同样是一条弯曲的剖面，它可以表示杆上的温度，也可以表示弦的位移。放开以后，前者会逐渐平滑，后者却能往复振动。仅仅画出初始形状，还没有把问题说全；我们要知道它满足哪个方程，端点又受到怎样的约束。

若只研究薄板最后的稳态，还会遇到第三种问题：没有时间演化，内部温度由边界共同约束。读 PDE 时，我建议你先把未知函数想成一张铺在变量空间上的表：每个位置、每个时刻都有一个值；方程规定这张表在相邻位置和相邻时刻之间必须怎样弯曲、传播或保持平衡。

我们从式子中认出未知量与最高阶导数，再追问数据该放在哪里。二维二阶常系数方程的分类可以用一个小矩阵解释，不过判断解会不会扩散或传播，还必须结合低阶项和数据，不能只看一个标签。

从一张变量表读 PDE

未知量不一定是一个数字

常微分方程里，我们常把未知量写成 $y(t)$：输入一个时间 $t$，输出一个数。偏微分方程里的未知量通常是函数

$$u=u(x,t),$$

它有两个独立变量。比如 $u(x,t)$ 可以表示金属杆在位置 $x$、时刻 $t$ 的温度。这里：

• $u$ 是未知函数；
• $x$ 和 $t$ 是独立变量；
• $u_x,u_t,u_{xx},u_{xt}$ 是对不同变量求偏导得到的导数。

“独立变量”不是说它们彼此没有关系，而是说我们把它们当作输入坐标分别改变。求 $u_x$ 时固定 $t$，求 $u_t$ 时固定 $x$。

阶数看最高阶导数

PDE 的阶数是方程中出现的最高阶偏导数的阶数。例如

$$u_t-3u_{xx}=0$$

虽然时间方向只有一阶导数，但空间方向有二阶导数，所以方程的总阶数是二阶。

再看

$$u_{tt}-4u_{xt}+u_x=t$$

也含有二阶导数 $u_{tt}$ 和 $u_{xt}$，因此是二阶方程。混合偏导 $u_{xt}$ 仍然是二阶，因为总共求了两次导数。

线性、齐次和主部是三个不同问题

把方程写成

$$L[u]=f(x,t)$$

之后，可以分别问三件事。

线性。 $u$ 及其各阶导数只以一次幂出现，彼此不相乘，且系数只依赖独立变量。例如

$$u_{tt}-c^2u_{xx}+a(x,t)u_x+b(x,t)u=f(x,t)$$

是线性的。系数可以变化，仍然线性。若出现 $u^2$、$u\,u_x$ 或 $\sin u$，就不是线性方程。

齐次。 右边 $f$ 为零时，线性方程是齐次的；$f\ne0$ 时是非齐次的。齐次性不等于“没有低阶项”：

$$u_t-u_{xx}+5u=0$$

仍然是齐次线性方程。

主部。 二阶方程中，最高阶导数项组成主部。例如

$$u_{tt}-4u_{xt}+2u_{xx}+7u_t-u=0$$

的主部是

$$u_{tt}-4u_{xt}+2u_{xx}.$$

分类主要看主部。低阶项会改变具体解，却不改变这个二阶常系数方程的椭圆/抛物/双曲性格。

一个读式子的完整示范

考虑

$$2u_{xx}-6u_{xt}+u_{tt}+x u_x+4u=\sin t.$$

它的未知函数是 $u(x,t)$，独立变量是 $x,t$。最高阶导数是二阶，所以它是二阶 PDE。$u$ 和所有导数只一次出现，没有相乘，因此线性；右端不是零，因此非齐次；主部为

