第 5 章　自感、互感与磁场能量

合上开关，灯泡不一定立刻达到正常亮度；断开带有大线圈的电路，开关触点间反而可能跳出电火花。前一个现象像是电流“不肯马上长大”，后一个现象又像是电流“不肯马上消失”。线圈当然没有意志，真正连续变化的是电流建立的磁场：电流一变，线圈所链接的磁通量也变，于是感应电场沿电路做功，产生阻碍原变化的电动势。

这章要把这件事算清楚。我们先研究一个回路怎样“影响自己”，再研究两个回路怎样隔空传递变化；随后把线圈放进最简单的电阻—电感电路，看电流怎样经过一段时间才接近稳态；最后追问一个更根本的问题：为了建立电流，电源多做的功到哪里去了？答案不只藏在元件里，更藏在空间的磁场中。

一、一只线圈为什么会阻碍自己的电流变化

1. 从磁通链到自感系数

设一个有 $N$ 匝的线圈通有电流 $i$。电流产生磁场，每一匝都可能被磁通量穿过。若各匝所链磁通相同，可把总磁通链写成

更一般地，各匝磁通不完全相同时，$\Psi$ 表示各匝磁通的代数和。对几何形状固定、周围介质为线性介质的线圈，磁场与电流成正比，磁通链也与电流成正比，于是定义自感系数

自感系数简称自感或电感，单位是亨利，符号为 $\mathrm H$：

这个定义告诉我们，$L$ 衡量的不是“线圈里已经有多少电流”，而是在给定电流下，线圈能建立多强的磁通链接。在线性模型中，$L$ 由匝数、尺寸、形状和介质决定，不随瞬时电流改变。若铁芯进入明显饱和区，$\Psi$ 与 $i$ 不再成正比，此时不能再把一个常数 $L$ 从头用到尾，必须区分 $\Psi/i$ 与斜率 $\mathrm d\Psi/\mathrm di$。

你可能会问：一段普通直导线又没有故意绕成线圈，它有没有自感？有。只要电流产生的磁场会随电流改变，导体回路就有磁通链，也就有自感。工程中把导线绕成许多匝，是为了在有限空间内显著增大磁通链；而在变化很快的电路里，连接导线本身的微小电感也可能不再能够忽略。因此“电感”既是一种元件，也是一切载流回路都具有的物理属性。

图里接通与断开看似相反，自感的判断口令却只有一句：阻碍电流的变化，而不是阻碍电流本身。 电流增大时，自感效应设法压住增大；电流减小时，它又设法维持原方向。若把“阻碍”误读成“自感电动势永远和电流反向”，断开电路时就会判断错。

2. 负号到底在说什么

法拉第电磁感应定律给出

若 $L$ 为常量，才可写成大家熟悉的形式

负号表达楞次定律，但它必须和预先选定的回路绕行方向、电流正方向以及曲面法向一起使用。它不是在宣布某个端子的电势“天然为负”。在电路方程中，我们常按被动符号约定，把电流流入端定义为电压正端，于是理想电感的端电压降写成

一个式子有负号，一个没有，是否矛盾？不矛盾。$\mathcal E_L$ 表示沿选定回路方向的感应电动势，$u_L$ 表示元件端口的电压降；参考方向不同，符号表达自然不同。做题最稳妥的办法不是背“正负”，而是先画参考方向，再让方程自己给出代数结果。

先预测：若 $L$ 不变，把 $\mathrm di/\mathrm dt$ 从 $+2\ \mathrm{A/s}$ 改成 $-2\ \mathrm{A/s}$，自感电动势怎样变化？选定参考方向后再操作下面的实验台，特别观察“数值符号”和“实际阻碍哪一种变化”如何对应。

你会看到：$\mathrm di/\mathrm dt$ 反号，$\mathcal E_L$ 也反号；增大 $L$ 或增大变化率的绝对值，电动势绝对值都随之增大。真正不变的是它对“变化”的反抗关系。期末计算里常见的失分点，正是没有画参考方向便把负号机械塞进数值，最后既说不清端子极性，也说不清电流究竟在增大还是减小。

