模：环如何作用在对象上

向量空间允许标量来自一个域；模把这件事推广到任意环。变化看似只是一句话，实际后果很大：域上非零标量都有逆元，一般环里的标量可能有零因子，模也可能没有基。

模的作用公理

设 R 是交换含幺环。R-模 M 是一个阿贝尔群，并有作用 $R×M→M$，满足

四条依次表示单位元不改变向量、标量乘法与作用复合相容、标量相加可分配，以及作用对模内加法可分配。注意 $rs$ 是环里的乘法，$rm$ 是作用，二者的输入类型不同。

图里将两条分配律分开书写，读每条式子时都可以核对对象来自 $R$ 还是 $M$。

每个阿贝尔群天然是 Z-模：整数 n 作用在 m 上，就是把 m 重复相加 n 次；负整数作用给出加法逆元。

$F$-模正是 F-向量空间。区别在于一般 R 中可能有非零 r 满足 $rm=0$，所以不能随意“除以 r”。

子模、商模和自由模

非空子集 $N\subseteq M$ 是子模，当且仅当它对减法及 $R$ 的标量作用封闭。减法闭性会自动给出零元和加法逆元。

商模 $M/N$ 的加法为 $(m+N)+(m'+N)=(m+m')+N$，标量作用为 。若换代表 为 ，作用后只多出 ，所以良定义。加法同样利用 是加法子群。这里无需给 内的两个向量定义乘法。

图中把两条整数关系 $(2,0)$、$(0,3)$ 变成零：横坐标余 $2$、纵坐标余 $3$ 后，留下六个类。后面的关系矩阵会把这个计算写得更系统。

模同态 $f:M\to P$ 要满足 $f(m+m')=f(m)+f(m')$ 和 。核对减法、标量作用封闭，因此为子模。映射 不依赖代表；相同像意味着差在核内，所以单射；到像显然满射。于是

自由模 $R^n$ 有标准基 $e_1,...,e_n$，每个向量都能唯一写成 $r_1{e}_1+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}+r_n$。但一般模不一定自由： 作为 Z-模有周期关系 ，不能像整数那样让一个元素的系数任意取而仍保持唯一性。

这里“基”同时要求生成和线性无关，即每个元素有唯一的有限线性组合表示。“生成元”只要求能表示，不保证唯一。$\mathbb Z/6\mathbb Z$ 由 $[1]$ 生成，但 $0[1]=6[1]$，系数并不唯一。

若 $R$ 为整环，非零标量能杀掉的元素叫挠元。非零的自由模元素不是挠元：取它的一个非零坐标 $a$，$ra=0$ 与整环的消去律会迫使 $r=0$。因此带有非零挠元的模不可能自由。不过，无挠也未必自由，$\mathbb Q$ 作为 $\mathbb Z$-模就是例子：任意两个有理数都满足某个非平凡整数关系，所以基至多一个元素；而单个有理数的整数倍不能生成全部有理数。

例题：验证一个作用

把 $M=\mathbb Z/6\mathbb Z$ 看成 Z-模，验证 $2·[4]=[2]$，并说明 $\mathbb Z$ 的两个整数对 M 的作用相同的条件。

$F[x]$-模把线性算子编码进来

设 V 是 F-向量空间，A:V→V 是线性算子。令 x 作用为 $xv=A(v)$，则多项式

作用为 $p(A)v=a_0v+a_1Av+...+a_kA^kv$。验证乘法公理时，把 展开：，所以先让 作用再让 作用，等于乘积多项式作用。两条分配律来自算子相加，常数 对应恒等算子。这才说明它确实是一个 -模。若 ，则 A 满足一个多项式关系；这条关系可以用来研究特征多项式、最小多项式和分解。

例如在 $\mathbb R^2$ 上令 $A(u,v)=(-v,u)$。作用一次是旋转四分之一圈，作用两次为 $(-u,-v)$，所以 $$ 杀掉每个向量。这个模作为 -向量空间当然自由，但作为 -模有挠。谈“自由”或“挠”时，标量环必须一并说出。

反过来，一个 F[x]-模给出线性算子：定义 $A(v)=xv$。因此模语言把“一个向量空间加一个线性算子”改写成“一个多项式环的作用”。这不是新包装，而是让换基和关系矩阵进入同一框架。

在实验中选 $\mathbb Z/8\mathbb Z$，预测 $[2]$ 重复相加几次回到零，再逐步走一圈。换到算子页，选择 $A(u,v)=(-v,u)$ 和向量 $(1,0)$，对照 。计算 时，两个相反方向的向量恰好抵消；“多项式作用为零”因而变成可观察的过程。

生成元与关系

给定 $m_1,...,m_k∈M$，它们生成的子模是所有

的集合。它是包含这些元素的最小子模，因为任何子模都必须容纳全部这些线性组合。

若 $m_1,\ldots,m_n$ 生成 $M$，满射 $\pi:R^n\to M$ 把标准基 送到 。核中的一个列向量 就是一条关系 。若有限个列向量生成，把它们排成 矩阵 ，得到

必须生成整个核；仅仅列出若干成立的关系，可能漏掉其余关系，不能据此断言得到了原模。每一列是一条关系，每一行对应一个环境生成元。

例题：关系怎样改变整数格点。 $B=\operatorname{diag}(2,3)$ 表示允许沿 $(2,0)$ 和 $(0,3)$ 移动。两个整数点等价，当且仅当横坐标相差偶数、纵坐标相差 $3$ 的倍数。因此每个类都有唯一代表 $(a,$，其中 、，共六类。相加时分别按模 、模 归位。

若只给关系 $(2,1)^T$，则结果完全不同。关系使 $e_2=-2e_1$，每个元素都能写成 $$；而 是 的整数倍只可能 。所以没有额外周期，商模同构于 。具体映射 的核正是这条关系生成的子模。

在格点实验里比较这两组关系。点一个起点，再沿正向、反向关系列向量移动，查看类标签是否保持不变。二维画面中能看到的点有限，但等价判定用的是整数方程，并不把“暂时没走到”误当成“不等价”。切换关系后，观察有限六类怎样变成无穷多个类；这为下一章的自由部分与挠部分做准备。

练习：把向量空间直觉放回边界

练习 1｜子模判据。 证明 $2Z$ 是 Z-模 Z 的子模，并说明它作为模不含 Z 的单位元没有问题。

练习 2｜周期关系。 在 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ 中计算 $3·[5]$、$11·[5]$，解释为什么结果相同。

练习 3｜F[x]-模。 若线性算子 A 满足 $A²−3A+2I=0$，写出多项式 $x²−3x+2$ 在对应 F[x]-模中作用为零的含义。

练习 4｜关系表示。 令 $M$ 由 $e_1,e_2$ 生成，全部关系由 $2e_1+e_2=0$ 生成。把它写成 的形式。

练习 5｜算子与子模。 在 $\mathbb R^2$ 上取 $A=\operatorname{diag}(1,2)$。证明横轴为 $\mathbb R[x]$-子模，而直线 $y=x$ 不是。它们是否都是 -子空间？

练习 6｜换一条关系。 求 $\mathbb Z^2/\langle(1,3)\rangle$ 的一个具体同构，目标取 $\mathbb Z$；写出核的检验。