理想、商环与对应

在抽象代数 I 中，正规子群让陪集可以相乘。环里也需要一个“能被乘法吸收”的子对象，理想承担的就是这个角色。它不是为了把集合切成几块好看，而是为了保证切块以后加法和乘法仍然不依赖代表元。

理想产生的等价类

设 I 是交换环 R 的理想。对 $a∈R$，记

$$a+I=\{a+x:x\in I\}.$$

图中每一列都是一个完整陪集，省略号表示它向两个方向无限延伸。

两个元素属于同一个陪集，当且仅当它们之差在 I 中。于是定义 $a\sim b$ 当且仅当 $a-b∈I$。加法关系很直接：若 $a-a'∈I$、，则 。

例如整数 $1$ 和 $5$ 不相等，但 $1+4\mathbb Z$ 与 $5+4\mathbb Z$ 是同一个集合。下面检查用哪个代表参与运算都得到相同的类。

乘法更需要理想的吸收性。因为

$$ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')$$

右侧两项都在 I 中，故 $ab\sim a'b'$。这就是良定义的完整理由：换代表元以后，结果只差一个理想元素。

商环 $R/I$ 的元素是这些陪集，运算为

$$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,\qquad(a+I)(b+I)=ab+I.$$

零元是 $I$，单位元是 $1+I$。自然映射 $\pi:R\to R/I$ 的核正好是 $I$。若 $I=R$，商环只有一个元素；只有真理想才有机会给出非零的商环。

图中的乘法表同时说明：有乘法单位元，并不保证每个非零类都有逆元。

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证明商环乘法良定义时，关键需要理想的哪项性质？

A.I 中元素的加法逆元仍在 IB.对任意 r∈R、x∈I 有 rx∈IC.R 的乘法必须有逆元D.R 必须是有限集合

$\mathbb Z/n\mathbb Z$：商环可以有零因子

取 $n\ge2$，令 $R=\mathbb Z$、$I=n\mathbb Z$，商环就是熟悉的 $\mathbb Z/n\mathbb Z$。在其中 $[a]=[b]$ 意味着 n 整除 。元素 有乘法逆元，当且仅当存在整数 u、v 使 ，也就是 。

以 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 为例，单位是

$$[1],[5],[7],[11],$$

因为它们与 12 互素；$[2],\ [3],\ [4],\ [6]$ 没有逆元。更重要的是 $[3][4]=[0]$，所以两个非零元素的乘积为零，商环不是整环。

这给出一个结构判别：$\mathbb Z/n\mathbb Z$ 是域，当且仅当 n 是素数；是整环，也当且仅当 n 是素数。若 n 合成，写成 $n=ab$ 且 $1<a,b<n$，就有 $[a][b]=[0]$。

例题：解一个商环方程

求 $5x=[7]$ 在 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 中的解。

若求 $4x=[2]$，不能除以 $4$。乘以 $4$ 的输出只有 $0,4,8$，因此无解。$4x=[0]$ 则有四个解 。这不是计算的例外，而是同一个乘法映射合并了不同输入。

一般地，$ax\equiv b\pmod n$ 可解当且仅当 $d=\gcd(a,n)$ 整除 $b$。必要性来自整数等式 $ax+ny=b$；充分性来自 Bézout 等式 ，乘以 就给出一个解。约去公因数后是模 的方程，系数与新模数互素，因此只有一个类。回到模 ，它对应 个解，彼此相差 。

这里把 $0$、单位和非零零因子分别放置。对有限非零环，非单位与非零零因子的关系很紧密；但上一章的整数 $2$ 已经提醒我们，不能把有限例子的分类照搬到所有环。

极大理想与素理想

理想 I 称为极大理想，如果 $I≠R$，且没有夹在 I 与 R 之间的其他理想。称 I 为素理想，要求 $I\ne R$，并且 $ab∈I$ 能推出 $$ 或 。

两个定义在商环里变得可计算：

$$I\text{ 极大}\Longleftrightarrow R/I\text{ 是域},$$ $$I\text{ 素}\Longleftrightarrow R/I\text{ 是整环}.$$

素理想的判别可以直接翻译：$(a+I)(b+I)=0+I$ 等价于 $ab\in I$；乘积为零能推出某个因子为零，正好是素性。要求 $I$ 真，保证商环非零。

图中多项式的例子以 $k$ 为域，且 $f$ 为不可约多项式；“不可约”的判断会在第四章展开。

极大性的证明需要再走一步。若 $I$ 极大，取 $a\notin I$，理想 $I+(a)$ 严格包含 $I$，所以等于 $R$。于是 ，在商环里得到 ，每个非零类都有逆元。反过来，若商环为域且 ，选 。它的类有逆元，故某个 满足 。因为 ，相减得到 ，所以 。