还可以从量纲建立直觉：$1\ \mathrm H$ 的电感中，若电流以 $1\ \mathrm{A/s}$ 的速率变化，自感电动势绝对值就是 $1\ \mathrm V$。这并不意味着“1亨线圈两端永远有1伏”，因为稳定直流对应 $\mathrm di/\mathrm dt=0$，理想电感端电压便为零。电感响应变化率，不直接响应电流大小。

二、怎样从几何结构算出自感

1. 长直螺线管：先求场，再数磁通

自感不是凭空冒出的电路参数，它可以从磁场分布算出来。以长度为 $\ell$、总匝数为 $N$、截面积为 $A$ 的长直密绕螺线管为例。忽略边缘效应，内部磁场近似均匀：

每一匝所链磁通为 $\Phi=BA$，所以

从而

这里最值得盯住的是 $N^2$。匝数加倍，一方面单位长度匝数加倍，内部磁场加倍；另一方面计算总磁通链时又多了一倍匝数，两个因素相乘，所以 $L$ 变成四倍。截面积加倍，单匝磁通加倍，$L$ 加倍；在线圈被均匀拉长、总匝数和截面积不变的理想比较中，$L$ 与 $\ell$ 成反比。

别急着代公式。先判断：把 $N$ 加倍，同时把 $\ell$ 也加倍，其他量不变，$L$ 是原来的几倍？完成预测后拖动参数，顺便检查不同改动是否仍满足“足够长、内部近似均匀、介质线性”的前提。

证据给出的答案是 $L$ 变为 $2$ 倍，因为 $N^2/\ell$ 变为原来的 $4/2$。这类比例题最容易只看到“线圈变长了”，却漏掉匝数也改变；另一个陷阱是把公式用于短粗线圈，再把结果当作精确值。公式中的几何理想化与数值同样重要。

举个数量级例子：空气芯线圈有 $1000$ 匝，长度 $0.50\ \mathrm m$，截面积 $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$。按长直螺线管近似，$L\approx5.0\times10^{-3}\ \mathrm H$。若只把匝数增加到 匝，结果约为 ，确实变为四倍。这个算例也提醒我们统一单位：截面积必须先换成平方米，长度必须用米，不能把平方厘米的数值直接塞进公式。

2. 一套可迁移的求解路线

遇到环形线圈、同轴结构或其他规则回路时，可以沿着同一条路线走：假设电流 $i$，用毕奥—萨伐尔定律或安培环路定理求 $\boldsymbol B$，对每一匝求磁通，再把所有匝的磁通相加得到 $\Psi$，最后用 $L=\Psi/i$。若磁场不均匀，磁通必须写成

不能用某一点的 $B$ 直接乘整个面积。自感的计算本质上是“先解决场，再压缩成一个电路参数”。

三、两个线圈怎样“听见”彼此的电流变化

1. 互感系数与互易性

把线圈 1 放在线圈 2 附近。线圈 1 中的电流 $i_1$ 产生磁场，其中一部分穿过线圈 2，形成磁通链 $\Psi_{21}$。在线性介质和固定几何关系下，定义

同理，线圈 2 的电流在回路 1 中形成磁通链 $\Psi_{12}$，有 $M_{12}=\Psi_{12}/i_2$。对静止、线性、无非互易器件的普通两线圈系统，互易定理给出

于是由 $i_1$ 的变化在线圈 2 中产生的感应电动势为

反向作用也有同样大小的互感系数。$M$ 同样以亨利为单位，取决于两个线圈各自的结构、相对位置、取向以及介质。

2. 同名端不是装饰，而是符号账本

只看两个线圈画成“同向绕制”仍可能判断错，因为电路图常省略真实绕向。点标记用来记录同名端。若两个电流参考方向都流入点端，且两个端电压都取点端为正，端口方程写成

若同时反转同一端口的电流参考方向与电压极性，继续采用关联参考方向，两条端口方程中的互感项才会同时换成负号。若只反转一个电流方向、保持两个电压参考不变，必须把新电流代数量逐项代回原方程：例如令 $i_1^\prime=-i_1$，则 $u_1=-L_1\mathrm di_1^\prime/\mathrm dt+M\mathrm di_2/\mathrm dt$，。一个好用的判断是：当电流从某线圈的点端流入并增大时，另一线圈的点端相对非点端呈现正的端口电压。注意，这句话谈的是约定好的端口电压；若沿闭合回路讨论感应电动势，楞次定律的负号仍要按回路方向处理。

