第 4 章　电磁感应、动生电动势与感生电动势

把一块磁铁停在线圈旁边，检流计指针安安静静；把磁铁推向线圈，指针突然偏转；停住，指针又回到零；再把磁铁抽走，指针向相反方向偏转。磁场明明一直存在，为什么电流只在“动”的时候出现？再换一种做法：磁铁和线圈都不动，只让电磁铁中的电流改变，线圈中照样出现电流。看来真正关键的既不只是“有磁场”，也不只是“导体在运动”。

这组现象迫使我们寻找一个能同时描述磁场强弱、回路大小、朝向以及它们变化的量。答案是磁通量。而电磁感应最容易出错的地方，也正是把“磁场变化”“切割磁感线”“磁通量变化”和“产生电流”混成一句口号。本章要把这几件事一层层拆开：先看回路整体的磁通怎样变化，再追问电动势从哪里来，最后分别找到运动导体中的磁力机制和变化磁场激发电场的场机制。

图中最值得盯住的不是指针偏向哪边，而是三个状态的差别：磁铁停住时，即使线圈内有较强磁场，磁通量不变，感应电动势仍为零；靠近与远离对应磁通量沿相反趋势变化，所以电动势方向相反。闭合回路才有持续的感应电流，开路时仍可能存在感应电动势和端电压——“没有电流”不等于“没有电磁感应”。

一、磁通量：回路究竟“穿过了多少磁场”

1. 从投影面积理解有向磁通

在均匀磁场中放一个面积为 $S$ 的平面回路。若磁场与回路面垂直，穿过回路的效果最强；若磁场平行于回路面，磁感线只是贴着平面掠过，穿过效果为零。于是定义磁通量

其中 $\boldsymbol S=S\boldsymbol n$ 是有向面积矢量，$\boldsymbol n$ 是所选面法向，$\theta$ 是 $\boldsymbol B$ 与 $\boldsymbol n$ 的夹角。磁通量的国际单位是韦伯，$1\mathrm{W}\mathrm{b}$。

“有向”二字不是装饰。一个平面有两个相反法向，选定其中一个后，回路正向由右手螺旋关系随之确定：右手四指沿回路正向弯曲，大拇指就指向正法向。若把法向反过来，$\Phi_B$ 和以后计算出的电动势符号都会同时反号，但实际物理方向不会被改变。

注意图中的夹角是磁场与法向的夹角，不是磁场与平面的夹角。若题目给的是磁场与平面夹角 $\alpha$，就应写 $\Phi_B=BS\sin\alpha$。这是期末计算中很常见的第一处失分：公式记得对，角却找错了。

磁场不均匀或曲面不是平面时，不能拿某个“平均 $B$”草率相乘。把曲面分成许多面元，先算每个面元上的有向通量，再积分：

同一条闭合曲线可以张成不同曲面。在不存在磁单极、即 $\nabla\cdot\boldsymbol B=0$ 的经典电磁学中，不同张面给出的磁通相同，因此法拉第定律不会因“选了哪块膜”而含糊。

2. 让磁通变化的，不止磁场大小

由 $\Phi_B=BS\cos\theta$ 可见，磁通可因 $B$、$S$、$\theta$ 中任何一个随时间改变而改变：增强电磁铁电流是在改 $B$；滑动导体棒使回路面积改变是在改 ；发电机线圈转动是在改 。磁场甚至可以处处不变，而运动回路的磁通仍然变化。

先做一个预测：面积为 $0.020\ \mathrm{m^2}$ 的单匝线圈处在 $0.50\ \mathrm T$ 匀强磁场中，法向与磁场夹角由 $0$ 匀速变到 $90^\circ$，历时 $0.10\ \mathrm s$。平均感应电动势是零、，还是 ？不要用“转得匀速，所以通量均匀变化”来猜，因为余弦并不随角度线性变化；不过平均值只看初末通量。