$$2u_{xx}-6u_{xt}+u_{tt}.$$

若把交叉项按 $2B u_{xt}$ 记号书写，主部的系数是 $A=2$、$B=-3$、$C=1$。后面会看到，分类只需先看这三个数。

二阶主部如何分出三种性格

采用哪一种交叉项记号

为避免判别式差一个 $4$，本章统一把二维二阶主部写成

$$A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}.$$

于是定义

$$\Delta=B^2-AC.$$

如果你看到的是 $a u_{xx}+b u_{xy}+c u_{yy}$，要先换成 、、，因此

$$\Delta=\left(\frac b2\right)^2-ac=\frac{b^2-4ac}{4}.$$

所以传统写法中的 $b^2-4ac$ 和这里的 $B^2-AC$ 给出完全相同的分类，只是交叉项的记号不同。

从坐标变换推导判别式

为了看出特征方向从哪里来，令一个新坐标为 $\xi=y-mx$，另一个坐标为 $\eta=x$，并把同一个未知函数写成 $u(x,y)=v(\xi,\eta)$。变换的 Jacobian 不为零，因此这是一组合法坐标。链式法则给出

$$\partial_x=-m\partial_\xi+\partial_\eta,\qquad \partial_y=\partial_\xi.$$

代入二阶主部，逐项展开：

$$A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy} =(Am^2-2Bm+C)v_{\xi\xi}+2(B-Am)v_{\xi\eta}+A v_{\eta\eta}.$$

当 $Am^2-2Bm+C=0$ 时，$v_{\xi\xi}$ 项消失。对应的直线 $$，即 ，就是特征线。现在可以看清楚，斜率方程中的负号来自新坐标的 ，并不是把沿曲线的二阶导数随意比对系数得到的。

若 $A\ne0$，这是关于斜率 $m$ 的二次方程，判别式为 $4(B^2-AC)$。若 $A=0$，还要补上斜率表示遗漏的竖直方向。更稳妥的写法是对切向量 检查

$$A(dy)^2-2B\,dx\,dy+C(dx)^2=0.$$

例如 $A=C=0,B=1$ 时，主部是 $2u_{xy}$，仍然是二阶双曲型；特征方向为水平和竖直。只有 $A=B=C=0$ 时才没有二阶主部，需要重新判断阶数。下表默认三者不全为零。

因此决定根的性质的正是 $\Delta$ 的符号：

$$\begin{array}{c|c|c} \Delta & \text{特征方向} & \text{分类}\\ \hline \Delta>0 & \text{两条不同的实方向} & \text{双曲型}\\ \Delta=0 & \text{一条重复的实方向} & \text{抛物型}\\ \Delta<0 & \text{没有实方向} & \text{椭圆型} \end{array}$$

这不只是一个代数标签。波动方程具有两族特征，热方程具有退化的二阶主部，Laplace 方程则没有实特征方向。它们是三类的典型模型。仅有退化的二阶主部还不自动意味着扩散：热方程的一阶时间项和正确的系数符号同样不可少。

用矩阵看同一个结论

主部对应的二次型应当作用在方向变量上：

$$Q(p,q)=Ap^2+2Bpq+Cq^2 =\begin{pmatrix}p&q\end{pmatrix}M\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}.$$

这里的 $p,q$ 是方向分量；对特征线，应代入它的法向分量 $(p,q)=(-dy,dx)$，才能回到刚才的切向条件。它们不是 $u_x,u_y$。若把它们换成导数，得到的是梯度的二次表达式，通常会变成非线性量，并不等于原来的线性二阶算子。相应的系数矩阵

$$M=\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}$$

的行列式是 $AC-B^2=-\Delta$。当 $\Delta<0$ 时，$M$ 的两个特征值同号，像 $u_{xx}+u_{yy}$ 这样的椭圆结构；当 时，两个特征值异号，像 这样的双曲结构；当 时，一个方向退化，形成抛物结构。