下面先别算。给定原边电流从点端流入并增大，你认为次边哪个端子瞬时电势较高？选好答案，再改变点标记、参考方向和电流变化率，分别观察：改变参考方向怎样改变代数符号；反接一个绕组（翻转其点标记）怎样改变次边的真实极性。

实验台的反馈揭示了最容易混淆的两层：改变参考方向会改变代数符号，却不会改变实际端子间的物理极性；若其余端口与电流参考方向保持不变，仅翻转一个线圈的点标记，则表示反接该绕组，改变物理耦合关系，次边的真实极性也会反转。考试中只写“由楞次定律可知为负”通常不够，因为没有给出正方向，所谓正负根本没有落脚点。

互感现象也不要求两个线圈电气相连。原线圈的变化电流先在空间建立变化磁场，变化磁通再在副线圈中产生感应电动势。若原线圈电流保持恒定，即使磁场很强，副线圈中也没有持续互感电动势；若变化很快，即使电流本身不大，也可能产生较大的电动势。这里再次出现了本章的核心：感应效应盯着的是“变化有多快”，不是只看某一时刻“有多大”。

3. 为什么互感不能无限大

线圈 1 产生的磁通通常只有一部分链接线圈 2，其余成为漏磁通。用耦合系数 $k$ 描述这种紧密程度：

理想紧耦合时 $k$ 接近 1；线圈相距很远、轴线错开或取向不利时，$k$ 会减小。$k$ 不是“传递效率”的同义词，因为实际效率还受电阻损耗、频率、负载和磁芯损耗影响。

图中靠拢和共轴能让更多磁通同时链接两个线圈，但 $M$ 的上限并不是经验凑出的。稍后写出耦合线圈的总磁场能量后，要求任意电流组合下能量都不能为负，就会得到 $M^2\le L_1L_2$。也就是说，耦合系数上限来自能量稳定性。

四、RL 暂态：电流为什么需要时间建立

1. 接通直流电源

把理想电感 $L$、电阻 $R$ 与恒定电动势 $\mathcal E$ 串联，在 $t=0$ 合上开关。按回路方程

若接通前 $i(0)=0$，解为

$\tau$ 称为时间常量，单位是秒。刚接通时电流还来不及改变，$i(0^+)=0$，电阻电压为零，电源电压几乎全落在电感上；时间足够久以后，$\mathrm di/\mathrm dt\to0$，理想电感对直流稳态相当于导线，电流趋近 $\mathcal E/R$。

更一般地，若初始电流为 $I_0$，则

这个形式很有用：对于恒定参数的一阶 RL 电路，在恒定激励切换后，响应在“初值”与“新稳态值”之间按指数过渡；任意时变驱动通常不能直接套用这一形式。

2. 断开不是让电流瞬间归零

若把电源移去，同时给原有电流提供由 $R$ 与 $L$ 构成的闭合释放通路，方程为

所以

在有限电压下，理想电感电流不能突变，因为 $u_L=L\,\mathrm di/\mathrm dt$；若强迫有限电流在零时间内变为零，模型会要求无穷大的电压。真实开关断开时，寄生电容、空气击穿和电弧给电流提供短暂通道，电流才得以快速但非瞬时地衰减。这也是感性负载常需要续流二极管或吸收回路的物理原因。

现在先预测两个问题：增大 $L$，接通时到达稳态会更快还是更慢？增大 $R$ 虽会降低最终电流，它会让指数过渡更快还是更慢？在下面切换接通与退磁，读出 $1\tau$、$3\tau$ 和 $5\tau$ 时的电流比例。

结果是增大 $L$ 会增大 $\tau$，变化更慢；增大 $R$ 会减小 $\tau$，过渡反而更快，但新稳态 $\mathcal E/R$ 更小。接通后经过 $1\tau$，电流达到终值的约 $63.2\%$；退磁经过 ，剩约 。 时达到约 或只剩约 ，因此工程上常说“约五个时间常量进入稳态”，不是说指数函数在 精确变成终值。

电压的交接也值得看一眼。接通过程中

二者在每一时刻都满足 $u_L+u_R=\mathcal E$。开始时电感承担全部电源电压，随后电感电压逐渐让位给电阻电压。这比“电感阻碍电流”更精确：自感并没有把电流永久挡住，只在电流变化期间产生显著端电压；稳态时变化率为零，阻碍也随之消失。