下面先调磁场、面积和角度，再看 $\Phi_B$-$t$ 与 $\mathcal E$-$t$ 是否同步。尤其留意“参数在变”和“磁通在变”并不永远等价，例如磁场始终平行于线圈面时，增大面积也不改变磁通。

刚才小题中，初磁通为 $0.50\times0.020=0.010\ \mathrm{Wb}$，末磁通为零，所以平均电动势大小为 $|\Delta\Phi_B|/\Delta t=0.10\ \mathrm V$。易错点有两个：一是角度改变并不等于通量按同样规律改变；二是平均电动势只由总通量变化量和总时间决定，瞬时电动势才需要求导。

二、法拉第定律与楞次定律：大小和方向必须一起算

1. 负号不是“电动势为负”这么简单

对选定正向的单匝闭合回路，法拉第电磁感应定律写成

对每匝磁通相同、串联绕制的 $N$ 匝线圈，常写为

其中 $\Psi$ 称为磁链。若各匝磁通不同，应对各匝磁通求和，不能直接用同一个 $N\Phi_B$。

式中的负号表达楞次定律：感应电动势若能在闭合回路中形成电流，这个电流产生的磁场总要阻碍原磁通的变化。原磁通增大，感应磁场就试图把它压回去；原磁通减小，感应磁场就试图补回来。它阻碍的是“变化”，并不保证感应磁场总与原磁场相反。

判断方向时，建议老老实实走三问：选定穿过面的正方向后，原磁通是正还是负？它正在增大还是减小？为了阻碍这一变化，感应磁场应朝哪边？最后再用右手螺旋定则把感应磁场翻译成电流方向。直接背“靠近就是逆时针”没有意义，因为磁极、观察方向一换，背下来的箭头就失效。

现在把磁极、运动方向和观察端打乱。先独立判断，再看动画给出的磁通趋势、感应磁场和电流箭头能否连成一条因果链。

如果你在某一组情形里答反了，多半不是右手定则不会用，而是漏掉了“增大还是减小”这一层。楞次定律还藏着能量守恒：磁铁靠近闭合线圈时会受到排斥趋势，远离时会受到吸引趋势，外力必须做功才能维持运动；这些机械功最终可转化为电能和焦耳热。若感应效应反而帮助原来的变化，系统就会无源地越动越快，能量守恒将被破坏。

2. 瞬时值、平均值与电流不要混淆

在时间间隔 $\Delta t$ 内，平均电动势为

瞬时电动势则由导数给出。只有回路闭合并且总电阻、可能的自感等电路条件已知后，才能进一步求感应电流。忽略自感、把回路视为纯电阻时才可即时写

所以“磁通变化就一定有电流”少了条件；更准确的说法是磁通变化会产生感应电动势，闭合导电回路中才可能形成感应电流。本章先忽略回路自感对电流建立过程的影响，自感、互感与磁场能量将在下一章单独讨论。

把线圈接在示波器上时，常见的另一类问题不是给出 $B(t)$ 的解析式，而是给一张磁通—时间图像。此时图线的纵坐标可以很大，却不代表电动势大；真正决定电动势的是斜率。水平线段上磁通保持不变，电动势为零；斜率绝对值越大，电动势大小越大；折线斜率突然改变的理想化拐点处，电动势也发生突变。若磁通图线先上升后下降，电动势会在极值处换向，而不是等磁通穿过零点才换向。

这一点放到匀速转动线圈上尤其清楚。设 $N$ 匝、面积为 $S$ 的线圈在匀强磁场中以角速度 $\omega$ 转动，并令

则线圈总电动势为

磁通与电动势相差四分之一个周期：磁通达到正、负极值时，瞬时变化率为零，电动势也为零；磁通经过零时变化最快，电动势大小达到峰值 $NBS\omega$。你可能会觉得“没有磁通就不该有电动势”，但导数恰好揭示了相反的结果——电磁感应关心的是变化速度，而不是这一瞬间储存了多少磁通。