这也解释了为什么分类只看主部：坐标旋转、拉伸或剪切会改变系数的外观，却不会凭空改变这个二次型的正负结构。

三个快速分类

Laplace 方程：

$$u_{xx}+u_{yy}=0.$$

这里 $A=C=1,B=0$，所以 $\Delta=-1<0$，是椭圆型。

波动方程：

$$u_{tt}-c^2u_{xx}=0.$$

把 $x,t$ 当两个坐标，取 $A=-c^2,B=0,C=1$，于是 $\Delta=c^2>0$，是双曲型。

热方程：

$$u_t-\kappa u_{xx}=0,\qquad \kappa>0.$$

如果补上一个没有 $u_{tt}$ 的二阶主部记号，$A=-\kappa,B=0,C=0$，则 $\Delta=0$，属于抛物型。它在时间方向是一阶，在空间方向是二阶；“抛物型”描述的是主符号退化，而不是说 方向也必须出现二阶导数。

1

方程 $u_{xx}+4u_{xy}+3u_{yy}=0$ 按本章的记号如何分类？

A.椭圆型B.抛物型C.双曲型D.无法分类

特征线：把传播方向画出来

对一阶输运方程

$$a u_x+b u_y=0,$$

若沿曲线 $(x(s),y(s))$ 取 $x'=a,y'=b$，则链式法则给出

$$\frac d{ds}u(x(s),y(s))=a u_x+b u_y=0.$$

所以 $u$ 沿这些曲线保持不变。这些曲线就是特征线。常系数时它们是直线；变系数时，方向场会弯曲。

例如

$$y u_x+x u_y=0$$

的特征曲线满足

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}.$$

两边乘以 $y\,dx$，得到 $y\,dy=x\,dx$，积分为

$$\frac{y^2-x^2}{2}=K,$$

也就是一族双曲线 $y^2-x^2=\text{常数}$。方程说的是 $u$ 在每一条这样的双曲线上保持常数。

二阶双曲方程的特征方向是同一件事的更高阶版本。对波动方程，它们会成为向左、向右传播的两族直线；如果初始数据放在一条非特征的时间线上，就能沿这些方向把信息带入未来。

把实验调成 A=C=0、B=1。只看两个纯二阶系数，会不会误以为方程降阶了？观察水平和竖直两族特征，再把 B 也调成零，比较这两种情况。另一条值得走的路径是固定 A=C=1，逐渐增加 B：特征方向什么时候出现，临界时为什么只剩一族？

三类数据：值、法向变化率与时间切片

PDE 通常不会只写一条方程就结束。方程规定局部变化的关系，数据规定我们从哪里开始、边界上发生什么。

初值放在时间切片上

若问题描述“从某个时刻开始如何演化”，常把初值写在 $t=0$：

$$u(x,0)=g(x).$$

它给出整条初始空间切片上的函数，而不是一个点的数。对热方程，时间一阶，通常一条初值函数就够：

$$u_t=\kappa u_{xx},\qquad u(x,0)=g(x).$$

对波动方程，时间二阶，需要位移和初速度两条初值：

$$u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x).$$

只给 $f$ 而不告诉 $u_t$，就像只知道琴弦此刻的形状，却不知道它正往哪个方向运动。

Dirichlet 边界条件给函数值

在空间区域 $\Omega$ 的边界 $\partial\Omega$ 上，Dirichlet 条件给出

$$u|_{\partial\Omega}=h.$$

对一根区间 $0<x<L$ 的杆，它可能是

$$u(0,t)=h_0(t),\qquad u(L,t)=h_L(t).$$

物理上常见的含义是边界温度被恒温浴精确控制。对 Laplace 方程，它是在整个空间边界上给出电势、温度或位势的值。

Neumann 边界条件给法向导数或通量

令 $n$ 是边界外法向方向，Neumann 条件给出

$$\frac{\partial u}{\partial n}=h.$$

它描述的是穿过边界的变化率。热传导中的物理外向热流密度为 $-k\,\partial_n u$，其中 $k>0$ 是热导率；它与热扩散率 $\kappa=k/(\rho c_p)$ 不是同一个量。绝热边界没有外向热流，因此

$$\partial_n u=0.$$

在区间端点，法向方向的符号要小心：左端外法向是负的 $x$ 方向，右端外法向是正的 $x$ 方向。写成 $u_x(0,t)$ 和 $u_x(L,t)$ 时，要先说明采用的是坐标方向导数还是外法向导数，不能把“法向”自动当成同一个 。