五、建立磁场时，电源做的功去了哪里

1. 从瞬时功率得到电感储能

在被动符号约定下，理想电感吸收的瞬时功率为

若电流从 0 缓慢建立到 $I$，且 $L$ 为常量，电感吸收的能量为

为什么有一个 $1/2$？因为建立过程中电流不是一直等于最终值，磁通链也从零逐渐增加。在线性的 $\Psi-i$ 图上，储能等于直线下方的三角形面积。电流加倍时，能量变为四倍；这不是电感系数变化，而是磁场强度随电流加倍，场能与场强平方相关。

把同一个过程放回含电阻的接通电路，电源输入的能量会分成两路：一部分随时转成电阻的焦耳热，另一部分逐渐积存在磁场中。达到稳态后，磁场能固定为 $LI_\infty^2/2$，电源仍持续向电阻供能。若随后让线圈通过电阻退磁，磁场能减少，理想模型中这部分能量最终全部成为焦耳热。由此可见，电感不是耗能元件；真实线圈会发热，是因为绕组电阻和磁芯损耗，而不是理想自感本身“消耗”了能量。

对于非线性磁芯，不能直接套 $\frac12LI^2$。用磁通链表达时，输入的场能增量为 $\mathrm dW=i\,\mathrm d\Psi$，应沿实际磁化路径积分；若存在磁滞，还会有不可逆损耗。大学物理的常规计算通常明确采用线性、无磁滞模型，此时才回到简洁的二次式。

2. 耦合线圈的能量与符号

若两个电流都以流入点端为正，耦合线圈在线性模型中的总磁能为

若其中一个参考方向反转，互感项变成 $-Mi_1i_2$。能量的物理值没有因为画箭头而改变，是电流代数量与公式中的符号同时改变。要求任意 $i_1,i_2$ 下 ，便得到

这正是 $k\le1$ 的根源。注意，“互感项为负”不等于系统有负能量，它只表示在该组参考方向与电流状态下，两线圈磁场的交叉贡献削弱总场。

3. 能量属于空间中的场

把能量只说成“存在电感器里”还不够精确。对线性、各向同性磁介质，磁场能量密度为

真空中取 $\mu=\mu_0$。总磁能由空间积分得到：

对长直螺线管，内部 $B\approx\mu Ni/\ell$，有效体积约为 $A\ell$，于是

场观点与电路观点在这里对上了账：$L$ 是整个磁场分布压缩后的参数，$u_m$ 则告诉我们能量在空间哪里更集中。

先想一想：在同一种线性介质中，若某处 $B$ 变为原来的两倍，该处能量密度变为几倍？再用交互分别调节 $L$、$I$、$B$ 与 $\mu$，比较整体储能和局部能量密度的含义。

在同一介质中 $B$ 加倍，$u_m$ 变为四倍。还要注意，比较不同介质时不能只盯着公式分母说“$\mu$ 越大能量密度越小”，因为题目必须说明保持 $B$ 还是保持 $H$；在保持 $H$ 时，$$ 反而随 增大。磁学题里最危险的往往不是积分，而是悄悄改变了控制条件。

场能密度还解释了一个容易被电路图遮住的事实：能量并不只堆在铜线内部。长直螺线管的磁场主要集中在管内，因此能量也主要分布在管内空间；同轴结构的磁场主要位于两导体之间，能量便主要在那里。换一种几何结构，即使端口测得的总电感相同，能量的空间分布也可能完全不同。下一章讨论电磁场传播时，这种“能量在场中、并可在空间转移”的观点会成为主角。

到这里，自感与互感不再只是线圈旁边的两个字母：它们把磁通变化折算为端口响应，又把建立磁场所需的功折算为可释放的能量。下一章将不再只追踪某个线圈的电压与电流，而是把变化电场和变化磁场放在同一套麦克斯韦理论中，研究电磁扰动怎样脱离源而传播。

回看整章，遇到新问题时可以依次问四件事：磁通链由谁产生、怎样随电流变化；参考方向和点标记怎样约定；暂态的初值、终值与时间常量分别是什么；电源输入的能量最终分配到场能还是耗散。把这四个问题答完整，符号、指数规律和能量关系就会彼此校验，而不是各背一套互不相干的公式。

