第1章 恒定电流、电动势与毕奥—萨伐尔定律

手机充电时，导线里一直有电流。你可能会顺手把它想成“电子从充电器一端排着队跑到手机里”，但这个图像很快就会遇到三个麻烦：导线有粗有细，怎样描述每一点的流动强弱？静电场做功与路径无关，为什么电荷却能在闭合电路中一圈圈运动？电流又为什么会在导线周围建立磁场？

这一章不急着背“哪根导线的磁场公式是什么”，而是先把三层语言搭牢：用电流密度描述电荷怎样穿过一个面，用电动势解释电源怎样为电荷补充能量，再用毕奥—萨伐尔定律把一段段电流元产生的磁场叠加起来。三层语言的共同核心都是微元与积分：局部规律说清每一小块怎样贡献，积分把它们重新拼成整个装置的结果。

电流不是“某一批电子跑了多远”

在金属导体中，没有外电场时，自由电子也在不停做无规则热运动。可是任选一个截面，向左穿过和向右穿过的电荷平均起来彼此抵消，宏观电流为零。接通电源后，电子的无规则运动仍然存在，只是在电场作用下叠加了很小的定向漂移速度，于是截面两侧的电荷交换不再平衡。

我们把单位时间内通过某一截面的净电荷量定义为电流强度。若在时间 $dt$ 内按约定正方向通过截面的净电荷为 $dq$，则

电流的国际单位是安培，$1\,\mathrm A=1\,\mathrm{C/s}$。电流方向约定为正电荷定向运动的方向。因此在金属中，常规电流方向与电子的漂移方向相反。这只是符号约定，不表示我们假装电子带正电。

但一个总电流 $I$ 还不够描述导线内部。想象同样是 $2\,\mathrm A$ 的电流，分别通过一根粗铜棒和一根细熔丝。两根导线每秒通过截面的净电荷相同，可细熔丝上电荷流动更“拥挤”，发热和安全状态也可能完全不同。于是需要一个既有大小又有方向的局部量——电流密度 $\vec J$。

先看图时别急着找公式：若把同一个小平面逐渐倾斜，它真正“迎着电流”的有效面积是在变大还是变小？图中的面法线正是回答这个问题的钥匙。

给面积元 $dS$ 规定一个法线方向，写成有向面积元 $d\vec S=\hat n\,dS$。通过该面积元的电流为

其中 $\theta$ 是 $\vec J$ 与法线 $\hat n$ 的夹角。通过有限曲面 $S$ 的总电流为

点积不是装饰：平面正对电流时 $\theta=0$，通量最大；平面转到与电流方向平行时 $\theta=90^\circ$，电荷沿着面擦过而不是穿过，通量为零。若把法线反向，同一股物理电流的通量符号改变，但实际通过量的大小没有突然变化。

现在先预测：保持 $J$ 和面积 $A$ 不变，把法线与 $\vec J$ 的夹角从 $30^\circ$ 调到 ，有向电流会变成原来的多少？再用实验台核对。

因为 $\cos60^\circ/\cos30^\circ=1/\sqrt3$，所以结果为原来的 。最常见的误判是把 当成 与平面的夹角，于是误写成正弦。遇到斜截面时，先画出法线，再决定用正弦还是余弦，通常比背结论可靠。

若载流粒子数密度为 $n$，单个粒子电荷为 $q$，平均漂移速度为 $\vec v_d$，则

这个式子自动处理了符号。金属电子的 $q<0$，电子漂移速度与常规电流反向，两项相乘后 $\vec J$ 仍沿常规电流方向。$\vec J$ 的单位是 。若有多种载流粒子，例如电解液中正、负离子都能移动，总电流密度要对各类载流子求和：

注意，负离子向左运动也能形成向右的常规电流。判断贡献方向时必须把电荷符号和速度方向一起代入，不能只盯着粒子往哪边跑。

电荷去哪了：连续性方程

一段稳恒导线由粗变细，细处的电流会不会因为“路窄”而变小？如果入口每秒进入 $2\,\mathrm C$，出口每秒只流出 $1\,\mathrm C$，剩下的电荷就只能在中间积累。只要积累持续，局部电场和后续电流就会改变，所谓“恒定”状态也就维持不住。