初边值问题把两类位置同时交代

热方程在 $0<x<L,t>0$ 上的典型初边值问题是

$$\begin{cases} u_t=\kappa u_{xx},\\ u(x,0)=g(x),\\ u(0,t)=h_0(t),\quad u(L,t)=h_L(t). \end{cases}$$

第一行在内部时空区域成立，第二行在初始线 $t=0$ 上成立，第三行在两条空间边界上成立。数据不能随意重复或互相冲突。若追求在角点连续的经典解，至少要有

$$g(0)=h_0(0),\qquad g(L)=h_L(0).$$

如果这两个值不相等，仍可能讨论 $t>0$ 的解或较弱意义下的解，但它不会在初始边界角点同时连续地满足两份数据。

模型一：热方程为何是抛物型

设一根长度为 $L$ 的细杆横截面均匀，$u(x,t)$ 是温度。最基本的无源模型是

$$u_t=\kappa u_{xx},\qquad \kappa>0.$$

读出变量与分类

变量是位置 $x$ 和时间 $t$，未知函数是 $u(x,t)$。它是二阶线性齐次 PDE；若改成 $u_t-\kappa u_{xx}=q(x,t)$，则仍线性但非齐次。把主部写成关于 的形式

$$-\kappa u_{xx}+0\cdot u_{xt}+0\cdot u_{tt},$$

得到 $A=-\kappa,B=0,C=0$，所以 $\Delta=0$，是抛物型。

一项空间形状怎样随时间变化

为了看清“扩散”这个词，试探一个单独的空间模式

$$u(x,t)=X(x)T(t).$$

代入方程：

$$X(x)T'(t)=\kappa X''(x)T(t).$$

在 $X,T$ 不为零的区域除以 $\kappa XT$：

$$\frac{T'}{\kappa T}=\frac{X''}{X}.$$

左边只依赖 $t$，右边只依赖 $x$。如果它们对所有 $x,t$ 相等，就必须等于同一个常数。为让有界杆上的正弦形状随时间衰减，设这个常数是 $-\lambda$，于是

$$X''+\lambda X=0,\qquad T'+\kappa\lambda T=0.$$

两端固定为零时，取 $L=\pi$，边界条件为 $X(0)=X(\pi)=0$。当 $\lambda=n^2$ 时，

$$X_n(x)=\sin(nx),\qquad T_n(t)=e^{-\kappa n^2t}.$$

因此单个模式

$$u_n(x,t)=e^{-\kappa n^2t}\sin(nx)$$

满足热方程和零温边界。直接检查也很清楚：

$$\partial_tu_n=-\kappa n^2e^{-\kappa n^2t}\sin(nx),$$ $$\partial_{xx}u_n=-n^2e^{-\kappa n^2t}\sin(nx),$$

所以 $u_{n,t}=\kappa u_{n,xx}$。频率越高，$n^2$ 越大，衰减越快；细小起伏会先被抹平。

例题 1：从初值和边界读出热问题

考虑

$$\begin{cases} u_t=4u_{xx},&0<x<\pi,\ t>0,\\ u(0,t)=u(\pi,t)=0,&t>0,\\ u(x,0)=3\sin x-\sin(3x),&0\le x\le\pi. \end{cases}$$

说明它的类型，写出满足全部数据的解，并判断哪一部分衰减更快。

这个例子里没有“凭空选出”指数。边界先决定允许哪些空间形状，PDE 再决定每个形状的时间衰减率，初值最后决定各形状的权重。

模型二：波动方程与两条特征方向

绷紧的细线被拨动时，位移 $u(x,t)$ 的理想模型是

$$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad c>0.$$

移到左边得到 $u_{tt}-c^2u_{xx}=0$。按 $(x,t)$ 排列，主部系数可取 ，所以

$$\Delta=0^2-(-c^2)(1)=c^2>0,$$

是双曲型。

用因式分解找到特征线

微分算子可以因式分解：

$$\partial_t^2-c^2\partial_x^2=(\partial_t-c\partial_x)(\partial_t+c\partial_x).$$

