第6章 麦克斯韦电磁场理论、电磁波与辐射
一根导线中有稳定电流时，安培环路定理工作得很漂亮：磁场沿闭合曲线的环量由穿过曲面的电流决定。可把导线接到正在充电的电容器上，麻烦立刻出现了。你沿同一个闭合回路张开一张平面，它切过导线，能“看见”电流；换成另一张鼓进两极板之间的曲面，它没有切过任何导线，似乎“看不见”电流。同一条边界，磁场环量难道会因你心里选择的曲面而改变吗？
当然不会。矛盾不是磁场变得任性，而是原来的规律只适用于稳恒电流。当电场随时间变化时，极板间虽然没有自由电荷跨越，却同样能激发磁场。麦克斯韦补上的这一块，不只修复了一个公式，还把电和磁接成了能够自行传播的波。本章就从这道裂缝出发，看电磁波怎样从方程中“长出来”，又怎样带走能量和动量。
电容器间隙里没有电流，磁场从哪里来
设平行板电容器正在充电，导线中的传导电流为 I I I C C C S 1 S_1 S 1
∮ C B ⋅ d l = μ 0 I . \oint_C \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l=\mu_0 I. ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I . 但同一回路还可以围住另一张曲面 S 2 S_2 S 2 μ 0 I \mu_0I μ 0 I
忽略边缘效应，极板面积为 A A A q q q
E = q ε 0 A , Φ E = E A = q ε 0 . E=\frac{q}{\varepsilon_0A},
\qquad
\Phi_E=EA=\frac{q}{\varepsilon_0}. E = ε 0 A q , Φ E = E A = ε 0 q . 因此
ε 0 d Φ E d t = d q d t = I . \varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}
=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}=I. ε 0 d t d Φ E = d t d q = I . 麦克斯韦把
I d = ε 0 d Φ E d t \boxed{I_{\mathrm d}=\varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}} I d = ε 0 d t d Φ E 称为位移电流 。对上面的理想电容器，I d = I I_{\mathrm d}=I I d = I
这里很容易产生一个形象却错误的念头：既然名字里有“电流”，是不是电子正从绝缘间隙的一块极板跳到另一块极板？不是。位移电流描述变化电场产生磁效应，它不等同于自由电荷穿过介质，也不会仅凭这个定义产生焦耳热。它与传导电流有相同量纲，进入安培环路关系时地位相同，但微观机制不同。
先在下面的实验台里作一个预测：若把极板面积加倍，而仍保持导线电流 I I I
在保持 I I I d E / d t \mathrm dE/\mathrm dt d E / d t ε 0 A d E / d t \varepsilon_0A\,\mathrm dE/\mathrm dt ε 0 A d E / d t I I I A A A
更深一层看，位移电流还让电荷守恒与磁场规律彼此相容。给电容器充电时，电荷并没有在导线末端凭空消失，而是积累在极板上；电荷积累造成电通量变化，恰好接过传导电流在间隙中的“磁效应账本”。
若变化电场并不均匀，还可以定义位移电流密度
J d = ε 0 ∂ E ∂ t , I d = ∬ S J d ⋅ d A . \mathbf J_{\mathrm d}=\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t},
\qquad
I_{\mathrm d}=\iint_S\mathbf J_{\mathrm d}\cdot\mathrm d\mathbf A. J d = ε 0 ∂ t ∂ E , I d = ∬ S J d ⋅ d A . 这提醒我们：I d = ε 0 A d E / d t I_{\mathrm d}=\varepsilon_0A\,\mathrm dE/\mathrm dt I d = ε 0 A d E / d t
四条方程不是四张卡片，而是一套场的规则
把此前学过的电场和磁场规律放在一起，在真空中可写成麦克斯韦方程组的积分形式：
∯ S E ⋅ d A = Q i n ε 0 电场的高斯定理 , \boxed{\oiint_S \mathbf E\cdot \mathrm d\mathbf A
=\frac{Q_{\mathrm{in}}}{\varepsilon_0}}
\qquad\text{电场的高斯定理}, ∬ S E ⋅ d A = ε 0 Q in 电场的高斯定理 , ∯ S B ⋅ d A = 0 磁场的高斯定理 , \boxed{\oiint_S \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf A=0}