下面这幅图把同一时间间隔内通过不同截面的电荷画在一起。先观察箭头是否中断，再比较粗细两处的电流密度；不要把“总电流相同”和“电流密度相同”混成一句话。

取任意固定体积 $V$，边界为闭合曲面 $S$，法线统一向外。体内总电荷为

向外的电流通量越大，体内电荷减少得越快，因此守恒关系写成

利用散度定理，并且控制体积可以任意选取，可得到局部形式

这就是电荷连续性方程。它不是某种材料的经验公式，而是电荷守恒的局部表达。$\nabla\cdot\vec J>0$ 表示该点附近净流出，于是 $\partial\rho/\partial t<0$；反过来，净流入会导致电荷密度增加。

稳恒电流是宏观电流分布不随时间变化的状态。在通常讨论的稳恒导电问题中，空间各点的电荷密度也不随时间变化，于是

积分形式则说明任意闭合面上的净电流通量为零。对一进一出的导线段，就是 $I_{\text{入}}=I_{\text{出}}$。若截面上 $J$ 近似均匀且与截面垂直，有 $I=JA$，所以细处面积小， 必须更大。

先在下面的控制体中把流入、流出调成不相等，预测净电荷随时间怎样变化；再把二者调到相等，看“稳恒”究竟要求哪个量不再积累。

实验中的结点规律并不是独立于连续性方程的新定律，它只是把控制体缩到电路结点后得到的集中参数版本。期末题中常见的失分点是见到“稳恒”就写 $\vec J$ 处处相同；正确结论是电流线不能在导体内部无故开始或终止，$\nabla\cdot\vec J=0$，而 的大小完全可以随截面变化。

从电场到电流：欧姆定律的局部形式

导体中为什么建立电场后会出现定向漂移？微观上，载流子在电场中加速，又不断与晶格、杂质和其他散射中心相互作用。许多普通金属在温度与场强范围合适时，平均漂移达到稳定统计状态，电流密度与电场近似成正比：

其中 $\sigma$ 是电导率，单位为 $\mathrm{S/m}$。电阻率 $\rho_e=1/\sigma$，于是也可写成 $\vec E=\rho_e\vec J$。这里用 是为了避免与体电荷密度 混淆。

这叫欧姆定律的微分形式或场论表达。它说的是同一点、同一时刻的局部响应。对均匀、各向同性、线性导电介质，$\vec J$ 与 $\vec E$ 同向；对各向异性材料，$$ 可能是张量，二者不必平行；对半导体、气体放电或强场下的材料，线性关系也可能失效。因此“任何导体都满足 ”说得太满。

一根长度 $L$、截面积 $A$ 的均匀直导体，若内部电场近似均匀并沿轴向，则

消去 $E$，得到熟悉的集中参数形式

这段推导同时暴露了公式条件：材料均匀、横截面不变、电流分布近似均匀且处在线性导电区。若导线温度随位置显著变化，或截面沿长度改变，更一般地要把每一小段的电阻积分起来。

把长度加倍时，电流到底减半还是不变？答案取决于控制的是电势差 $U$ 还是场强 $E$。先在实验台选择“固定电压”或“固定场强”，再改变 $L$，观察同一句“导线变长”为什么会有两种结果。

固定 $U$ 时，$E=U/L$ 随长度增大而减小，因而 $J$、$I$ 都减小；固定 $E$ 时，局部的 $J=\sigma E$ 不变， 也不变，但维持该场强所需的电压 增大。真正的陷阱不是算式复杂，而是偷偷更换了外部约束。

电场对单位体积内载流子做功的速率为

在线性各向同性介质中，

对均匀电阻积分后得到 $P=UI=I^2R=U^2/R$。这说明焦耳热并不是只能在“整个电阻”层面记账，它可以追溯到场在每个体积元内向物质传递能量。

静电场绕一圈做功为零，电流为何不停

如果电路里只有静电场，正电荷会沿电势降低方向运动，最终把能量耗散在电阻中。绕闭合回路一周，静电场的环流为零：

它不可能在每绕一圈后又凭空把同样的能量交给电荷。要维持稳恒电流，电路中必须有一个“能量泵”，在电源内部把正电荷从低电势端搬回高电势端。完成这件事的可以是化学作用、机械作用、光照或温差等，它们统一称为非静电力。

