整环、分式域与因子链

在 $\mathbb Z/6\mathbb Z$ 中，2 和 3 都非零却相乘为零；一旦允许这种现象，消去律和分式构造都会出问题。本章把没有零因子的环单独拿出来，再问：能否像把整数放进有理数那样，把它嵌入一个域？

整环让消去重新成立

交换含幺环 $R$ 称为整环，要求 $0\ne1$，并且 $ab=0$ 必然 $a=0$ 或 $b=0$。这正是没有非零零因子。若 $a≠0$ 且 $ab=ac$，则 $a(b-c)=0$；整环给出 $b-c=0$，故 $b=c$。

整环中的单位仍然只指有乘法逆元的元素。不可约元 $p$ 非零且不是单位，且 $p=ab$ 时 a 或 b 必须是单位。素元 $p$ 也须非零且不是单位，并要求 $p|ab$ 时 $p|a$ 或 $p|b$。素元一定不可约：若 ，素性使 或 。例如 时，消去非零的 得 ，所以 是单位。反向需要额外条件，不能从“它自己拆不开”直接推出“它能从别人的乘积中整除某一因子”。

图中消去的对象必须非零。这个条件与整环条件缺一不可。

1

在整环中，如果 a≠0 且 ab=ac，就一定有 b=c。

正确错误

分式域：把分母正式加入结构

对整环 R，考虑 $R×(R\setminus\{0\})$ 中的对 $(a,b)$，把它想作 $a/b$。定义

$$(a,b)\sim(c,d)\Longleftrightarrow ad=bc.$$

加法与乘法为

$$\frac ab+\frac cd=\frac{ad+bc}{bd},\qquad\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}.$$

先检查这真是等价关系。自反与对称很直接；传递性值得写出来：若 $ad=bc$、$cf=de$，则 $adf=bcf=bde$。中间分母 $d$ 非零，消去它便得 。

运算也不能只凭形式放心使用。设 $ab'=a'b$、$cd'=c'd$。加法所需的交叉等式为

$$(ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd.$$

左边第一项用 $ab'=a'b$ 替换，第二项用 $cd'=c'd$ 替换，恰好得到右边。乘法同理有 。分母乘积非零由整环保证。结合律、分配律可用共同分母归到 中验证；零为 、幺为 。 非零等价于 ，这时 是逆元，于是确实得到一个域 。

映射 $a\mapsto a/1$ 保运算且单射，因为 $a/1=c/1$ 意味着 $a=c$，所以原整环完整地嵌在其中。

同一个点可以写成许多分式；相等的是等价类，而非分子分母组成的有序对。

$\operatorname{Frac}(\mathbb Z)=\mathbb Q$；若 R 本身是域，则 $\operatorname{Frac}(R)=R$。分式域的实用意义是：任何把 R 映入一个域 S、并让 R 的非零元素都变成单位的同态，都唯一延拓为 $\operatorname{Frac}(R)→S$，把 $$ 送到 。

局部化是相同想法的较小版本。取含 $1$、对乘法封闭且不含 $0$ 的集合 $S$，只允许其中的元素做分母，就得到 $S^{-1}R$。例如只把 2 变成可逆元，会得到

$$\mathbb Z[1/2]=\{a/2^k:a\in\mathbb Z,k\ge0\}.$$

它通常还不是域，因为奇数仍未必可逆。

例题：为什么分式表示不会产生歧义

在 $R=\mathbb Z$ 中，证明 $2/3=4/6$，并说明这不是因为“约分规则被当成定义”。

Euclidean domain、PID 和 UFD

Euclidean domain 是带有大小函数 $\sigma:R\setminus\{0\}\to\mathbb N_0$ 的整环，使任意 $a,b$（$b≠0$）都能写成

$$a=bq+r,\qquad r=0\text{ 或 }σ(r)<σ(b).$$

$\mathbb Z$ 的大小函数可取 $|a|$；域 F 上的 $F[x]$ 可取次数。带余除法让我们能不断下降，得到最大公因数和 Bézout 等式。

Euclidean domain ⇒ PID。 设 I 是非零理想，选 I 中大小最小的非零元 d。对任意 $a∈I$，写 $a=dq+r$。因为 $a,dq∈I$，所以 $r∈I$；若 r 非零，它的大小比 d 小，矛盾。因此 r=0，所有 a 都被 d 整除，I=(d)。