\qquad\text{磁场的高斯定理}, ∬ S B ⋅ d A = 0 磁场的高斯定理 , ∮ C E ⋅ d l = − d Φ B d t 法拉第电磁感应定律 , \boxed{\oint_C \mathbf E\cdot \mathrm d\mathbf l
=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}}
\qquad\text{法拉第电磁感应定律}, ∮ C E ⋅ d l = − d t d Φ B 法拉第电磁感应定律 , ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I c + μ 0 ε 0 d Φ E d t 安培—麦克斯韦定律 . \boxed{\oint_C \mathbf B\cdot \mathrm d\mathbf l
=\mu_0 I_{\mathrm c}
+\mu_0\varepsilon_0\frac{\mathrm d\Phi_E}{\mathrm dt}}
\qquad\text{安培—麦克斯韦定律}. ∮ C B ⋅ d l = μ 0 I c + μ 0 ε 0 d t d Φ E 安培 — 麦克斯韦定律 . 这里第三、第四式的积分回路及其跨界曲面均固定在所用参考系中；移动回路还须计入动生项。其中 I c I_{\mathrm c} I c d A \mathrm d\mathbf A d A C C C
第一条说电荷是电场的源或汇，穿出闭合面的净电通量由面内净电荷决定。它并不说“面内有电荷，面上每一点的电场都一样”，也不说面外电荷对面上电场没有贡献；面外电荷可以改变局部电场，只是对整个闭合面的净通量贡献为零。
第二条说任意闭合面的净磁通量为零。它对应磁力线没有被观察到的起点或终点，穿进多少就要穿出多少。注意，这不是“任意开口面磁通量为零”，线圈平面当然可以有非零磁通量。
第三条说明变化磁场产生涡旋电场 。这种电场的场线可以闭合，不必从正电荷出发、在负电荷终止，所以它与静电场的保守性不同。第四条则说明传导电流和变化电场都能产生环绕的磁场。两条旋涡规律并列后，电与磁第一次获得了近乎对称的动态关系。
下面不要急着背方程。先看场景，判断应对“面”做通量还是对“边界”做环量，再选择规律。做完后尤其检查方向约定：很多符号错误并不是不会物理，而是曲面法线换了方向，回路绕向却没有一起换。
把四式放在一起看，还能发现一个关键的不对称：电荷可以作为电场通量的源，而经典电磁学中没有对应的磁荷项；但在旋涡规律中，变磁场激发电场，变电场也激发磁场。正是后一种相互联系，为脱离导线、脱离介质的场扰动继续向远方传播提供了可能。
积分形式还有一个常被忽略的优点：它直接告诉你测量什么。通量把一个面上无数个局部场分量汇总，环量把一条闭合路径上的切向分量汇总。对称性足够强时，积分量可以反推出局部场；对称性不足时，方程仍然成立，只是不能把 E E E B B B
同样，法拉第定律右侧用的是穿过跨界面的磁通量，而左侧用的是该面的边界。只要空间中磁场足够光滑，不同跨界面会给出相容结果。选择曲面是计算自由，不是改变物理过程的开关。学习积分方程时若只记“外面一个圈、里面一个面”，却不追踪边界和方向，遇到负号就只能猜。
麦克斯韦方程组描述场怎样由源产生、怎样随时间耦合；带电粒子在给定场中怎样受力，还要配合洛伦兹力 F = q ( E + v × B ) \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) F = q ( E + v × B )
变化的场怎样摆脱源，向真空深处传播
想象发射端的电荷在高频交变电场中来回加速。源附近的电场一旦改变，法拉第定律和安培—麦克斯韦定律会让变化的电场与磁场彼此关联。你可能会把它说成“电场先生磁场，磁场再生电场”。这句话可以帮助建立直觉，但不能理解成两个场在同一点按时间排队出现；在传播的平面电磁波中，E \mathbf E E B \mathbf B B
在远离源、电荷密度和传导电流都可忽略的真空区域，取沿 + x +x + x y y y z z z
∂ E y ∂ x = − ∂ B z ∂ t , ∂ B z ∂ x = − μ 0 ε 0 ∂ E y ∂ t . \frac{\partial E_y}{\partial x}
=-\frac{\partial B_z}{\partial t},
\qquad
\frac{\partial B_z}{\partial x}
=-\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E_y}{\partial t}. ∂ x ∂ E y = − ∂ t ∂ B z , ∂ x ∂ B z = − μ 0 ε 0 ∂ t ∂ E y . 再分别对 x x x t t t
∂ 2 E y ∂ x 2 = μ 0 ε 0 ∂ 2 E y ∂ t 2 , ∂ 2 B z ∂ x 2 = μ 0 ε 0 ∂ 2 B z ∂ t 2 . \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}
=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2},
\qquad
\frac{\partial^2 B_z}{\partial x^2}