这幅图的两端由刚才两个方向的论证连接，不能只记住其中一个箭头。

域当然是整环，所以每个极大理想都是素理想；反向一般不成立。例子 $I=(0)$：在整环 R 中它是素理想，但只有当 R 本身是域时才是极大理想。

设 $F$ 为域，$p$ 为非零非单位多项式。在 $F[x]$ 中，$(p)$ 极大当且仅当 $p$ 不可约；此时它也是素理想。于是 $F[x]/(p)$ 是域。这里的“不可约”要相对于系数域 F 来说，换一个系数环，结论可能改变。

预测模 $12$ 中 $4x=8$ 会有几个解，再在实验中选这条方程。点选一个解，把整数代表加上 $12$，看乘积代表改变后是否仍回到原来的类。换成 $4x=2$，观察目标类为什么根本不在乘法映射的像中；这与刚才 $d\mid b$ 的条件是一回事。

同态基本定理和对应

自然映射 $π:R→R/I$ 是满射，核是 I。更一般地，对环同态 $φ:R→S$，定义

$$\bar φ:R/\ker φ\to\operatorname{im}φ,\qquad a+\ker φ\mapsto φ(a).$$

如果 $a+\ker φ=b+\ker φ$，则 $a-b∈\ker φ$，从而 $φ(a)=φ(b)$，所以这个定义良好。它保持加法、乘法和单位元；像中的 都有原像，所以满射。若两个陪集有同一像，则 ，于是 在核中，两个陪集本来就相同，所以也单射。这就是

$$R/\kerφ\cong\operatorname{im}φ.$$

商环的理想与 $R$ 中包含 $I$ 的理想一一对应。具体映射是 $J\mapsto J/I=\{a+I:a\in J\}$，反方向取投影的原像 $$。

为什么要限定 $J$ 包含 $I$？把 $J$ 投下去再拉回来得到 $J+I$；只有 $I\subseteq J$ 时才回到 $J$。另一方面， 满射，所以把商环里的 拉回再投下去，恰好回到 。两边都是理想：减法闭性由同态保加法保证，吸收性由保乘法和投影满射保证。两种映射都保持包含关系，才有完整的对应定理。

例题：列出 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 的理想。 整数理想都是 $d\mathbb Z$。包含 $12\mathbb Z$ 意味着 $d\mid12$，所以有 $d=1,2,3,4,6,12$ 六种。对应理想由 生成，含 个元素；注意 越能整除别的生成数，对应的理想反而越大。例如 ，商去后分别得到模 和模 的环。极大理想是 、，因为对应商环分别为两个和三个元素的域。

在理想图上选 $d=4$，核对集合里是否恰有 $0,4,8$。再沿包含连线走向更大的理想，留意生成数的整除方向。点选极大理想时，右侧的商环应只剩素数个元素；图上的上下位置由包含关系决定，而非由生成数的大小决定。

练习：从结构选择方法

练习 1｜良定义。 设 $a-a'∈I$、$b-b'∈I$，逐步证明 $ab+$。

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$ab-a'b'=a(b-b')+b'(a-a')$。括号中的两项属于 I；由于 I 对 R 中元素吸收，右侧属于 I。因此两个乘积相差一个 I 中元素，代表同一个商环元素。

练习 2｜单位与零因子。 在 $\mathbb Z/15\mathbb Z$ 中列出所有单位，并找一个非零零因子。

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与 15 互素的代表元是 1、2、4、7、8、11、13、14，它们是单位。$[3]$ 与 $[5]$ 都非零，但 $[3][5]=[0]$，所以它们互为一组零因子。

练习 3｜极大还是素。 判断 $(x^2+1)$ 在实系数多项式环 $\mathbb R[x]$ 中是极大理想还是素理想，并说明理由。

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在实数域上，$x²+1$ 不可约，因此 $\mathbb R[x]/(x²+1)$ 是域。故 $(x²+1)$ 既是极大理想，也是素理想。若把系数域换成复数域， 可约，结论就不同。

练习 4｜同态与理想对应。 自然降模 $\varphi:\mathbb Z/12\mathbb Z\to\mathbb Z/4\mathbb Z$ 的核与像是什么？目标中的理想 $\{0,2\}$ 拉回后是什么集合？

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核为 $\{0,4,8\}$，像为整个模 $4$ 的环，所以商去该核得到与 $\mathbb Z/4\mathbb Z$ 同构的环。$\{0,2\}$ 的原像是模 $12$ 的全部偶数类 $\{0,$。它确实包含核，符合对应定理；只取目标集合中写出来的代表 会漏掉其余原像。

练习 5｜变式方程。 在 $\mathbb Z/12\mathbb Z$ 中求 $8x=[4]$ 的全部解，并解释为什么没有唯一解。

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逐表计算或约去公因数：$8x≡4 (mod 12)$ 等价于 $2x≡1 (mod 3)$，所以 $x≡2 (mod 3)$。在模12中对应 四个解。8 不是单位，不能乘唯一逆元；因此不会得到唯一解。

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每个素理想都是极大理想。

正确错误