观察电源示意图时，先沿箭头追踪一个正电荷：外电路和电源内部的运动方向是否相同？能量在哪一段增加，在哪一段转化为内能或其他形式？

设电源内部单位正电荷所受非静电力为 $\vec K$。电动势定义为非静电力沿完整电源过程对单位电荷所做的功：

有些教材把 $\vec K$ 记作非静电场强；不论符号怎样选，物理意思都是单位正电荷从其他能量形式获得的能量。电动势的单位是伏特，因为 $1\,\mathrm V=1\,\mathrm{J/C}$。它虽叫“势”，却不是某一点的势，也不是力；它是电源把其他形式能量转化为电能的能力指标。

理想电源电动势为 $\mathcal E$，若考虑等效内阻 $r$ 并接外阻 $R$，稳恒电流为

电源向整个电路提供功率 $\mathcal EI$，其中外电路获得 $I^2R$，电源内部耗散 $I^2r$：

外电路两端的端电压为

因此电源有电流输出时，端电压通常小于电动势；开路时 $I=0$，在模型成立且电源稳定的条件下，端电压才等于电动势。先预测增大外阻 $R$ 后端电压怎样变，再用能量账本检查每一瓦功率的去向。

增大 $R$ 会使电流减小，内阻压降 $Ir$ 减小，端电压 $U=\mathcal E-Ir$ 反而升高并趋近 $\mathcal E$。容易错的地方是把“外阻变大，$IR$ 应变大还是变小”当作单一比例问题；$$ 与 同时变化，必须回到完整闭合电路关系。

到这里，电流如何形成、如何守恒、如何获得能量已经接上了。接下来换一个观察角度：电流不只在导体内部产生热效应，它还会改变周围空间的磁状态。

从电流元到磁场：毕奥—萨伐尔定律

把小磁针放在直导线旁，未通电时它大致指向地磁南北；通电后磁针发生偏转。把电流方向反过来，偏转方向也反过来。这个现象至少告诉我们两件事：电流能激发磁场，磁场方向与电流方向有关，而且这种关系不能只用一个正负号表达。

描述磁场的基本矢量是磁感应强度 $\vec B$，单位为特斯拉（$\mathrm T$）。它可以通过运动电荷或电流受到的磁作用来操作性定义，磁力规律留到下一章系统讨论。本章先追问：给定稳恒电流分布，怎样求空间某点的 $\vec B$？

对于真空中的细导线稳恒电流，把导线分成有向长度元 $d\vec l$，方向沿电流。电流元 $I\,d\vec l$ 在场点 产生的磁场为

其中 $\vec r$ 从电流元所在的源点指向场点，$\hat r=\vec r/r$，真空磁导率 在现行国际单位制中为实验测定常量，数值非常接近 。

先看几何图并用右手判断：若交换叉乘次序，$d\vec B$ 会怎样？若场点恰在电流元延长线上，为什么这一小段的贡献为零？

取大小可得

其中 $\alpha$ 是 $d\vec l$ 与 $\vec r$ 的夹角。 或 时，这个电流元对延长线上场点的贡献为零； 时，在 、、 相同的条件下贡献最大。方向由右手定则决定，也就是 的方向。交换为 会使方向完全反转。

整段导线的磁场是所有电流元贡献的矢量积分：

若有多条独立载流导线，还要继续做矢量叠加，$\vec B=\sum_i\vec B_i$。这里最容易犯的错是把 当成某个固定“导线到场点距离”。积分过程中源点沿导线移动， 的大小和方向一般都在变；只有利用对称性与正确几何关系，才能把某些量提出积分号。

细导线只是把电流约束在狭窄截面内的理想模型。若电流分布在一块有厚度的导体中，应从电流密度出发，把体积元 $dV'$ 内沿 $\vec J$ 方向的电流贡献叠加：

这里 $\vec r'$ 标记源点，$\vec r$ 标记场点，两者不能交换。若电流只分布在很薄的面上，也可用面电流密度做面积积分。大学物理题常把导线直接抽象成线电流，是因为场点距离远大于导线横向尺寸，此时截面内部差异对外场的影响可以忽略。这个近似与把带电小球看成点电荷很相似：不是对象真的没有尺寸，而是尺度比较允许我们压缩模型。

还要区分“电流元”与孤立的短导线。稳恒电流必须构成闭合通路，单独截取的一小段并不是可以脱离其余回路而独立存在的稳恒电流源。$I\,d\vec l$ 是积分中的微元语言，它帮助我们把完整电流分布逐段相加，却不意味着实验上能只保留这一段而扔掉回路的其他部分。