PID 的升链为什么会停。 主理想整环（PID）要求每个理想由一个元素生成。给定升链 $I_1\subseteq I_2\subseteq\cdots$，并集 $I$ 仍是理想：任意两个元素总能在某个共同的 $I_N$ 中相减，吸收性也保留。写 ，生成元 已在某个 中，于是 ，此后链都等于 。

分解存在。 若某个非零非单位 $a$ 不能分解成不可约元，它就不是不可约元，故 $a=bc$，其中 $b,c$ 都非单位，至少有一个（设为 $b$）仍不能分解。于是 $(a)\subsetneq(b)$。严格性来自消去律：若两理想相等，则 ，消去 得 ，违背 非单位。重复会形成不停的严格升链，与上一段矛盾。因此分解一定终止。这一证明没有给一般 PID 虚构一个“大小函数”。

不可约元是素元。 设 $p$ 不可约且 $p\nmid a$。写 $(p,a)=(d)$，则 $d\mid p$。不可约性使 $d$ 要么是单位，要么与 相伴；后一种会使 ，已被排除。所以 ，存在 。若 ，把等式乘以 ，得到 ，右侧都被 整除，因此 。

分解唯一。 若两个不可约分解相等，一个分解中的首因子作为素元，必整除另一个分解的某一因子。那个因子不可约，二者只差一个单位。消去这一对继续比较，得到因子个数相同，差别只有次序和单位倍。这就是唯一分解整环（UFD）的含义。

图中的条件自下而上增强，箭头从强条件指向弱条件。每个箭头各有自己的依据：带余除法用于第一步，理想升链和 Bézout 关系用于第二步。不能把两套理由混成“都能越分越小”。

UFD 保证存在唯一分解，但不保证每个理想主生成；例如 $\mathbb Z[x]$ 是 UFD，却不是 PID。这个包含链是单向的：

$$\text{Euclidean domain}\Longrightarrow\text{PID}\Longrightarrow\text{UFD}\Longrightarrow\text{integral domain}.$$

例如 $(2,x)\subset\mathbb Z[x]$ 不是主理想。若由 $g$ 生成，则 $g\mid2$，故 $g$ 是常数；又 $g\mid x$，故 ，会使理想等于整个环。但令 ， 的常数项总为偶数，不可能等于 ，矛盾。第四章的 Gauss 引理会解释 为什么仍有唯一分解。

例题：把最大公因数写成线性组合。 对 $84,30$ 做带余除法：$84=2\cdot30+24$，$30=24+6$，$24=4\cdot6$。最后一个非零余数为 ；回代得到 。每步都把一对数的公因子保持下来，所以末项确为最大公因数。

实验中改用 $119,34$，每走一步记录余数变小了多少。得到 $17$ 后，沿记录回代，应有 $17=119-3\cdot34$。再输入互素的一对数，观察末项 $1$ 如何转成模运算的逆元；算法给出的不只是一个最大公因数。

非唯一分解的警戒例

在 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 中有

$$6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}).$$

记 $s=\sqrt{-5}$。范数 $N(a+bs)=a^2+5b^2$ 等于它与共轭的乘积，因此 。非零元素范数是正整数。范数 只给出单位 ；范数 、 都不可能，因为 时范数至少为 ， 时这两个数又不是整数平方。

现在检查各因子。$N(2)=4$，若 $2$ 可拆成两个非单位，它们的范数只能是 $2,2$，不可能。$N(3)=9$ 需要 $3,3$，也不可能。 则需要 ，同样被排除。四个因子都不可约。

