多项式环：带余除法与不可约性

多项式在熟悉的函数课里常被画成曲线；在代数里，$x$ 更像一个形式位置，系数和次数才是结构信息。这个视角能解释为什么有限域上不同的多项式函数可能完全相同，也能把“添一个根”写成商环。

形式多项式与除法

对交换环 R，$R[x]$ 由有限和 $a_0+a_1x+...+a_nx^n$ 组成。两个多项式相等，是每个同次幂系数相等；只有在代入具体元素时，才得到一个函数值。

例如在 $\mathbb F_2$ 上，$x^2-x$ 与零多项式的系数不同，因而不是同一个多项式；但代入 $0,1$ 都得到零，所以它们给出同一个函数。代数中的“多项式相等”始终比较系数，不能只比较有限个函数值。

若 F 是域，任意 $f,g∈F[x]$、$g≠0$ 都能写成

设当前余下的最高项为 $ax^m$，除式最高项为 $bx^n$。当 $m\ge n$ 时，减去 $(a/b)x^{m-n}g$ 就消掉最高项。 可逆用到了系数是域；每次次数严格下降，算法终止。

结果也唯一。若 $qg+r=q'g+r'$，则 $(q-q')g=r'-r$。当 时，左侧次数至少为 ，右侧却更低，矛盾。因此 、。这里还使用域上的次数公式 。

图中的 $k$ 必须是域；在 $\mathbb Z[x]$ 中，拿 $x$ 除以 $2$ 就无法用整数系数商消去最高项。

例题：在 $F_3[x]$ 中做长除法

求 $(x^3+2x+1)/(x^2+1)$。

这类回代检查很有价值：形式计算一旦在系数域里发生换算，肉眼容易漏掉一个负号。

在实验里换成 $\mathbb F_2$ 上的 $x^4+x+1$ 除以 $x^2+x+1$。每次点击“消去最高项”，比较“相减前”和“相减后”的系数条。模 的减法和加法相同，但这不等于可以省掉某一项。结束时用“回乘检查”核对商与余式。

不可约性和商域

域上的非零非单位多项式 $p$ 称为不可约，如果 $p=fg$ 时 f 或 g 必为单位。若 p 次数为 2 或 3，那么 p 可约当且仅当在 F 中有根；对于四次及更高次数，无根并不足以保证不可约。

把 $f$ 除以 $x-a$，余式是常数 $r$；代入 $a$ 得 $r=f(a)$。所以 $f(a)=0$ 恰好意味着 ，这叫因子定理。二次或三次多项式若可约，因子次数相加只能含一次因子，因此必有根。四次可以拆成两个二次，不必有根。

当 p 在 F[x] 中不可约时，$(p)$ 是极大理想，

是域。具体看逆元：对非零的低次代表 $g$，不可约性使 $\gcd(g,p)=1$，欧几里得算法给出 $ug+vp=1$。到商里便有 $[u][g]=[1]$。

商中 $x$ 的类记为 $\alpha$，由于 $[p(x)]=[0]$，才有 $p(\alpha)=0$；并不是原多项式 $p$ 在 中变成了零多项式。带余除法使每个类都有次数低于 的代表。代表还唯一，否则两个低次代表之差是 的非零倍数，次数不可能低于 。因此 构成 上的基。

“添根”同时给出一条化简规则和一组坐标，后面计算扩张次数会反复用到它。

例如在 F3 上，$x²+1$ 没有根：代入 0 得1，代入1得2，代入2得2。因此它不可约。次数是 $2$、系数域大小是 $3$，所以商域有 $3²=9$ 个元素，记为 F9。不要把 ${}_{}$ 误写成 ，后者有零因子 。

Gauss 引理和模素数检验

非零整数多项式的内容是其系数的非负最大公因数；内容为 $1$ 时称为本原多项式。把内容提出来，剩下的就是本原部分。

Gauss 引理的关键一步。 两个本原多项式的乘积仍本原。否则某个素数 $p$ 整除乘积的所有系数，降模后 $\bar f\bar g=0$。但 $\mathbb F_p[x]$ 是整环，而本原性保证 都不是零多项式，矛盾。提取内容后也得到 。