毕奥—萨伐尔定律在本章用于真空中不随时间变化的线电流。若电流分布随时间迅速变化，或者场点距离大到传播延迟不可忽略，就不能继续把整个导线的“同时状态”直接塞进静态积分。本册后面会用变化电磁场的语言补上这条边界。

有限直导线：角度是几何的压缩包

设直导线沿 $x$ 轴放置，场点 $P$ 到导线的垂直距离为 $a$，且垂足在线段内部。取电流元 $dx$，它到 $P$ 的距离为 $r=\sqrt{x^2+a^2}$。所有 在 处都垂直于导线与场点构成的平面，方向相同，因此只需积分大小：

令 $x=a\tan\theta$，则积分结果可写成

这里 $\theta_1$、$\theta_2$ 分别是从垂线向导线两端张开的锐角；采用其他角度定义时公式外观可能变成余弦差，但物理结果必须一致。请先在图上确认角是从哪条基准线量起，再使用公式。

两端都延伸到无穷远时，$\theta_1=\theta_2=90^\circ$，得到无限长直导线的结果

若只有一端延伸到无穷远，另一端的垂足恰好在端点，则一个正弦为 $1$，另一个为 $0$，结果减半。注意“无限长”不是说实验室里真有无限长导线，而是导线两端相对垂距足够远，使端点修正可以忽略。

圆电流：横向抵消，轴向留下

对半径为 $R$ 的圆形电流，圆心处每个电流元到圆心距离都为 $R$，且 $d\vec l\perp\vec r$。所有贡献都沿圆环轴线同向，积分立刻给出

方向仍由右手定则判断：四指沿电流环绕方向，拇指所指就是圆心磁场方向。$N$ 匝紧密绕制、尺寸相同且电流相同的线圈，在可以忽略各匝位置差别时，中心场为 $N$ 倍。

轴线上距离圆心为 $z$ 的点更有意思。来自对称电流元的横向分量互相抵消，轴向分量相加。看图时先找一对关于圆心对称的电流元，预测它们的 $d\vec B$ 哪些分量会被留下。

由于轴线上各电流元到场点的距离都是 $\sqrt{R^2+z^2}$，积分后得到

把 $z=0$ 代入，立即回到圆心公式，这是很重要的极限自检。当 $|z|\gg R$ 时，$B_z$ 近似按 $1/|z|^3$ 衰减，比长直导线的 快得多。不同几何导致不同距离规律，不能因为都叫磁场就统一套“反平方”。

圆弧与径向导线：先筛掉零贡献

若半径为 $R$、圆心角为 $\varphi$（必须用弧度）的圆弧中有电流 $I$，圆心处每个电流元都与径向矢量垂直，方向一致。弧长为 $R\varphi$，因此

取 $\varphi=2\pi$，就回到完整圆电流的 $\mu_0I/(2R)$。这既是推导，也是单位和系数检查。

组合导线常把圆弧与两条径向直线段连接起来。别一见三段就机械写三个积分：对圆心而言，径向段上的每个 $d\vec l$ 都与指向圆心的 $\vec r$ 平行或反平行，叉乘为零，所以只有圆弧贡献磁场。

这个图值得再看一遍：径向导线“离圆心很近”并不意味着贡献很大，因为毕奥—萨伐尔定律还含有 $\sin\alpha$。距离因素和方向因素必须一起判断。考场上先凭几何筛掉零贡献，再积分，通常比从头代坐标更稳。

现在把三类典型导体放到同一个探索器里。先不看数值，分别预测增大垂距、轴向距离或圆弧半径后磁场怎样变化；随后把参数推到长直、圆心、整圆等极限，检查公式是否互相接得上。

如果探索器中的方向判断与你手算相反，先查三件事：$d\vec l$ 是否沿常规电流，$\vec r$ 是否从源点指向场点，纸外和纸内符号是否看反。只有这三件都无误，才去怀疑代数。磁场题中方向是矢量答案的一部分，不能只交一个正数。