相伴元素只差单位 $\pm1$，因而有相同范数。左边因子的范数是 $4,9$，右边是 $6,6$，无法配对。两种分解确实不同。

更直接地，$2\mid(1+s)(1-s)=6$，但 $2$ 不整除 $1+s$ 或 $1-s$，因为除以 会产生非整数系数。这就展示了一个不可约却不素的元素。

对照图中的两个问题：不可约检查自身的分解，素性检查它对其他乘积的整除作用。

这不是“复数很奇怪”这么简单。问题在于这个环没有 PID/UFD 所需的理想结构；把整数中的算术定理搬进新环时，必须先确认该环属于哪一类。范数可以帮助检验单位：若 u 是单位，$N(u)N(u^{-1})=1$，故 $N(u)=1$；范数为 1 的元素才能成为单位。

在范数格点实验里把目标设为 $2$ 或 $3$，观察为何椭圆上没有整数格点。随后选择 $6$，点选 $1+s$ 与 $1-s$，核对乘积。有限画面本身不能排除无限远的点；真正使搜索完整的是 $a^2+5b^2=N$ 对 与 给出的界限。

练习：方法和条件的分工

练习 1｜Euclidean 到 PID。 用次数函数证明 $F[x]$ 的任意理想都是主理想。

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若理想为零理想，显然由 0 生成。否则选其中次数最小的非零多项式 p。对任意 q∈I，做多项式带余除法 $q=ps+r$，其中 r=0 或 $\deg r<\deg p$。因 q、ps∈I，r∈I；最小性排除 r 非零，所以 p|q，I=(p)。

练习 2｜消去与零因子。 在 $\mathbb Z/10\mathbb Z$ 中找出 $a≠0$ 和 $ab=ac$ 但 $b≠c$ 的例子，并指出失败的条件。

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取 $a=[2],\ b=[1],\ c=[6]$。有 $[2][1]=[2]$，，但 。失败原因是 [2] 是零因子；Z/10Z 不是整环。

练习 3｜分式等价。 在任意整环中证明 $(a,b)\sim (c,d)$ 与 $(ta,tb)\sim (tc,td)$ 对非零 t 等价。

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原关系是 $ad=bc$。乘以 $t²$ 得 $(ta)(td)=(tb)(tc)$，所以扩大代表对仍等价。反向由整环无零因子且 t≠0，从 消去 得 。

练习 4｜分解链。 已知 R 是 Euclidean domain，写出为什么 R 一定是 UFD，但不能从“R 是 UFD”反推 R 是 PID。

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Euclidean domain 通过最小大小证明所有理想主生成，即为 PID；PID 中不可约元是素元，从而存在且唯一分解，所以是 UFD。反向不成立，例如 Z[x] 是 UFD，但理想 $(2,x)$ 不是主理想，因此不是 PID。

练习 5｜反例迁移。 解释 $\mathbb Z[\sqrt{-5}]$ 的两个 6 分解为什么不能只靠把因子乘以单位互相变换。

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单位只有 $\pm1$，相伴元素的范数相同。$2,3$ 的范数分别为 $4,9$，而 $1\pm\sqrt{-5}$ 的范数均为 ；因此两边因子无法相伴配对。不可约性的论证还须使用范数 不可取，不能仅因范数不同就声称不可约。

2

下列哪条蕴含关系一定成立？

A.UFD⇒PIDB.PID⇒Euclidean domainC.Euclidean domain⇒PIDD.integral domain⇒UFD

练习 6｜局部化的边界。 证明 $\mathbb Z[1/2]$ 不是域，找出它的全部单位。

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若 $3$ 有逆元 $a/2^k$，则 $3a=2^k$，矛盾。因此不是域。若 $a/2^k$ 可逆，存在 使 ；整数唯一分解使 只能含素因子 ，故元素为 ，。这些元素的逆元 也确实在环内。