.$$

于是沿每条特征线得到线性 ODE

$$U'(t)+\lambda U(t)=g(\xi+ct,t), \qquad U(0)=f(\xi).$$

乘以积分因子 $e^{\lambda t}$：

$$\frac{d}{dt}\big(e^{\lambda t}U(t)\big) =e^{\lambda t}g(\xi+ct,t).$$

从 $0$ 积分到 $t$，再乘回 $e^{-\lambda t}$，得到

$$U(t)=e^{-\lambda t}f(\xi) +\int_0^t e^{-\lambda(t-\tau)}g(\xi+c\tau,\tau)\,d\tau.$$

目标点的脚点是 $\xi=x-ct$，所以

$$u(x,t)=e^{-\lambda t}f(x-ct) +\int_0^t e^{-\lambda(t-\tau)}g(x-c(t-\tau),\tau)\,d\tau.$$

第一项是初始信号沿特征传播并衰减后的贡献，积分项是每个中间时刻加入的源经过剩余时间衰减后的总和。

例题二：持续生成与衰减

求解

$$u_t+u_x+u=2,\qquad u(x,0)=e^{-x^2}.$$

这里 $c=1,\lambda=1,g=2$。由上式

$$u(x,t)=e^{-t}e^{-(x-t)^2} +\int_0^t e^{-(t-\tau)}2\,d\tau.$$

计算积分

$$\int_0^t 2e^{-(t-\tau)}d\tau =2(1-e^{-t}),$$

因此

$$u(x,t)=e^{-t-(x-t)^2}+2(1-e^{-t}).$$

检查初值时，$t=0$ 给出 $e^{-x^2}$；当 $t$ 很大，移动的高斯项和 $e^{-t}$ 都趋于零，解趋近于源项与衰减平衡形成的常数 。如果把源项误当成沿特征保持不变，就会漏掉积分中的时间累积，也无法得到这个长期状态。

速度随位置变化：宽度也会变化

对 $u_t+2xu_x=-u$，设 $u(x,0)=1/(1+x^2)$。沿特征有

$$x'=2x,\qquad U'=-U,\qquad x(0)=\xi,\quad U(0)=\frac1{1+\xi^2}.$$

因此 $x=\xi e^{2t}$，$U=e^{-t}/(1+\xi^2)$。反解 ，得到

$$u(x,t)=\frac{e^{-t}}{1+x^2e^{-4t}}.$$

这里波形会展宽，峰值则按 $e^{-t}$ 衰减，已经不是刚性平移。验算时令 $z=xe^{-2t}$，有 $u=e^{-t}f(z)$，于是 、，两项相加正好等于 。脚点映射的导数是 ，从不同脚点出发的特征不会相交。 对应固定的特征 ；直接解 ODE 能保留它，草率除以 反而可能漏掉这条曲线。

5. 分段初值：解可以分段，但信息仍沿同一方向走

分段函数最容易暴露脚点是否找对。考虑三角形初值

$$f(\xi)= \begin{cases} 0,&\xi<-1,\\ \xi+1,&-1\le \xi<0,\\ 1-\xi,&0\le \xi<1,\\ 0,&\xi\ge 1. \end{cases}$$

它在 $[-1,1]$ 上有一个峰值为 $1$ 的三角脉冲。拐角处没有经典导数；下面的解在各光滑区域内满足 PDE，整体按分段解或弱解理解，不能把它叫作处处可微的经典解。

例题三：分段三角脉冲向左搬运

求解

$$u_t-u_x=0,\qquad u(x,0)=f(x),$$

并写出 $t=1$ 时 $x=0$ 与 $x=2$ 的函数值。

速度是 $c=-1$，所以脚点为 $\xi=x+t$，解是 $u(x,t)=f(x+t)$。为了得到完整的分段表达式，只需把 中的自变量 换成 ，同时把每个分界点减去 ：

$$u(x,t)= \begin{cases} 0,&x<-1-t,\\ x+t+1,&-1-t\le x<-t,\\ 1-x-t,&-t\le x<1-t,\\ 0,&x\ge 1-t. \end{cases}$$

这里的两个数值都为零并不说明计算没有信息。三角脉冲的支撑在 $t=1$ 时已经移动到 $[-2,0]$；例如 $x=-1$ 的脚点是 $0$，所以 $u(-1,1)=1$，峰值也确实从 移到 。遇到分段初值，先画出分界点的特征线，通常比直接写四段函数更不容易错。

6. 特征相交与拟线性方程的失效

对常速线性方程，特征线 $x=\xi+ct$ 彼此平行，不会相交。若速度是 $c(x,t)$，在速度场足够光滑、ODE 解唯一的范围内，从不同初始点出发的特征也不能在同一个时空点相交；否则反向积分会违反 ODE 唯一性。

真正会发生相交的是速度依赖于未知量的拟线性方程。例如

$$u_t+u u_x=0,\qquad u(x,0)=1-x.$$

初始点 $\xi$ 上的值是 $u_0(\xi)=1-\xi$。沿特征 $U$ 保持不变，所以速度也是 $1-\xi$，特征为

$$x=\xi+(1-\xi)t= t+\xi(1-t).$$

对脚点参数求导：

$$\frac{\partial x}{\partial \xi}=1-t.$$

当 $0\le t<1$ 时，脚点映射仍可逆；到 $t=1$，所有特征同时经过 $(x,t)=(1,1)$，却携带不同的初值，单值经典解无法通过这个时刻。这个特殊的线性初值中，$t>1$ 时映射又是可逆的，所以不能笼统地说“之后每个时刻都出现多值”。真正的障碍是无法把 的经典解光滑延续过 。

