环：两种运算与同态

在整数里，$2x=2$ 只有一个解。把运算改成模 $6$，$x=1$ 和 $x=4$ 却都成立：$2\cdot4$ 与 $2$ 相差 $6$。乘法没有算错，出问题的是我们习惯了随手约去 $2$。这一章要弄清楚，哪些计算可以搬到新的代数对象里，哪些计算需要额外条件。

从熟悉的运算提取规则

本课没有特别说明时，环指交换含幺环。它有加法和乘法，加法构成阿贝尔群，乘法满足结合律、交换律，并有单位元 $1$；两种运算由分配律连接。加法单位元记作 $0$。这些要求也包含运算的封闭性：算完仍然留在原来的集合。

我们允许只含一个元素的零环，此时 $0=1$。在其他环里，两者不同。把这条约定说清楚，是为了以后讨论商环 $R/R$ 时不必临时改定义。整环和域则一律要求 $0\ne1$。

图中的两个单位元各管一种运算。在非零环里它们不同；“乘以 $0$ 得 $0$”还可以由分配律推出，不必另设一条公理。事实上，$a0=a(0+0)=a0+a0$，在加法群里两边减去 $a0$，便有 。同样，，所以 。

整数、多项式都是例子。模 $n$ 的剩余类也能相加、相乘；这里暂取 $n\ge2$。若把整数代表 $a$ 换成 $a+kn$，乘积只会增加 $knb$，仍在同一剩余类，因此这两种运算不依赖代表的选择。

这张模 $4$ 的加法表只说明运算封闭；结合律、逆元等条件仍需另行检查。

矩阵是有用的对照。实矩阵的加法、乘法、分配律和单位矩阵都没有问题，但乘法不一定交换。例如

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad AB=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix},\quad BA=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}.$$

图中换了另一对更稀疏的矩阵，仍能看清乘法顺序的影响。

所以矩阵构成非交换环；它没有满足本课默认的交换性，但其余环公理仍然成立。判断一个对象时，指出具体缺了什么，比只贴上“不是环”的标签更有用。

单位、零因子与约分

元素 $u$ 若有乘法逆元，就叫单位。非零元素 $a$ 若能与某个非零 $b$ 相乘得到 $0$，就叫零因子。在 $\mathbb Z/6\mathbb Z$ 中，$1,5$ 是单位，$2,3,4$ 是非零零因子。 单独列出，不把它混进“非零零因子”一栏。

单位不可能是零因子：$ub=0$ 左乘 $u^{-1}$ 就得到 $b=0$。不过，“不是单位”并不等于“是零因子”。整数 $2$ 没有整数逆元，却能约分。若 $a\ne0$ 且不是零因子，那么 给出 ，因而 。我们开头的例子恰好卡在这个条件上。

在有限运算表里选模 $6$，点选乘数 $2$。算之前想一想：这一行会出现全部六个元素吗？沿着图中的连线查看 $1$ 和 $4$ 的去向，再换成 $5$。前者把不同输入合并，后者把元素重新排列；这分别对应零因子的约分失败和单位乘法的可逆性。表格能给有限例子提供证据，关于任意环的结论仍要靠刚才的论证。

1

整数环中的 2 属于哪一种情况？

A.是单位，也是零因子B.是单位，不是零因子C.不是单位，也不是零因子D.不是单位，是零因子

同态保留了什么

环同态 $\varphi:R\to S$ 满足

$$\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\qquad \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b),\qquad \varphi(1_R)=1_S.$$

这里采用保幺约定。若目标是非零环，这会排除把所有元素都送到零的映射；目标为零环时，该映射仍然保幺。由加法保持性，$\varphi(0)=\varphi(0)+\varphi(0)$，所以 $\varphi(0)=0$；进而 $\varphi(-a)=-\varphi(a)$。这些不是可以任意挑选的附加属性。

投影 $\pi_n:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$ 把整数送到剩余类，是保幺同态。另一个常见例子是代入：$\operatorname{ev}_c:R[x]\to R$ 把多项式 送到 ，加法与乘法都能在代入前后交换顺序。