把整章压缩成一条思维链

面对稳恒电流与磁场问题，可以按下面的顺序自检：先确定载流子的电荷符号和常规电流方向，再用 $I=\iint\vec J\cdot d\vec S$ 把局部分布与总电流连接；若涉及结点或变截面，用连续性方程检查是否允许电荷积累；若涉及材料响应，辨认 的线性、均匀与各向同性条件；若电荷绕闭合回路持续运动，必须找出非静电力怎样提供电动势；最后求磁场时，把导线分成电流元，先判断叉乘方向和零贡献，再做矢量积分与极限检查。

这条链里有两个“不能混”：电流密度 $\vec J$ 是导电状态的局部量，磁感应强度 $\vec B$ 是电流在周围空间建立的场；电动势 $\mathcal{E}$ 是非静电力对单位电荷做功，不是静电场中两点电势差的另一个名字。把对象分清，公式反而不容易记乱。

课后练习

1. 电流方向与载流子

2. 倾斜截面的电流通量

均匀电流密度大小为 $J=4.0\times10^5\,\mathrm{A/m^2}$，穿过面积 $A=2.0\,\mathrm{mm^2}$ 的平面， 与所选面法线夹角为 。求有向电流；若法线反向，结果怎样？

3. 变截面导线中的连续性

4. 节点电荷积累

一个小结点在 $0\le t\le2.0\,\mathrm s$ 内有 $3.0\,\mathrm A$ 电流流入、$1.2\,\mathrm A$ 电流流出。若初始净电荷为零，求 $2.0\,\mathrm s$ 时结点净电荷。这个状态能否称为稳恒？

5. 固定场强还是固定电压

两根材料和截面积相同的均匀导线，长度分别为 $L$ 和 $2L$。比较两种实验：甲使两导线内部场强相同，乙使两导线两端电压相同。分别求长导线与短导线的电流之比。

6. 电动势与端电压辨析

7. 有限直导线的磁场

一根有限直导线中电流为 $I=5.0\,\mathrm A$。场点到导线的垂距为 $a=0.10\,\mathrm m$，从垂线向两端张开的角分别为 $30^\circ$ 和 $60^\circ$。求磁场大小。取 。

8. 圆线圈轴线上的极限检验

半径为 $R$ 的圆电流在轴线上 $z=\sqrt3R$ 处的磁场，与圆心磁场之比是多少？

9. 组合导线的模型设计

一根细导线由半径为 $R$、圆心角为 $120^\circ$ 的圆弧和连接圆弧两端、沿半径方向延伸的两段直导线组成，电流为 $I$。求圆心处磁场大小，并说明两段直导线为何没有贡献。

这组练习把“守恒—局部响应—能量补给—磁场叠加”串在了一起。下一章将从磁场本身的环流性质和磁场对电荷、电流的作用出发，引出安培环路定理、洛伦兹力与安培力；届时你会看到，本章辛苦积分得到的某些高对称结果，可以换一种更短的路线求出。

法线反向后 $d\vec S$ 反向，有向通量变为 $-0.40\,\mathrm A$；物理上通过该面的电流大小仍为 $0.40\,\mathrm A$。易错点是把毫米平方只乘一次 $10^{-3}$，正确换算是 $1\,\mathrm{mm^2}=10^{-6}\,\mathrm{m^2}$。

所以

净电荷持续增加会改变结点附近电场，因而不能是稳恒状态。实际普通电路只需积累极少表面电荷就可能显著调整电流，不会长期积累到题设数值；本题用夸张数据突出连续性关系。

乙中 $R=\rho_e L/A$，长导线电阻为短导线两倍，在相同电压下

同一个几何改变得到不同结果，原因是控制条件不同。若不先写清固定的是 $E$ 还是 $U$，只说“长度越长电流越小”并不完整。

代入得

方向垂直于导线与场点所在平面，由右手定则确定。只写大小没有完成矢量问题；若题图给出电流方向，还应明确纸内或纸外。

所以

代入 $z=\sqrt3R$，分母为 $(4R^2)^{3/2}=8R^3$，故比值为 $1/8$。这个结果也说明圆环轴线场并非按 $1/z^2$ 衰减。

对任一径向直线段，电流元 $d\vec l$ 与从源点指向圆心的 $\vec r$ 平行或反平行，因此 $d\vec l\times\vec r=0$，整段贡献为零。总磁场方向由圆弧电流的右手定则确定。易错点有两个：把 $120^\circ$ 直接代替弧度，以及因为直线段离圆心近就误认为它的贡献很大。