实际线圈的匀速转动还要求转轴、刷片和外电路共同工作。上式描述的是理想均匀磁场、线圈刚性转动且忽略边缘效应时的电动势波形；磁场不均匀、角速度波动或线圈有效面积改变时，波形就不再是严格正弦。遇到图像题，优先从 $\mathcal E=-\mathrm d\Psi/\mathrm dt$ 读取斜率，比凭“发电机一定输出正弦”更稳妥。

三、动生电动势：运动电荷受到磁力

1. 滑动导体棒中，谁在推动电荷

想象一根长为 $l$ 的金属棒搭在两条平行导轨上，导轨左端用电阻连接，整个装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中。外力使棒以速度 $\boldsymbol v$ 向右匀速运动。回路面积增大，法拉第定律当然能算出 $\mathcal E=Blv$；但若追问棒内正负电荷为什么分开，答案来自洛伦兹力。

棒中的电荷随导体整体运动，磁力为

单位正电荷受到的非静电力等效为 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$，于是运动导体从 $a$ 端到 $b$ 端的动生电动势是

积分方向从 $a$ 到 $b$。结果为正，表示等效非静电作用沿这个积分方向驱动正电荷；电能来自维持导体运动的外力做功，磁力对电荷总速度仍不做功；开路稳定后，电荷分离建立的静电场会与磁力平衡，此时两端可测得电势差。不要把电子实际偏转方向直接当成电动势正方向：电动势按单位正电荷定义。

先预测一下：若棒向右运动、磁场垂直纸面向里，回路电流方向确定后，棒受到的安培力会向右还是向左？楞次定律要求磁力阻碍面积增加引起的磁通变化，因此它应与速度反向。若你算出磁力帮助棒运动，电流方向一定有一处反了。

下面把 $B$、$l$、$v$ 和总电阻 $R$ 调成不同数值，同时核对电动势、电流、磁阻力、外力功率与焦耳热功率。先看箭头，再看能量账，比只记 $Blv$ 更不容易丢掉方向和条件。

在导轨电阻与接触电阻都计入总电阻、忽略自感并保持匀速时，

外力大小等于磁阻力，功率为

这条等式告诉我们，磁力本身不对单个电荷做功，因为它始终垂直于电荷瞬时速度；机械能输入来自推动导体的外力，磁力负责改变电荷运动方向并建立电流，最后能量在电阻中转化。说“磁场提供了电能”并不准确。

2. $Blv$ 只是特殊结果，线积分才是通用工具

对长度为 $l$ 的直棒，若速度和磁场在棒上处处相同，设 $\alpha$ 为 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol B$ 的夹角，$\beta$ 为 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 与棒的积分方向的夹角，则动生电动势大小为 。当 沿棒时，它才化为 ；进一步还要有 ，才能简化为熟悉的 。若棒倾斜、弯曲，或磁场随位置变化，就要按微元计算。图中每一小段的贡献由 决定：叉乘先筛掉与磁场平行的速度分量，点乘再筛掉不沿导线的分量。

例如，一根径向金属棒位于长直电流旁，与长直导线共面，并以平行于长直导线的速度 $v$ 平移。棒近端距长直导线 $d$，长度为 $L$。磁场大小随距离 $r$ 变化：

因此电动势大小不是“某处的 $B$ 乘 $Lv$”，而是

到底哪端电势高，必须结合电流方向、$\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 和积分方向判断，不能从正的“大小公式”里看出来。下面的探究器把直导体与弯曲导体分段，让每一段贡献显形；你还可以用这道非均匀磁场例题核对对数从哪里来。

若不同微元的贡献有正有负，先逐段确定符号，再相加；直接把所有贡献取绝对值会高估电动势。期末或考研题常在这里设置一个“看起来处处切割”的弯曲导体，真正的给分点是写出带方向的线积分，而不是套 $Blv$。