=\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2}. ∂ x 2 ∂ 2 E y = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 E y , ∂ x 2 ∂ 2 B z = μ 0 ε 0 ∂ t 2 ∂ 2 B z . 这正是一维波动方程，传播速度为
c = 1 μ 0 ε 0 ≈ 2.998 × 10 8 m / s . \boxed{c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}}
\approx2.998\times10^8\ \mathrm{m/s}. c = μ 0 ε 0 1 ≈ 2.998 × 1 0 8 m/s . 把真空介电常量和真空磁导率代进去，速度恰好与真空光速一致。于是光不再需要假想的机械介质来承载，它就是电磁波。这个推导最动人的地方不在于“算对了一个速度”，而在于电学、磁学和光学在同一套方程里汇合了。
对沿 + x +x + x
E ( x , t ) = E 0 cos ( k x − ω t + φ ) e y , \mathbf E(x,t)=E_0\cos(kx-\omega t+\varphi)\,\mathbf e_y, E ( x , t ) = E 0 cos ( k x − ω t + φ ) e y , B ( x , t ) = B 0 cos ( k x − ω t + φ ) e z , \mathbf B(x,t)=B_0\cos(kx-\omega t+\varphi)\,\mathbf e_z, B ( x , t ) = B 0 cos ( k x − ω t + φ ) e z , 并有
E 0 = c B 0 , ω = c k , λ f = c . \boxed{E_0=cB_0},
\qquad
\omega=ck,
\qquad
\lambda f=c. E 0 = c B 0 , ω = c k , λ f = c .
因此真空平面波有四个要连在一起记的性质：它是横波；E \mathbf E E B \mathbf B B E \mathbf E E B \mathbf B B E × B \mathbf E\times\mathbf B E × B
横向性也不是画图习惯。在无源区取一个很薄的闭合柱面，让柱轴沿传播方向。若电场含有随波前后变化的纵向分量，柱体前后两端就会出现不能彼此抵消的净电通量，与面内无电荷的高斯定理冲突；磁场同理。这一论证依赖理想平面波和无源真空条件，靠近天线的近场可以存在复杂的纵向分量，不能把远区结论原封不动搬回源附近。
还要分清“同相”和“同方向”。同相表示同一地点的两个场分量同时过零、同时达到各自峰值；同方向则要求两个矢量平行，而电磁波中的 E \mathbf E E B \mathbf B B
先在实验台里把传播方向反转，再预测磁场方向应不应该改变。随后改变频率和电场振幅，观察哪些量跟着变，哪些关系始终不变。
若保持 E \mathbf E E E × B \mathbf E\times\mathbf B E × B B \mathbf B B c c c E 0 E_0 E 0 B 0 B_0 B 0 E 0 / c E_0/c E 0 / c
波不只是场在振动，它还在搬运能量
阳光能加热地面，微波能加热食物，无线电波能在接收天线中驱动电荷运动。这些现象都提醒我们：电磁波不是一幅无代价移动的图案，它携带能量。
真空中电场和磁场的瞬时能量密度分别为
u E = 1 2 ε 0 E 2 , u B = B 2 2 μ 0 . u_E=\frac12\varepsilon_0E^2,
\qquad
u_B=\frac{B^2}{2\mu_0}. u E = 2 1 ε 0 E 2 , u B = 2 μ 0 B 2 . 对平面电磁波，利用 E = c B E=cB E = c B c 2 = 1 / ( μ 0 ε 0 ) c^2=1/(\mu_0\varepsilon_0) c 2 = 1/ ( μ 0 ε 0 ) u E = u B u_E=u_B u E = u B
u = u E + u B = ε 0 E 2 = B 2 μ 0 . u=u_E+u_B
=\varepsilon_0E^2
=\frac{B^2}{\mu_0}. u = u E + u B = ε 0 E 2 = μ 0 B 2 . 别把这里的“相等”推广到任意电磁场。它成立于真空中的平面电磁波；在电容器的准静电场或线圈的准静磁场附近，电场能与磁场能未必相等。
能量流动的方向和速率由坡印廷矢量 描述：
S = 1 μ 0 E × B . \boxed{\mathbf S=\frac{1}{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B}. S = μ 0 1 E × B . S \mathbf S S W / m 2 \mathrm{W/m^2} W/ m 2 S S S
P = ∬ S S ⋅ d A . P=\iint_S\mathbf S\cdot\mathrm d\mathbf A. P = ∬ S S ⋅ d A .