例题：$\varphi(k)=[2k]_4$ 是环同态吗？ 它保加法，因为 $[2(a+b)]_4=[2a]_4+[2b]_4$。但乘法两边分别是 和 。只取 ，就得到 。它还不保幺。发现其中一个失败见证便足以否定同态，不需要把所有公理都检查到最后。

在下面把映射设为 $\mathbb Z/12\mathbb Z\to\mathbb Z/4\mathbb Z$ 的自然降模，查看哪些点落进零点。试着把目标改成模 $5$：虽然可以给每个标准代表计算余数，但代表 $0$ 与 $12$ 的结果不同，降模规则不再与原来的剩余类相容。实验中的失败见证能指出是哪个等式被破坏。

核解释了哪些差别被合并

核是 $\ker\varphi=\{a\in R:\varphi(a)=0\}$。由于 $\varphi(a)-\varphi(b)=\varphi(a-b)$，两个元素有相同像，恰好意味着它们的差属于核。对于降模映射，这正是“相差一个模数的倍数”。

核对减法封闭，并且吸收整个环的乘法：若 $x\in\ker\varphi$，那么任意 $r\in R$ 都有 $\varphi(rx)=\varphi(r)\varphi(x)=0$。这样的加法子群叫。非空与减法封闭保证它含 、含加法逆元并对加法封闭；吸收性则比只在集合内部相乘强得多。

这也给出一个常用判据：同态单射当且仅当核为 $\{0\}$。单射时只有 $0$ 能送到 $0$；反过来，$\varphi(a)=\varphi(b)$ 会使 $a-b$ 落入零核，从而 $$。

子环与理想的要求不同

本课的子环含原环的 $1$，并对减法与乘法封闭。在 $\mathbb Z[x]$ 中，常数多项式构成子环 $\mathbb Z$。它不是理想：$1$ 属于它，乘上整个环里的 $x$ 就离开了它。

所有常数项为零的多项式构成理想 $(x)$，因为相减仍无常数项，乘以任意多项式也不会产生常数项。它不含 $1$，所以不是本课约定的子环。这两个集合都含零多项式，它们的交集是 $\{0\}$，不能画成互不相交。

由 $a_1,\ldots,a_k$ 生成的理想 $(a_1,\ldots,a_k)$ 是所有 的集合。它包含这些生成元，也包含任何含这些生成元的理想所必须容纳的线性组合。若一个理想包含 ，则对任意 ， 也在其中，因此该理想等于整个环。

练习

1. 在 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ 中列出全部单位和非零零因子，并给每个零因子一个非零的乘法伙伴。

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单位是 $1,3,5,7$，它们的平方都等于 $1$。非零零因子是 $2,4,6$：分别可乘 $4,2,4$ 得零。剩下的元素 $0$ 单独处理。这已经检查完八个剩余类。

2. 设 $\varphi:R\to S$ 是保幺环同态。证明它把单位送到单位；再解释为什么不能用这个理由断言它把零因子送到非零零因子。

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若 $uv=1$，则 $\varphi(u)\varphi(v)=1$，所以 $\varphi(v)$ 就是像的逆元。对零因子只能得到 $\varphi(a)\varphi(b)=0$，两个像未必非零。例如从模 降到模 ，非零元素 被送到了零。

3. 证明代入同态 $\mathbb Z[x]\to\mathbb Z$，$f\mapsto f(0)$ 的核为 $(x)$，并由此判断哪些多项式具有相同像。

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$f(0)=0$ 恰好表示常数项为零，因而 $f=xg$。所以核是 $(x)$。两个多项式具有相同像，当且仅当其常数项相同，也等价于它们的差是 $x$ 的倍数。

4. 在非零环 $R$ 中，设理想 $I$ 含有一个单位。证明 $I=R$。这个论证中，单位条件用在哪里？

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设单位 $u\in I$。吸收性使 $u^{-1}u=1\in I$，再使任意 $r=r\cdot1\in I$。单位条件提供了环内的逆元；仅有一个非零元素不够，例如 含 却不等于 。

2

本课约定下，零环允许出现，但整环必须排除零环。

正确错误

3

为什么环同态的核对整个环的乘法具有吸收性？

A.核是任意子集B.同态保乘法，而核中的元素像为零C.目标环中的每个元素都有逆元D.任何加法子群都有吸收性