3. 转动导体与法拉第圆盘

一根长度为 $R$ 的导体棒绕一端在垂直转动平面的匀强磁场中以角速度 $\omega$ 转动。距轴 $r$ 处微元线速度为 $v=\omega r$，所以

最容易掉进的陷阱，是把末端速度 $\omega R$ 当成整根棒的速度，得到错误的 $B\omega R^2$。棒上各点速度不同，积分给出的系数 $1/2$ 正是这一区别留下的痕迹。

法拉第圆盘把许多径向“导体棒”连成一个旋转圆盘，轴心与边缘通过电刷接入外电路。即使闭合回路的几何形状看起来不随时间改变，运动部分中的载流子仍受 $q\boldsymbol v\times\boldsymbol B$，轴心与边缘之间产生动生电动势。

这提醒我们：“切割磁感线”只是一种直观说法，不是可以脱离电荷受力和回路边界随意使用的定律。对于含滑动接触、转动导体的回路，应明确哪些部分在运动，并用洛伦兹力线积分或对实际物质回路使用磁通法则。

四、感生电动势：变化磁场在空间激发涡旋电场

1. 导体不动，电荷为何仍会绕圈

把一个静止线圈放在随时间变化的磁场附近，线圈中仍有感应电动势。此时导体速度为零，$q\boldsymbol v\times\boldsymbol B$ 不能解释推动电荷沿回路运动的非静电力。更深一层的结论是：变化磁场会在周围空间激发感生电场，也叫涡旋电场。它不是只有放入导线才出现；导线只是把场的作用显示成电流。

对固定闭合路径 $L$，感生电场满足

这就是固定回路情况下法拉第定律的场论表达。静电场满足 $\oint\boldsymbol E_{\mathrm s}\cdot\mathrm d\boldsymbol l=0$，其电场线从正电荷出发、终止于负电荷；感生电场的环流可不为零，因而不能只用单值静电势在整个区域表示。下述圆柱对称模型的感生电场线是闭合圆周；一般情形不能仅由非零旋度断言每条电场线都闭合。

设半径为 $R$ 的长圆柱区域内有空间均匀、随时间变化的轴向磁场，区域外磁场近似为零。由圆柱对称性，感生电场沿同心圆切向分布。在半径为 $r$ 的圆周上，若 $r<R$，圆周包围的变化磁通来自面积 $\pi r^2$：

若 $r>R$，真正变化的磁通只来自半径 $R$ 的磁场区域：

负号仍表示切向方向与所选圆周正向的关系。大小在磁场区内随 $r$ 线性增大，在区外按 $1/r$ 减小，并在 $r=R$ 连续。注意：区外虽然 $B=0$，但 $E_{\mathrm i}$ 并不为零，因为该闭合路径包围着正在变化的磁通。

你可以先画出自己猜测的 $E$-$r$ 曲线，再改变 $\mathrm dB/\mathrm dt$ 的正负。若只把公式背成“$E=r\dot B/2$”，跨出磁场区后就会继续画直线，这正是最典型的分区错误。

交互中路径半径变大并不意味着包围的变化磁通永远按 $r^2$ 增长。越过 $R$ 后，磁通变化率已经封顶，只是同一环流被摊到更长的圆周上，所以场强反而减小。做题时先画出“磁场实际存在的区域”，再选积分路径，通常就能避开把 $r$ 与 $R$ 混用的陷阱。

2. 非闭合导体两端的感生电动势

在感生电场中，一段静止导线 $a$ 到 $b$ 的感生电动势可写成

由于涡旋场不是保守场，这个积分一般与路径有关，不能只由端点位置决定。若题目给一根直棒穿过圆形变化磁场区，最稳妥的做法是利用对称性先确定各点 $\boldsymbol E_{\mathrm i}$ 的切向方向，再取它沿棒方向的分量积分。不能把闭合环路的 $-\mathrm d\Phi_B/\mathrm dt$ 不加说明地直接当成任意开口棒两端电动势。

五、把两种机制放进同一幅图

对一个可能运动、变形的物质回路，单位正电荷受到的非静电作用可同时来自感生电场和运动磁力。非相对论条件下，回路电动势可写为

其中 $\boldsymbol v$ 是回路微元的速度。第一项是感生电动势，第二项是动生电动势。对随物质回路一起运动的边界，在场足够光滑、回路边界明确的经典情形下，两项合起来与总磁通变化满足磁通法则