对真空简谐平面波，若 E = E 0 cos ( k x − ω t ) E=E_0\cos(kx-\omega t) E = E 0 cos ( k x − ω t )
S ( t ) = ε 0 c E 0 2 cos 2 ( k x − ω t ) . S(t)=\varepsilon_0cE_0^2\cos^2(kx-\omega t). S ( t ) = ε 0 c E 0 2 cos 2 ( k x − ω t ) . 一个周期内 ⟨ cos 2 ⟩ = 1 / 2 \langle\cos^2\rangle=1/2 ⟨ cos 2 ⟩ = 1/2
⟨ S ⟩ = 1 2 ε 0 c E 0 2 = E 0 B 0 2 μ 0 = ε 0 c E r m s 2 . \boxed{\langle S\rangle
=\frac12\varepsilon_0cE_0^2
=\frac{E_0B_0}{2\mu_0}
=\varepsilon_0cE_{\mathrm{rms}}^2}. ⟨ S ⟩ = 2 1 ε 0 c E 0 2 = 2 μ 0 E 0 B 0 = ε 0 c E rms 2 . 这说明场振幅加倍，平均强度变为四倍。先预测：一束均匀电磁波斜着穿过面积固定的窗口，窗口逐渐转到与波束垂直时，接收功率怎样变化？在实验台里要特别看清角度是传播方向与面积法线 之间的夹角。
坡印廷矢量还把局部能量守恒写得很清楚。对体积 V V V ∂ V \partial V ∂ V
d d t ∭ V u d V + ∯ ∂ V S ⋅ d A = − ∭ V J ⋅ E d V . \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\iiint_V u\,\mathrm dV
+\oiint_{\partial V}\mathbf S\cdot\mathrm d\mathbf A
=-\iiint_V\mathbf J\cdot\mathbf E\,\mathrm dV. d t d ∭ V u d V + ∬ ∂ V S ⋅ d A = − ∭ V J ⋅ E d V . 第一项是区域内场能的变化率，第二项是向外流出的电磁功率，右侧表示电场对区域内电荷做功所消耗的场能。若 J ⋅ E > 0 \mathbf J\cdot\mathbf E>0 J ⋅ E > 0 S \mathbf S S
对均匀波和面积为 A A A P = ⟨ S ⟩ A cos θ P=\langle S\rangle A\cos\theta P = ⟨ S ⟩ A cos θ θ = 0 \theta=0 θ = 0 θ = 90 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ θ \theta θ
能量带着动量：很小，却可以测到
电磁波被物体吸收时会传递动量，因此产生辐射压力。平面波的动量密度为
g = S c 2 . \mathbf g=\frac{\mathbf S}{c^2}. g = c 2 S . 正入射时，完全吸收面的平均辐射压力为
p a b s = ⟨ S ⟩ c , p_{\mathrm{abs}}=\frac{\langle S\rangle}{c}, p abs = c ⟨ S ⟩ , 理想镜面反射使法向动量反向，动量改变量加倍，所以
p r e f l = 2 ⟨ S ⟩ c . p_{\mathrm{refl}}=\frac{2\langle S\rangle}{c}. p refl = c 2 ⟨ S ⟩ . 这两个式子都要带着条件使用：正入射、分别为完全吸收或理想反射。斜入射时还要考虑单位时间击中表面的能量和法向动量分量，若 θ \theta θ
p a b s , n = ⟨ S ⟩ c cos 2 θ , p r e f l , n = 2 ⟨ S ⟩ c cos 2 θ . p_{\mathrm{abs},n}=\frac{\langle S\rangle}{c}\cos^2\theta,
\qquad
p_{\mathrm{refl},n}=\frac{2\langle S\rangle}{c}\cos^2\theta. p abs , n = c ⟨ S ⟩ cos 2 θ , p refl , n = c 2 ⟨ S ⟩ cos 2 θ . 太阳光在地面附近的强度即使达到约 10 3 W / m 2 10^3\,\mathrm{W/m^2} 1 0 3 W/ m 2