令

$$\xi=x-ct,\qquad \eta=x+ct.$$

链式法则给出

$$\partial_t=-c\partial_\xi+c\partial_\eta,\qquad \partial_x=\partial_\xi+\partial_\eta.$$

于是

$$\partial_t^2-c^2\partial_x^2=-4c^2\partial_{\xi\eta}.$$

波动方程变成

$$u_{\xi\eta}=0.$$

对 $\xi$ 积分，得到 $u_\eta$ 只依赖 $\eta$；再次积分可写成

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

第一项沿 $x-ct=\text{常数}$ 的直线移动，速度为 $c$；第二项沿 $x+ct=\text{常数}$ 的直线向相反方向移动。这正是两条特征方向。

若初值为

$$u(x,0)=f(x),\qquad u_t(x,0)=g(x),$$

由

$$F(x)+G(x)=f(x),\qquad -cF'(x)+cG'(x)=g(x)$$

积分并整理，得到波动初值积分公式

$$u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}2+\frac1{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.$$

在点 $(x,t)$，解只使用初始区间 $[x-ct,x+ct]$ 上的数据。时间越久，这个影响区间越宽，但影响仍以有限速度 $c$ 传播。

例题 2：一条初始波形如何移动

取 $c=2$，初位移 $f(x)=\cos x$，初速度 $g(x)=0$。求解并判断 $t=\pi/4$ 时的形状。

系数变化：速度改变，性格不变

把方程改成

$$u_{tt}-9u_{xx}=0$$

时，$c=3$，判别式从 $c^2$ 变为 $9$，仍然大于零，所以仍是双曲型；特征线变成 $x-3t=\text{常数}$ 和 $x+3t=\text{常数}$。系数改变了传播速度，却没有改变“有两条实特征方向”的性格。

更一般地，在

$$A u_{xx}+2B u_{xt}+C u_{tt}=0$$

中改变 $A,B,C$，必须重新算 $\Delta=B^2-AC$。不能只盯着某一个系数说“看起来像波动方程”。例如

$$u_{xx}+2u_{xt}+u_{tt}=0$$

有 $A=C=1,B=1$，所以 $\Delta=0$，它不是双曲型，而是抛物型边界情形；其主部是

$$u_{xx}+2u_{xt}+u_{tt}=(\partial_x+\partial_t)^2u.$$

只有一条重复特征方向。这是一个必须单独处理的退化情况，不能套用两条不同特征线的波动公式。

2

把波动方程 $u_{tt}-c^2u_{xx}=0$ 中的 $c$ 从 $1$ 改成 $3$，会把它变成抛物型方程。

正确错误

模型三：Laplace 方程由边界决定内部

稳态温度、电势或不可压流体的某些势函数常满足

$$u_{xx}+u_{yy}=0.$$

这里没有时间变量，问题不是“从初始状态往前推进”，而是在空间区域 $\Omega$ 内找一个平衡状态。$A=C=1,B=0$，所以 $\Delta=-1<0$，是椭圆型。

一个完整的边值例子

在单位正方形 $0<x<1,0<y<1$ 中，考虑

$$u_{xx}+u_{yy}=0,$$

边界值为

$$u(0,y)=0,\quad u(1,y)=1,\quad u(x,0)=x,\quad u(x,1)=x.$$

猜测 $u(x,y)=x$ 不是靠图形直觉，而是可以逐项检查：

$$u_x=1,\quad u_y=0,\quad u_{xx}=0,\quad u_{yy}=0,$$

所以 $u_{xx}+u_{yy}=0$。在四条边上，$u(0,y)=0$、，上下边则都是 ，完全吻合。

为什么可以把它当作这个边值问题的答案，而不是“一个碰巧满足的解”？对连续边界值的 Laplace 问题，最大值原理告诉我们：在有界连通区域上，边界连续的调和函数，其最大值和最小值都受边界值控制；第 6 章会证明这个结论。因此两个具有同样 Dirichlet 边界值的解之差既调和又在边界为零，只能处处为零，解是唯一的。这里的边界值把内部状态整体钉住了。