这两个式子看似都能“一步到位”，实际分工不同：磁通法则适合从回路整体求总电动势；洛伦兹力与感生电场的分解则解释电动势究竟分布在哪些部分、由什么作用推动电荷。遇到导轨滑动、转轴电刷或开口导体，后者尤其重要。

可以把常见题目先分成三类：固定回路、磁场随时间变，主角是 $\boldsymbol E_{\mathrm i}$；磁场恒定、导体运动或回路变形，主角是 $\boldsymbol v\times\boldsymbol B$；两者同时发生，就分别计算后按同一正向相加。分类的依据是物理机制，不是题目画得像线圈还是金属棒。

再补一个容易被忽略的边界：所谓“磁场恒定”必须说明相对于哪个参考系和哪个位置。导体进入一块空间上不均匀但时间不变的磁场时，导体所经历的 $B$ 在变化，却仍属于典型动生问题；固定线圈旁的磁场随时间改变，则属于感生问题。两种情形都能让穿过物质回路的磁通改变，但前者的非静电作用主要是运动磁力，后者的非静电作用主要是涡旋电场。用“回路所在处的磁场变了”一句话替代机制分析，会在开路导体或混合运动问题中失去方向依据。

还要注意电动势并不是某个点的量。电势可以在静电场中与空间点相联系，电动势却是非静电力沿一段路径或整个回路做功的积分。问“线圈上某点的电动势是多少”通常缺乏明确意义；应问某段导体两端的电动势，或沿指定闭合回路的总电动势。这个语言习惯会直接影响你是否记得写积分路径和方向。

六、涡电流：感应电流不一定沿着导线圈走

把整块金属放进变化磁场，金属内部也存在许多可设想的闭合路径。感生电场推动自由电荷沿这些路径成环流动，形成涡电流。它不是一股固定走向的单线电流，而是分布在导体截面中的电流密度场；具体形状受磁场分布、导体几何形状、电导率和频率共同影响。

涡电流有两张面孔。电磁炉利用涡流的焦耳热加热锅底，感应加热可让能量直接沉积在导体内部；电磁阻尼和磁制动利用涡流磁场阻碍相对运动，使机械能转化为内能。另一方面，变压器、电机铁芯中的无用涡流会发热并损耗能量，所以常把铁芯制成彼此绝缘的薄片，切断大的横向电流回路并增大等效电阻。

先想一想：把同样体积的铁芯沿合适方向分成更薄的绝缘片，为什么主磁通仍能通过，而涡流损耗会下降？关键不是“铁变少了”，而是完整的大回路被切碎，电流路径的电阻显著增大，涡流受到抑制。

下面比较整块和叠片铁芯，并把频率、电阻率与片厚同时改变。交互中的损耗关系是建立在薄片、均匀交变磁通等简化条件下的趋势模型，用来判断增减，不应当成任意形状、任意频率下都精确成立的普适公式。

结果应当显示：在简化模型范围内，提高频率通常增强感应和损耗；增大材料电阻率或减小片厚可抑制涡流。可它们也会带来材料成本、磁性能或机械结构方面的代价，工程设计从来不是把一个参数推到极端。考试题若只问定性方向，写清“切断涡流回路、增大电阻、减少焦耳热”往往就是完整的因果链。

七、解题时先问四件事

电磁感应题图形多、方向多，但可以压缩成四个问题。第一，研究的是哪一个闭合回路或哪一段导体，正向如何选？第二，磁通变化来自 $B$、面积还是朝向，或来自几种因素共同作用？第三，要求平均值还是瞬时值，能否直接求导？第四，电动势的机制是动生、感生还是两者都有，题目是否还给出了闭合、电阻和自感等求电流所需条件？