在下面把表面从吸收切换成反射前，先说出力为什么会变成两倍。再把表面倾斜，观察“截获能量减少”和“法向动量减少”如何共同给出 cos 2 θ \cos^2\theta cos 2 θ
如果只说“反射光走了两段路，所以压力两倍”，理由并不准确。关键是动量：吸收把入射法向动量从原值变为零，反射把它从正值变为等大的负值，物体得到的动量改变量才是两倍。这种从能量流到动量流的转换，也是坡印廷矢量不只是“画方向箭头”的证据。
什么样的电荷会把能量辐射到远方
静止电荷产生静电场，稳恒电流产生稳定磁场；它们的场可以延伸到远处，却不等于持续向外输送电磁波。要形成辐射，源中的电荷必须有随时间变化的运动状态，最典型的是加速电荷 。天线中高频交变电流让电荷来回加速，变化的电磁场便能从源附近脱离并向外传播。
用最简单的振荡电偶极子建立图景：两个等量异号电荷的分离随时间周期变化。靠近源时，场仍强烈保留类似静电偶极子的形状，并夹杂感应成分；在足够远的辐射区，真正能把能量持续带走的场分量按 1 / r 1/r 1/ r 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2
“足够远”不是一个固定米数，而要和源的尺度及波长比较。只有当观察距离远大于辐射源的特征尺寸，并进入以横向辐射场为主的区域，才适合用局部平面波、E = c B E=cB E = c B
短电偶极子的远区辐射强度具有
I ( r , θ ) ∝ sin 2 θ r 2 , I(r,\theta)\propto\frac{\sin^2\theta}{r^2}, I ( r , θ ) ∝ r 2 sin 2 θ , 其中 θ \theta θ θ = 0 \theta=0 θ = 0 π \pi π θ = π / 2 \theta=\pi/2 θ = π /2
现在先猜一猜：把探测器从赤道方向移到与偶极轴成 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
在 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ sin 2 30 ∘ = 1 / 4 \sin^230^\circ=1/4 sin 2 3 0 ∘ = 1/4 1 / 4 1/4 1/4 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2
辐射功率对加速度非常敏感。对给定振幅的简谐偶极振荡，频率越高，加速度变化越剧烈，辐射通常越强；但本章只需要掌握“加速电荷产生辐射、远区场横向传播、能量向外流动”的基本图景，不推导专业天线理论。
远处探测器接收到的并不是源“此刻”的状态。场的变化以有限速度 c c c r r r t − r / c t-r/c t − r / c
从火花到波谱：理论如何被实验认出来
麦克斯韦的方程先于实验室中的无线电波给出了预言。赫兹用带火花隙的振荡回路作为发射端，在另一处放置带小间隙的接收环；接收端出现微小火花，说明能量并非通过导线传过去。他还观察到反射、干涉等波动行为，从而确认这种扰动确实是电磁波。
实验图里最重要的不是记住装置长相，而是识别证据链：发射端电荷做快速振荡；空间中传播的电磁场把能量带到接收端；调谐后的回路响应并出现可观察信号；改变几何布置还能检验波长、反射和干涉。接收端有响应并不意味着有粒子从发射端沿直线“撞”进小环，而是场驱动接收回路中的电荷运动。
不同频率的电磁波遵守相同的真空传播规律，只是在与物质相互作用、产生和探测方式上表现不同。按频率从低到高，通常依次讨论无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和伽马射线；相应地，波长从长到短。
频率和波长不是两把互不相干的尺，在真空中它们始终满足 c = λ f c=\lambda f c = λ f c c c
可见光只是很窄的一段电磁波谱。手机通信、雷达、热成像、紫外消毒和医学成像之所以能用同一理论描述，是因为它们本质上都是电磁场的传播。但“同属电磁波”不等于生物效应相同，频率、强度、照射时间和物质吸收机制都会影响结果。下一章进入早期量子论后，我们还会发现：只用连续波的能量图景，不能解释黑体辐射和光电效应，能量交换还显露出量子化的一面。
章末梳理
