域扩张：次数、最小多项式与分裂域

把一个新数添进 Q 里，究竟添了多少自由度？$\sqrt{2}$ 只需要一个新方向，因为每个元素都能写成 $a+b\sqrt{2}$；添入 $\alpha=\sqrt[3]{2}$ 后，连同原有的 $1$ 一共需要三个基方向，因为 $1,α,α²$ 才能覆盖 $\mathbb Q(α)$。域扩张把这个“需要多少方向”变成向量空间维数。

扩张次数和最小多项式

若 K⊆L 是域，L 可视为 K 上的向量空间；有限维时记 $[L:K]$ 为维数。元素 α 若满足某个非零 $p∈K[x]$ 使 $p(α)=0$，称 α 在 K 上代数。在使 $\alpha$ 为根的非零多项式中，取次数最小并把首项系数化为 ，得到最小多项式 。

为什么它整除所有满足 $f(\alpha)=0$ 的多项式？带余除法给出 $f=qm+r$，代入 $\alpha$ 得 $r(\alpha)=0$。余式次数更小，最小性迫使 。两个首一最小多项式相互整除，所以相同。若 且两因子次数都更小， 在域里迫使一因子为零，又违背最小性。因此 不可约。

这里的前提是 $\alpha$ 代数；若它不满足任何非零多项式，称为超越元，也就没有最小多项式。

若最小多项式次数为 n，则

并且 $1,α,...,α^{n−1}$ 是一组基，故 $[K(α):K]=n$。线性无关性来自最小次数：若这些幂有非平凡线性关系，就得到次数低于 $n$ 的消去多项式。张成性来自多项式带余化简。还要解释为什么这些多项式表达式已经包含逆元：对非零 ，不可约性使 ，Bézout 等式 代入后给出 。

所以 $K[\alpha]$ 本身已是域，等于包含 $K$ 和 $\alpha$ 的最小域 $K(\alpha)$。代数条件不可省：对超越元 $t$，$K[t]$ 同构于多项式环， 无法写成多项式，因此 。

例题：$\mathbb Q(\sqrt{2})$ 的基

令 α=√2。求 $[\mathbb Q(α):\mathbb Q]$ 并写出元素的标准形式。

扩张次数衡量的是底域上的基大小；同一个域换底域后，维数会改变。

塔式公式

若 $K⊆F⊆L$ 且两层都是有限扩张，则

设 $u_1,\ldots,u_r$ 为 $L/F$ 的基，$v_1,\ldots,v_s$ 为 的基。任意 写成 ，再把 展开，就得到 个乘积 的线性组合。

若 $\sum_{i,j}b_{ij}u_iv_j=0$，按 收集，-线性无关性使每个 ； 的 -线性无关性再使所有 。因此这些乘积确实为基，次数相乘。

例题：同一个域可以只用一个生成元。 令 $L=\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$。 不在 ：若 ，平方后有 。由于 独立，； 会要求有理数平方等于 ， 会要求有理数平方等于 ，都不可能。因此两层次数都为 ，。

取 $\gamma=\sqrt2+\sqrt3$。因为 ，有 。相加、相减得到两根都在 中，所以 。由 得到 ；既然生成的域次数为 ，这四次首一多项式就是最小多项式。这里的不可约性来自已经算出的次数，无需对四次式盲目试因子。

例题：$x³−2$ 的分裂域

$\alpha=\sqrt[3]{2}$，令 $\omega$ 是三次单位根，满足 $ω²+ω+1=0$。在 上， 由 的 Eisenstein 判别不可约，所以是 的最小多项式，次数为 ；加入 ω 后三根 全部存在。

在次数塔里从 $\mathbb Q$ 添入 $\sqrt2$，随后选择 $\sqrt8$。预测这次是否还会翻倍，再检查 。换添 才会得到第二个二次台阶。把最后的基展开，次数乘法就对应到实际坐标，而不是把页面上出现的根号数量拿来相乘。

分裂域和嵌入

给定 $K[x]$ 中正次数多项式 $f$，一个分裂域 $E/K$ 要同时满足两点：$f$ 在 $E$ 中分成一次因子，且 $E$ 由这些根在 $K$ 上生成。若首项系数为 ，分解形式是 ；不能漏掉非首一多项式的 。

例如 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 是 $x^2-2$ 的分裂域。$\mathbb C$ 也包含所有根，却不由这些根在 上生成，所以不是它的分裂域。

存在性可以逐次构造。在当前域上选一个尚未分裂的不可约因子 $p$，用商域 $K[x]/(p)$ 添入一个根，便能提出一个一次因子。对剩余因子重复，次数每次至少减一，有限步结束。每一步由添入的根生成，最终也由全部根生成。

图中假定 $f$ 首一，$\Omega$ 是容纳全部代数根的代数闭包。底域嵌入固定系数，因此把一个根仍送到同一多项式的根；对非首一多项式须在乘积前保留最高系数。

嵌入与唯一性。 域间保幺同态必单射：它的核是域的理想，只能为零或整个域，而非零目标的保幺性排除了后者。把代数元 $\alpha$ 映到另一个根 $\beta$ 的规则之所以成立，是因为 $K(\alpha)\cong K[x]/(m)\cong K(\beta)$。更一般地，已有底域嵌入时，先把最小多项式的系数一同映过去，再选映后多项式的根，就能延拓。

对两个分裂域逐根做这个延拓，得到从一个到另一个的底域嵌入。它把全部根送到同一多项式的根；因单射，有限的互异根集合被一一置换，像包含全部根。目标由这些根生成，故嵌入满射，得到同构。这就是“分裂域在底域同构意义下唯一”，并不要求两种构造使用完全相同的符号。

自同构还要求是从域到自身的双射。有限扩张中的底域自嵌入可由有限维线性代数推出满射，但一般无限扩张不能省掉检查。本章只使用有限扩张。

在逐根实验里比较 $x^2-2$ 与 $x^3-2$。前者添入一个根后，另一个根是它的相反数，已经在域里；后者从实根出发，还缺两个非实根。点选根时同时核对“目前已包含哪些根”和“这一层实际增加多少次数”。当所有根齐备时，还要检查当前域恰由它们生成，才完成分裂域构造。

练习：计算次数而不是猜次数

练习 1｜最小多项式。 求 $\mathbb Q(\sqrt{5}):\mathbb Q$ 的次数和一组基。

练习 2｜塔式公式。 已知 $[F:\mathbb Q]=2$、$[E:F]=3$，求 $[E:\mathbb Q]$；若某人声称 ，指出错在哪里。

练习 3｜根的共轭。 说明 Q-自同构为什么把 $\sqrt{2}$ 送到 $\sqrt{2}$ 或 。

练习 4｜分裂域。 说明 $x²−2$ 在 $\mathbb Q(\sqrt{2})$ 中已经分裂，而 $x^3-$ 在 中没有分裂。

练习 5｜不是每次添根都扩大。 求 $[\mathbb Q(\sqrt2,\sqrt8):\mathbb Q]$；再求 的最小多项式。

练习 6｜为逆元找坐标。 令 $\alpha=\sqrt[3]{2}$。不用小数近似，求 $(1+\alpha)^{-1}$ 在基 下的表示。