Neumann 数据需要整体兼容

如果改为给定外法向导数

$$\partial_n u=h\quad\text{在 }\partial\Omega,$$

对 $\Delta u=0$ 在区域上积分，并使用散度定理：

$$0=\int_\Omega\Delta u\,dA=\int_{\partial\Omega}\partial_nu\,ds=\int_{\partial\Omega}h\,ds.$$

所以所有 Neumann 数据必须满足总通量兼容条件

$$\int_{\partial\Omega}h\,ds=0.$$

即使满足，它在连通区域上只能把 $u$ 确定到一个加法常数：若 $u$ 是解，那么 $u+K$ 的法向导数仍然相同。要得到唯一的数值解，还需要固定一个平均值或一个点的值。

同一个方程，数据位置不同，问题就不同

对本课的三个标准模型，数据可按下面的方式放置。一般方程还需另外检查低阶项与条件，不能仅靠分类标签断言适定性。

• 椭圆型没有时间推进方向，通常给整个空间边界的数据；把一条内部曲线当成“初始时刻”往里推进，通常不是自然的适定设置。
• 抛物型像扩散过程，给初始温度，再给空间边界如何加热或保温。
• 双曲型有有限传播方向，给初始位移和速度；如果空间有边界，还要在入口/端点补上适合的边界条件。

反例：数据在角点打架

考虑热方程

$$u_t=u_{xx},\qquad 0<x<1,t>0,$$

配上

$$u(x,0)=1,\qquad u(0,t)=u(1,t)=0.$$

如果要求 $u$ 在闭矩形上连续并同时满足所有数据，那么在角点 $(0,0)$，初值要求 $u(0,0)=1$，左边界要求 $u(0,0)=0$，矛盾。因此不存在满足这种“角点连续经典条件”的解。

这不等于热方程从此不能研究。对 $t>0$，扩散会迅速把内部状态拉向边界控制的状态；我们可以在允许角点不连续、或采用较弱解的框架下继续讨论。但在入门层面，先记住兼容性检查：初值和边界值在交界处至少不能直接互相否定。

反例：纯 Neumann Laplace 数据不守恒

在有界区域 $\Omega$ 上设 $\Delta u=0$，却要求整个边界外法向导数恒为 $1$。那么

$$\int_{\partial\Omega}\partial_nu\,ds=|\partial\Omega|>0,$$

与上面的兼容条件矛盾。因此这个边值问题没有解。这个失败不是计算技术不够，而是数据本身违反了方程的整体守恒关系。

在数据实验中，把初温两端调到与恒温边界不同的值，观察时空矩形的两个角点。随后换成纯 Neumann 稳态问题，让两端外向导数相同且为正。两种失败都不是少算了一步：一个要求同一点同时取两个值，另一个违反整个区域的通量平衡。补上波动初速度的开关，则用于比较数据不足与数据冲突。

练习：从辨认到迁移

理解：读出方程的基本信息

练习 1. 对方程

$$u_t+2u_x-5u=\cos x,$$

指出未知函数、独立变量、阶数、线性/非线性和齐次/非齐次性。

查看解答

未知函数是 $u(x,t)$，独立变量是 $x,t$。最高阶偏导是一阶，所以它是一阶 PDE。$u,u_t,u_x$ 都只以一次幂出现，没有相乘，因此线性；右端为 ，所以是非齐次线性方程。