这不是计算粗心造成的，而是模型产生了梯度爆炸。对隐式表达式求导也能看见这一点：由 $x=t+\xi(1-t)$ 得

$$\frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac1{1-t}, \qquad u_x=u_0'(\xi)\frac{\partial \xi}{\partial x} =-\frac1{1-t},$$

所以 $u_x$ 在 $t\uparrow1$ 时发散。此处只把相交作为特征法的边界提醒，不进入弱解、激波和熵条件的完整理论；那些内容需要单独的守恒律框架。

把下方实验切到压缩初值 $1-x$，逐步靠近 $t=1$，看脚点间距、映射导数与空间梯度怎样一起变化。再换成扩张初值 $1+x$：同样是非线性速度，为什么不发生正时间的碰撞？临界时刻以后显示的是特征的几何延长，不是跨过奇点的经典解。

7. 做题时怎样选路

看到一阶 PDE，可以按下面的判断组织草稿，而不是立即套一个记忆公式：

1. 把 $u_t,u_x$ 的系数读出来，写特征系统；
2. 判断特征从哪条数据曲线进入目标点，找脚点；
3. 沿特征看 $U$ 是常数、衰减，还是满足带源 ODE；
4. 用初值、边界值和 PDE 各检查一次；
5. 若速度含 $u$，检查脚点到目标点的映射是否仍可逆。

第三步很关键。无源传输适合直接搬运；有 $\lambda u$ 时用积分因子；有非线性速度时先参数化特征，不要把 $c$ 当成预先给定的常数。

练习：从理解到迁移

理解

1. 判断函数 $u(x,t)=\cos(x-4t)$ 是否满足 $u_t+4u_x=0$，并写出它在 的初值。

查看解答

令 $z=x-4t$，则 $u_x=-\sin z$，$u_t=4\sin z$，所以 。初值为 。也可以直接看成 ，说明波形以速度 向右移动。

2. 对 $u_t-2u_x=0$，初值中的点 $\xi=3$ 在时刻 $t=1.5$ 位于哪里？目标点 依赖初值的哪个位置？

查看解答

速度是 $c=-2$，所以特征为 $x=\xi-2t$。从 $\xi=3$ 出发，$t=1.5$ 时 。反向公式为 ，在 处得到 。

应用

3. 求解

$$u_t+3u_x=0,\qquad u(x,0)= \begin{cases}1,&0\le x\le 2,\\0,&\text{其他 }x. \end{cases}$$

并描述 $t=1$ 时非零区间。

查看解答

这是常速无源传输，选特征线法而不是分离变量。解为 $u(x,t)=f(x-3t)$。非零条件是 $0\le x-3t\le2$，即 $3t\le$。因此 时非零区间为 ，矩形脉冲整体向右移动 3 个单位，幅值不变。跳跃沿特征移动；这是传输方程的弱解，在跳跃线上不能逐点代入经典偏导数。

4. 求解

$$u_t+2u_x+u=0,\qquad u(x,0)=x^2.$$

检查 $u(1,1)$。

查看解答

这是无源但有衰减项的传输方程，沿特征有 $U'+U=0$，不是 $U'=0$。脚点为 $\xi=x-2t$，所以 。代入 得 。

迁移

5. 在半无限区间 $x>0$ 上考虑

$$u_t- u_x=0.$$

已知初值 $u(x,0)=f(x)$（$x>0$），但没有给边界值。对哪些点 $(x,t)$，初值已经足够决定解？哪些点还需要 $x=0$ 的边界数据？请画出反向特征说明。

查看解答

速度是 $c=-1$，反向脚点为 $\xi=x+t$。当 $x>0,t\ge0$ 时，$\xi =x+t>$，所以每个目标点的反向特征都落在初始线上，初值已经足够决定 ，不需要额外边界数据。这里信息向左走，但从初始线看，所有 的点仍能追溯到更右侧的初值；在半无限域中右侧初值不断提供信息。

6. 对拟线性方程

$$u_t+(1+u)u_x=0,\qquad u(x,0)=1+x,$$

写出从脚点 $\xi$ 出发的特征，并判断特征是否会在有限时间相交。

查看解答

沿特征 $U$ 保持常数，速度为 $1+U=1+u_0(\xi)=2+\xi$。所以 $$。对 求导得 ，在 始终不为零，特征不会在正时间相交。这个结论来自脚点映射保持可逆，而不是来自“拟线性方程一定会相交”的误解。

7

对 u_t+c u_x=0，若 c<0，则解 u(x,t)=f(x-ct) 中的波形向左传播。

正确错误

8

关于有源传输方程 u_t+c u_x+λu=g，下列哪些说法正确？

A.沿特征得到 U'+λU=gB.初值贡献会乘上 e^{-λt}C.源项只需要在 t=0 代入一次D.源项贡献应沿特征对时间积分

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9

对 u_t+5u_x=0，目标点 (x,t) 反向追踪到初始线的脚点是 ____。

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10. 已知 $u_t+3xu_x=-2u$、$u(x,0)=\cos x$。求解并解释相邻特征的间距怎样变化。

查看解答

$x=\xi e^{3t}$，$U=e^{-2t}\cos\xi$，所以 $u=e^{-2t}\cos$。两个脚点之差为 时，时刻 的间距为 ，保持符号并逐渐增大。空间展宽与数值衰减由两条不同的 ODE 控制。

11. 对 $u_t+u_x=0$，把数据写在 $x_0(r)=2r,t_0(r)=r$ 上，令 。求解，并与把数据给在 上比较。

查看解答

$J_0=2\cdot1-1\cdot1=1\ne0$，数据曲线非特征。特征不变量 $$ 在数据曲线上等于 ，所以 。若改成 ，同一条特征被要求取不同值，除去只含单个参数点的情形，不能得到这样的经典解。