课后练习

1. 自感电动势的方向

一个线圈中的正向电流正在减小。有人说：“自感电动势一定与电流方向相反。”判断这句话是否正确，并说明应怎样判断。

2. 长直螺线管的参数变化

一个空气芯长直螺线管的总匝数、长度和截面积分别为 $N$、$\ell$、$A$。现保持导线匝距不变，把线圈长度和总匝数都变为原来的 2 倍，截面积不变。自感变为原来的几倍？

3. 自感系数的数值计算

某线圈在电流由 $0.20\ \mathrm A$ 均匀增至 $0.80\ \mathrm A$ 的 $3.0\times10^{-2}\ \mathrm s$ 内，产生的自感电动势绝对值为 $6.0\ \mathrm V$。在线性模型下求线圈自感。

4. 互感与点标记

两个线圈的点端均在上方，$u_1,u_2$ 都取点端相对非点端为正，$i_1,i_2$ 都取流入点端为正。若 ，而 以 增大，，求 。若把 的参考方向反过来、实际电流变化保持不变，方程应怎样反映？

5. 耦合系数与可实现性

两个线圈的自感分别为 $L_1=4.0\ \mathrm H$、$L_2=9.0\ \mathrm H$。（1）若 $k=0.60$，求互感绝对值；（2）有人测得 ，该结果能否属于这对无源线性线圈？

6. RL 接通过程

$R=20\ \Omega$、$L=0.40\ \mathrm H$ 的串联电路接到 $10\ \mathrm V$ 理想直流电源，初始电流为零。求时间常量、稳态电流以及 $t=2\tau$ 时的电流。

7. RL 退磁与连续性

一个 $2.0\ \mathrm H$ 电感与 $100\ \Omega$ 电阻构成闭合退磁回路，切换前电感电流为 $0.30\ \mathrm A$。求切换后瞬间电流、初始变化率以及经过 $0.060\ \mathrm s$ 后的电流。

8. 电感储能与电阻耗散

一个理想电感 $L=0.80\ \mathrm H$ 中已有 $2.0\ \mathrm A$ 电流，随后通过电阻完全退磁。求初始磁场能量和最终在电阻中转化的焦耳热，忽略辐射及其他损耗。

9. 用能量密度核对螺线管储能

空气芯长直螺线管内部磁感应强度近似为 $0.020\ \mathrm T$，有效内部体积为 $3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$，外部场能忽略。求磁场总能量。取 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H/m}$。

所以自感变为 2 倍。易错点是只看到长度加倍便判断自感减半，漏掉总匝数也加倍且以平方进入公式。

由 $|\mathcal E_L|=L|\Delta i/\Delta t|$ 得

均匀变化使有限差分可直接代表这一时段的变化率；单位核对为 $\mathrm{V/(A/s)}=\mathrm H$。

点端比非点端高 $2.0\ \mathrm V$。若只反转 $i_1$ 的参考箭头，同一个实际变化在新坐标下的 $\mathrm di_1/\mathrm dt$ 变号，互感项的符号约定也随参考定义调整，最后预测的真实端子极性不变。不能只改箭头却保留所有代数量和方程符号不动。

理论上限为 $\sqrt{L_1L_2}=6.0\ \mathrm H$。$7.0\ \mathrm H$ 超过上限，会导致某些电流组合下二次型磁能为负，因此不可能是这对无源线性线圈的正确互感值，应检查测量、单位或参数标定。

接通电流为 $i=I_\infty(1-\mathrm e^{-t/\tau})$，所以

易错点是把接通过程误写成纯衰减式 $I_0\mathrm e^{-t/\tau}$；接通是从 0 逼近非零稳态值。

$\tau=L/R=0.020\ \mathrm s$，$0.060\ \mathrm s=3\tau$，故

负的变化率表示按原正方向定义的电流正在减小，并不表示电流已经反向。

最终电流降为零，磁场能量也降为零。忽略其他能量通道时，能量守恒给出电阻产生的总焦耳热为 $1.6\ \mathrm J$。不能用初始功率 $I^2R$ 直接乘一个随意选取的“退磁时间”，因为电流在指数衰减。

总能量为

这里能够直接用 $u_mV$，依赖于内部磁场近似均匀；若磁场随位置变化，必须改用 $\int u_m\,\mathrm dV$。