位移电流 I d = ε 0 d Φ E / d t I_{\mathrm d}=\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt I d = ε 0 d Φ E / d t
麦克斯韦四条积分方程分别约束电通量、磁通量、电场环量和磁场环量；使用时必须同时说明积分对象、方向约定和适用条件。
真空无源区中，变化电场与变化磁场满足波动方程，以 c = 1 / μ 0 ε 0 c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} c = 1/ μ 0 ε 0 E \mathbf E E B \mathbf B B E = c B E=cB E = c B
坡印廷矢量 S = ( 1 / μ 0 ) E × B \mathbf S=(1/\mu_0)\mathbf E\times\mathbf B S = ( 1/ μ 0 ) E × B
电磁波携带动量，可产生辐射压力。加速电荷能够辐射；短电偶极子远区强度具有 sin 2 θ / r 2 \sin^2\theta/r^2 sin 2 θ / r 2
课后练习
1. 充电电容器中的位移电流
一空气平行板电容器的极板面积为 2.0 × 10 − 2 m 2 2.0\times10^{-2}\,\mathrm{m^2} 2.0 × 1 0 − 2 m 2 3.0 × 10 8 V / ( m ⋅ s ) 3.0\times10^{8}\,\mathrm{V/(m\cdot s)} 3.0 × 1 0 8 V/ ( m ⋅ s )
查看解析 由 I d = ε 0 d Φ E / d t I_{\mathrm d}=\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt I d = ε 0 d Φ E / d t Φ E = E A \Phi_E=EA Φ E = E A
I d = ε 0 A d E d t = 8.85 × 10 − 12 × 2.0 × 10 − 2 × 3.0 × 10 8 ≈ 5.3 × 10 − 5 A . I_{\mathrm d}=\varepsilon_0A\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}
=8.85\times10^{-12}\times2.0\times10^{-2}\times3.0\times10^8
\approx5.3\times10^{-5}\,\mathrm A. I d = ε 0 A d t d E = 8.85 × 1 0 − 12 × 2.0 × 1 0 − 2 × 3.0 × 1 0 8 ≈ 5.3 × 1 0 − 5 A . 即约 53 μ A 53\,\mu\mathrm A 53 μ A 53 μ A 53\,\mu\mathrm A 53 μ A
2. 为什么两张曲面不能给出两个答案
同一闭合回路 C C C
查看解析 穿导线的曲面记录传导电流 I c = I I_{\mathrm c}=I I c = I I d = ε 0 d Φ E / d t I_{\mathrm d}=\varepsilon_0\,\mathrm d\Phi_E/\mathrm dt I d = ε 0 d Φ E / d t I d = d q / d t = I I_{\mathrm d}=\mathrm dq/\mathrm dt=I I d = d q / d t = I I c + I d I_{\mathrm c}+I_{\mathrm d} I c + I d ∮ C B ⋅ d l \oint_C\mathbf B\cdot\mathrm d\mathbf l ∮ C B ⋅ d l
3. 用方程判断场的来源
分别回答：①闭合面内没有净电荷，是否能断言面上处处 E = 0 \mathbf E=0 E = 0
查看解析 ①不能。电通量为零只约束 ∯ E ⋅ d A = 0 \oiint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf A=0 ∬ E ⋅ d A = 0 ∮ E ⋅ d l = − d Φ B / d t \oint\mathbf E\cdot\mathrm d\mathbf l=-\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt ∮ E ⋅ d l = − d Φ B / d t