算出负号不要慌。它不是“大小小于零”，而是在告诉你实际方向与预先规定的正向相反。规范答案应先声明回路正向和面法向，再用带符号的磁通与电动势计算；若只需要大小，可以在最后取绝对值。这样即使观察方向复杂，也不会靠想象把顺时针、逆时针写反。

这一章已经解释了外界磁通变化怎样在回路中建立电动势，但感应电流本身也会产生磁场，电流一变又会反过来影响回路。这个“回路对自己以及对另一个回路的记忆”就是自感和互感，下一章将继续追问它如何储存磁场能量。

课后练习

1. 磁通最大是否意味着电动势最大

一个单匝矩形线圈在匀强磁场中绕位于线圈平面内的轴匀速转动。某时刻线圈平面与磁场垂直。判断此时磁通量和感应电动势的瞬时大小。

2. 多匝线圈的平均电动势

一个 $200$ 匝线圈，每匝面积为 $4.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$，线圈法向与匀强磁场同向。磁场在 $0.020\ \mathrm s$ 内由 $0.10\ \mathrm T$ 均匀增至 。求平均感应电动势大小。

3. 楞次定律辨析

4. 滑动棒的电流与外力

两平行导轨间距 $l=0.50\ \mathrm m$，左端接 $R=2.0\ \Omega$ 电阻，棒和导轨电阻忽略。磁场 $B=0.80\ \mathrm T$ 垂直纸面向里，导体棒以 $v=3.0\ \mathrm{m/s}$ 向右匀速运动。求感应电动势、电流大小、维持匀速所需外力及外力功率。

5. 速度与磁场平行的导体

一根直导体整体以速度 $\boldsymbol v$ 在匀强磁场中平移，且 $\boldsymbol v$ 与 $\boldsymbol B$ 平行。导体无论怎样朝向，是否都没有动生电动势？

6. 非均匀磁场中的运动棒

长直电流 $I=20\ \mathrm A$ 旁有一根长度 $L=0.30\ \mathrm m$ 的径向导体棒，近端距长直导线 $d=0.10\ \mathrm m$，棒以 $v=5.0\ \mathrm{m/s}$ 平行长直导线运动。求动生电动势大小。取 。

7. 转动导体棒

长度 $0.40\ \mathrm m$ 的金属棒绕一端以 $10\ \mathrm{rad/s}$ 匀速转动，匀强磁场 $0.50\ \mathrm T$ 垂直转动平面。求轴端与外端之间动生电动势大小。

8. 感生电场的内外分区

半径 $R=0.20\ \mathrm m$ 的圆柱区域内有均匀轴向磁场，$\mathrm dB/\mathrm dt=0.60\ \mathrm{T/s}$。求距轴 $r_1=0.10\ \mathrm m$ 和 处感生电场强度大小。

9. 区外没有磁场，是否没有感生电场

10. 磁通法则与机制分类

一个导体回路一部分在运动，同时空间磁场也随时间改变。下列哪种处理最完整？

11. 涡电流与叠片铁芯

为什么交流设备的铁芯常由彼此绝缘的薄片叠成，而不是使用同样形状的整块铁？同时说明涡电流在什么场景中也可以被利用。

若要求方向，还需给定绕线方向和回路正向；只有大小数据时不能凭空回答顺时针或逆时针。

磁阻力大小 $F=BIl=0.80\times0.60\times0.50=0.24\ \mathrm N$，维持匀速的外力与速度同向，大小也为 $0.24\ \mathrm N$。外力功率 $P=Fv=0.72\ \mathrm W$，并且 $I^2R=0.60^2\times2.0=0.72\ \mathrm W$，能量账相符。

不能只看到“导体在磁场中运动”就认定必有动生电动势。

代入得

磁场随 $r$ 变化，不能用近端或远端的磁场直接乘 $Lv$。

若误用整根棒都具有末端速度，会多出一倍。

对 $r_2>R$，包围的变化磁通只来自半径 $R$ 的区域：

两点数值碰巧相同，但使用的是不同分段公式。