由此，本原的正次数整数多项式在 $\mathbb Z[x]$ 中不可约，当且仅当它在 $\mathbb Q[x]$ 中不可约。一个方向直接；另一个方向需要清除分母：若在有理数域分解，可写成 $f=rAB$，其中 $A,B$ 为正次数本原整数多项式，$r=u/v$ 为既约有理数。等式 两侧内容分别为 与 ，所以 ，得到整数分解。

“本原”不能省略。例如 $2x+2$ 在 $\mathbb Q[x]$ 中是一次不可约多项式，在 $\mathbb Z[x]$ 中却分解为两个非单位 $2(x+1)$。结合 $\mathbb Q[x]$ 的唯一分解与整数内容的唯一分解，也就得到 是 UFD：本原部分的因子可清分母搬回来，唯一性也不会在这个过程中丢失。

若整数多项式 $f$ 的首项系数不被素数 $p$ 整除，且降模后的 $\bar f$ 在 $\mathbb F_p[x]$ 中不可约，则 $$ 在 中不可约。若有正次数整数分解，首项系数乘积模 非零，使两个因子的次数都不下降，降模后仍是非平凡分解，矛盾。若 不本原，先提取内容； 的不可约性保证该内容模 非零。

例题：选择合适的判别法。 $x^3+x+1$ 模 $2$ 后在 $0,1$ 处都不为零，三次判据说明它在 $\mathbb Q[x]$ 中不可约。另一方面，$x^{}$ 模 后是 ，而不是 。这次降模可约，不能据此判断原式可约。

Eisenstein 判别与方法的边界

设 $f=a_nx^n+\cdots+a_0$，$n\ge1$。若有素数 满足 、 对所有 成立，且 ，则 在 中不可约。

证明仍从可能的整数分解 $f=gh$ 出发。降模后 $\bar f=\bar a_nx^n$，两个因子都保持次数；在域上的唯一分解中，它们只能是常数乘 、。若原分解两边都为正次数，则 ， 的常数项都被 整除，于是 ，矛盾。提取不被 整除的内容不影响这些条件。

刚才的 $x^3+2x+2$ 取 $p=2$ 正好满足条件，所以仍不可约。降模不可约与 Eisenstein 是两条不同路线：前者希望模后仍拆不开，后者恰恰利用模后只剩最高项时，常数项不可能同时含两个 $p$。

在实验中选 $\mathbb F_2$，比较 $x^4+x+1$ 与 $(x^2+x+1)^2=x^4+x^2+1$。两者都没有根，只有后者能找到二次因子。点选候选因子观察余式，直到覆盖所有可能的低次首一因子；对次数 ，可约时至少有一个因子次数不超过 ，这是有限搜索的依据。

练习：区分根、因子和域

练习 1｜构造 F4。 证明 $x²+x+1$ 在 F2[x] 中不可约，并写出 $\mathbb F_{4}=\mathbb F_{2}[t]/(t²+t+1)$ 的四个元素。

练习 2｜带余除法。 在 F2[x] 中求 $(x^4+x+1)/(x²+x+1)$。

练习 3｜无根的边界。 给出一个 F2[x] 中无根但可约的四次多项式，并说明为什么这个例子不与二次/三次判据矛盾。

练习 4｜模素数方法。 说明把一个整数多项式降模后得到可约，为什么不能推出原多项式在 Q[x] 中可约。

练习 5｜商域里的逆元。 在 $\mathbb F_3[\alpha]$，$\alpha^2=-1$ 中，求 $1+\alpha$ 的逆元，并写出乘回检查。

练习 6｜逐项检查 Eisenstein。 判断 $x^4+4x+2$ 在有理数域上是否不可约，并逐项核对判别条件。