4. 平面波的波长与磁场振幅
某真空简谐平面电磁波频率为 100 M H z 100\,\mathrm{MHz} 100 MHz 60 V / m 60\,\mathrm{V/m} 60 V/m
查看解析 f = 1.00 × 10 8 H z f=1.00\times10^8\,\mathrm{Hz} f = 1.00 × 1 0 8 Hz λ = c / f \lambda=c/f λ = c / f
λ = 3.00 × 10 8 1.00 × 10 8 = 3.00 m . \lambda=\frac{3.00\times10^8}{1.00\times10^8}=3.00\,\mathrm m. λ = 1.00 × 1 0 8 3.00 × 1 0 8 = 3.00 m . 由 E 0 = c B 0 E_0=cB_0 E 0 = c B 0
B 0 = 60 3.00 × 10 8 = 2.0 × 10 − 7 T . B_0=\frac{60}{3.00\times10^8}
=2.0\times10^{-7}\,\mathrm T. B 0 = 3.00 × 1 0 8 60 = 2.0 × 1 0 − 7 T . 提高频率会缩短波长，但在真空中传播速度仍为 c c c E 0 / B 0 = c E_0/B_0=c E 0 / B 0 = c
5. 判断传播方向
真空中某平面波瞬时电场沿 + y +y + y − z -z − z
查看解析 传播方向沿 E × B \mathbf E\times\mathbf B E × B e y × ( − e z ) = − e x \mathbf e_y\times(-\mathbf e_z)=-\mathbf e_x e y × ( − e z ) = − e x − x -x − x + x +x + x + y +y + y + z +z + z e y × e z = e x \mathbf e_y\times\mathbf e_z=\mathbf e_x e y × e z = e x
6. 从电场振幅求平均强度
真空平面简谐波的电场振幅为 300 V / m 300\,\mathrm{V/m} 300 V/m
查看解析 由
⟨ S ⟩ = 1 2 ε 0 c E 0 2 , \langle S\rangle=\frac12\varepsilon_0cE_0^2, ⟨ S ⟩ = 2 1 ε 0 c E 0 2 , 得
⟨ S ⟩ = 1 2 × 8.85 × 10 − 12 × 3.00 × 10 8 × ( 300 ) 2 ≈ 1.19 × 10 2 W / m 2 . \langle S\rangle
=\frac12\times8.85\times10^{-12}\times3.00\times10^8\times(300)^2
\approx1.19\times10^2\,\mathrm{W/m^2}. ⟨ S ⟩ = 2 1 × 8.85 × 1 0 − 12 × 3.00 × 1 0 8 × ( 300 ) 2 ≈ 1.19 × 1 0 2 W/ m 2 . 平均强度与 E 0 2 E_0^2 E 0 2
7. 倾斜接收面的功率
一束平均强度为 500 W / m 2 500\,\mathrm{W/m^2} 500 W/ m 2 0.040 m 2 0.040\,\mathrm{m^2} 0.040 m 2 60 ∘ 60^\circ 6 0 ∘
查看解析 均匀波穿过平面的功率为
P = ⟨ S ⟩ A cos θ = 500 × 0.040 × cos 60 ∘ = 10 W . P=\langle S\rangle A\cos\theta
=500\times0.040\times\cos60^\circ
=10\,\mathrm W. P = ⟨ S ⟩ A cos θ = 500 × 0.040 × cos 6 0 ∘ = 10 W . 这里 θ \theta θ 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ sin 30 ∘ \sin30^\circ sin 3 0 ∘
8. 光压的数量级