练习 2. 对主部

$$3u_{xx}-4u_{xy}+2u_{yy}$$

按本章记号求 $\Delta$ 并分类。再用“直接写交叉系数”的记号验证一次。

查看解答

这里 $A=3$、$2B=-4$、$B=-2$、$C=2$，所以 $\mathrm{\Delta }=(-$，是椭圆型。若写成 ，则 ，，结论相同。

应用：选择数据并检查条件

练习 3. 一根长度为 $L$ 的杆满足 $u_t=\kappa u_{xx}$。判断下面哪组数据最符合“初始温度已知、两端恒温”的描述，并说明另外一组为什么不对。

甲：$u(x,0)=g(x)$，$u(0,t)=0$，$u(L,t)=20$。

乙：$u(0,x)=g(x)$，$u_t(0,x)=h(x)$，$$。

查看解答

甲是合适的初边值数据：$u(x,0)$ 给出初始温度，$u(0,t)$ 与 $u(L,t)$ 给出两端温度。乙把时间和空间位置混用了，还额外给出了波动方程才通常需要的初速度类型；$u_x(x,0)=0$ 也不是“两端恒温”的表达。若要求解在初始角点连续，还需检查 和 ；更高光滑性需进一步兼容条件。

练习 4. 波动方程 $u_{tt}=4u_{xx}$ 的初值为 $u(x,0)=f(x)$、。在点 ，初始数据的哪些位置可能影响 ？

查看解答

这里 $c=2$，影响区间是 $[x-ct,x+ct]=[1-4,1+4]=[-3,5]$。因此只有初始位移 和初速度 在 上的取值会进入波动初值积分公式；区间外的初始修改不会影响这个点的解。

迁移：系数改变或数据越界时怎么办

练习 5. 分类下列三个主部，写出实特征方向，并说明哪一个只有重复方向：

（a）$u_{xx}+2u_{xy}+u_{yy}$；

（b）$2u_{xy}$；

（c）$u_{xx}+u_{yy}$。

查看解答

（a）中 $A=C=1,B=1$，$\Delta=0$，是抛物型边界情形，主部可写成 $(\partial_x+\partial_y)^2u$。 （b）中 ，，是双曲型。切向条件 给出水平和竖直两族。 （c）中 ，，是椭圆型。（a）的切向条件是 ，重复方向斜率为 ；（c）没有实特征方向。只有（a）处在重复方向的边界情形。

练习 6. 在一个边界足够光滑的有界连通区域上研究 $\Delta u=0$。边界给定外法向导数 $\partial_nu=2$，是否可能存在解？如果把 $2$ 改成一个在边界上正负相抵、积分为零的函数，解还会不会唯一？

查看解答

恒为 $2$ 时，$\int_{\partial\Omega}\partial_nu\,ds=2|\partial\Omega|>0$，违反纯 Neumann Laplace 问题的兼容条件，因此没有解。若改成总积分为零的数据，兼容性不再阻止解，但解通常只确定到加法常数： 与 有同样的法向导数。还需要固定平均值或一个点的值，才能得到唯一解。

3

关于初边值问题，哪些说法正确？

A.热方程通常需要一条初始温度函数B.波动方程通常需要初位移和初速度C.Dirichlet 条件给边界上的函数值D.Neumann 条件总能唯一确定 Laplace 解

提交

从分类回到数据

金属杆的温度由热方程描述：时间初值和空间边界一起决定扩散过程，高频细节会更快衰减。拨动的细线由波动方程描述：需要位移和速度，信息沿两条特征方向以有限速度传播。稳态薄片由 Laplace 方程描述：没有时间推进，边界值或边界通量决定内部平衡，而且 Neumann 数据必须通过整体通量检查。

下次拿到一个方程，不妨把主部和数据分写在草稿的两侧。主部告诉你可能用什么方法，数据则决定这些方法要满足哪些约束。若算出了漂亮的公式，却发现它在端点不满足条件，问题往往就在这两侧还没有接上。