平均强度为 1.20 × 10 3 W / m 2 1.20\times10^3\,\mathrm{W/m^2} 1.20 × 1 0 3 W/ m 2 20 m 2 20\,\mathrm{m^2} 20 m 2
查看解析 正入射完全吸收时
p a b s = I c = 1.20 × 10 3 3.00 × 10 8 = 4.0 × 10 − 6 P a , p_{\mathrm{abs}}=\frac{I}{c}
=\frac{1.20\times10^3}{3.00\times10^8}
=4.0\times10^{-6}\,\mathrm{Pa}, p abs = c I = 3.00 × 1 0 8 1.20 × 1 0 3 = 4.0 × 1 0 − 6 Pa , F a b s = p A = 4.0 × 10 − 6 × 20 = 8.0 × 10 − 5 N . F_{\mathrm{abs}}=pA
=4.0\times10^{-6}\times20
=8.0\times10^{-5}\,\mathrm N. F abs = p A = 4.0 × 1 0 − 6 × 20 = 8.0 × 1 0 − 5 N . 理想反射时压力和力均加倍：p r e f l = 8.0 × 10 − 6 P a p_{\mathrm{refl}}=8.0\times10^{-6}\,\mathrm{Pa} p refl = 8.0 × 1 0 − 6 Pa F r e f l = 1.6 × 10 − 4 N F_{\mathrm{refl}}=1.6\times10^{-4}\,\mathrm N F refl = 1.6 × 1 0 − 4 N
9. 偶极辐射的角度与距离
短电偶极子远区某点位于赤道方向、距源 r r r I 0 I_0 I 0 30 ∘ 30^\circ 3 0 ∘ 2 r 2r 2 r I 0 I_0 I 0
查看解析 远区比例关系为 I ∝ sin 2 θ / r 2 I\propto\sin^2\theta/r^2 I ∝ sin 2 θ / r 2 θ = 90 ∘ \theta=90^\circ θ = 9 0 ∘ sin 2 θ = 1 \sin^2\theta=1 sin 2 θ = 1 sin 2 30 ∘ = 1 / 4 \sin^230^\circ=1/4 sin 2 3 0 ∘ = 1/4 r 2 / ( 2 r ) 2 = 1 / 4 r^2/(2r)^2=1/4 r 2 / ( 2 r ) 2 = 1/4
I ′ I 0 = 1 4 × 1 4 = 1 16 . \frac{I'}{I_0}=\frac14\times\frac14=\frac1{16}. I 0 I ′ = 4 1 × 4 1 = 16 1 . 只算角度或只算距离都会漏掉一个独立因素；同时必须确认两点都在同一短偶极子的远区。
10. 从测量数据识别辐射区
以下是某发射源同一方向上的场强教学模拟数据，假设频率和发射状态保持不变：
判断这些数据是否支持远区辐射场 E 0 ∝ 1 / r E_0\propto1/r E 0 ∝ 1/ r
查看解析 距离每加倍，电场振幅约减半：12.0 → 6.1 → 3.0 → 1.5 12.0\to6.1\to3.0\to1.5 12.0 → 6.1 → 3.0 → 1.5 E 0 ∝ 1 / r E_0\propto1/r E 0 ∝ 1/ r ⟨ S ⟩ ∝ E 0 2 \langle S\rangle\propto E_0^2 ⟨ S ⟩ ∝ E 0 2 1 / r 2 1/r^2 1/ r 2
11. 综合判断：从电路到辐射
比较三种情况：甲，点电荷静止；乙，直导线中有恒定电流；丙，短天线中电流高频交变。分别说明它们是否具有静态场、是否持续向远方辐射，并指出丙情形中远区能量传播方向怎样判断。
查看解析 甲产生静电场，若电荷始终静止，场不随时间变化，不持续辐射。乙产生稳定磁场；理想稳恒电流及其完整回路的场分布不随时间变化，也不持续发射电磁波。丙中电荷做加速运动，电流和电荷分布随时间变化，能够产生向外传播的电磁辐射。远区局部可视为横向电磁波，能量流方向由
S = 1 μ 0 E × B \mathbf S=\frac1{\mu_0}\mathbf E\times\mathbf B S = μ 0 1 E × B 判断。容易混淆之处是“场存在到很远”和“能量不断向远方流动”不是同义句；前者可属于静态场，后者才由非零的径向平均坡印廷通量体现。
