第7章 传感器、材料特性与工程物理量测量

同一只热敏电阻放进同一杯温水里，两组同学却测出两个温度：一组直接把万用表读到的电阻代入铭牌公式，另一组先用标准温度计做了标定。谁更可信？如果第一组的数字小数位更多，答案会改变吗？

真正棘手的地方不在于“会不会读表”，而在于仪器显示的往往不是我们最终要知道的物理量。温度、应变、压力、磁感应强度和光强先被传感元件转换成电阻、电压或电流，再经过电桥、放大器和采集卡，最后才变成屏幕上的数。链条中任何一环改变零点或比例，最终数字都会跟着偏移。小数位很多，只说明显示得细，并不自动说明测得准。

本章把多种设备条件下的选做项目放进同一套实验逻辑：先用已知参考量标定传感器，再评价灵敏度、线性度、迟滞、重复性与零漂，最后把未知输入沿信号链反算出来，并给出可以追溯的误差预算。温度、应变、磁场或光学传感器不要求全部完成；学校可按设备选做一种主项目，再用另一种传感器比较方法是否还能成立。

读数之前，先画出测量链

设待测工程量为 $x$，传感器原始输出为 $s$，信号调理后的电压为 $u$，采集系统给出的数字量为 $n$。一个最简单的局部线性模型可以写成

$$s=s_0+k_sx,\qquad u=G(s-s_0)+u_0,\qquad n=k_au+n_0.$$

这里 $k_s$ 是传感器在所选区间内的灵敏度，$G$ 是调理电路增益，$k_a$ 是采集环节的转换比例，$s_0,u_0,n_0$ 分别代表各环节可能带来的零点。实际实验通常不会逐个相信铭牌值，而是把整条链作为一个系统，用可溯源的参考输入 和最终读数 建立经验关系

$$y=a+bx.$$

标定得到截距 $a$ 和斜率 $b$ 后，未知量才由

$$x=\frac{y-a}{b}$$

反算。注意，这是个很容易踩的坑：把直线写成 $y=a+bx$ 后，$b$ 是“输出变化量除以输入变化量”；反算未知输入时必须减去截距再除以斜率。若只算 $x=y/b$，就是假定零点绝对为零，而真实系统往往做不到。

开始操作前，把实验目的写成可检验的问题。例如：“在 $20\ ^\circ\mathrm C$ 到 $70\ ^\circ\mathrm C$ 范围内标定某热敏电阻，评价线性化模型的残差，并用它测量一个未知温度。”这比“了解传感器原理”明确得多，因为它同时限定了对象、范围、模型和结果。

仪器清单也要按功能记录，而不是只抄名称：参考标准提供已知输入；传感元件完成物理量转换；恒流源、电桥或放大器完成激励和调理；万用表或采集卡记录输出；恒温槽、加载架或磁场装置建立可控输入。仪器编号、量程、分辨力、校准状态和接线档位都属于原始记录的一部分。

一条标定线为什么不够

先设想一个位移传感器：从零逐级加载时，输出点几乎落在直线上；逐级卸载时，点却走了另一条路。若只取加载数据做拟合，相关系数可能非常接近一，但仪器对同一输入给出了两种输出。高相关并没有让迟滞消失。

静态标定应覆盖实际使用区间，并在各输入点等待系统稳定。常见做法是从下限逐级增加到上限，再逐级返回下限，称为一个正、反行程；若条件允许，重复两到三轮，以便分开观察随机散布和方向相关的偏差。输入点应尽量均匀，并包含零点、端点和工作区间中部。

在给定标定区间和规定参考直线下，常用指标可以这样理解：

• 灵敏度是输出对输入变化的响应大小。在线性拟合中就是斜率 $b=\Delta y/\Delta x$，单位不能省，例如 $\mathrm{mV/N}$。
• 非线性看各标定点偏离参考直线的最大程度。若以满量程输出 $Y_{\mathrm{FS}}$ 归一化，可写成 ${\delta }_L=\max \mathrm{\mid }{y}_i-{\stackrel{}{}}_{}$。

不同仪器手册可能选用端点直线、最小二乘直线或独立最佳直线，也可能采用不同的满量程分母。因此，指标后面必须跟着定义和标定区间，不能只报一个百分数就让读者猜口径。

下面先做一次判断：若把所有标定输出同时加上相同的 $5.0\ \mathrm{mV}$，斜率会不会改变？零点与非线性又会怎样？对含截距的最小二乘拟合，斜率通常不变，截距增加 $5.0\ \mathrm{mV}$；若参考直线也随拟合平移，拟合残差和由它定义的非线性不变，但零点偏置已经改变。把零漂误当成灵敏度变化，往往就发生在没有分别检查截距和斜率时。

实验报告中，相关系数或决定系数只能辅助描述拟合，不能代替残差图、迟滞和重复性分析。一组数据整体弯曲时，仍可能有很高的决定系数；是否能用直线反算未知量，要看残差是否具有系统结构、使用区间是否受限，以及所需准确程度。

温度项目：热敏电阻测到的是自己的温度

热敏电阻标定看似简单：把探头放进水浴，读温度和电阻即可。可若标准温度计贴着容器壁、热敏电阻悬在加热器附近，两者并没有处在同一温度场中；若测量电流过大，热敏电阻还会因焦耳热使自身温度高于水浴。此时公式算得再精细，也只是在精确处理一组有系统偏差的数据。

以常见负温度系数热敏电阻为例，在制造者或实验装置规定的有限温区内，可用近似模型

$$R=R_0\exp\left[B\left(\frac1T-\frac1{T_0}\right)\right],$$

其中温度 $T,T_0$ 必须用开尔文，$B$ 是在相应温区内拟合得到的材料参数。线性化后

$$\ln R=\left(\ln R_0-\frac{B}{T_0}\right)+B\frac1T.$$

这里 $\ln R$ 是约定以同一固定单位表示电阻数值后的简写；更严格可写为 $\ln(R/R_{\mathrm{ref}})$，其中 $R_{\mathrm{ref}}$ 是固定参考电阻，改变参考只改变截距。因此以 为横轴、该无量纲对数为纵轴做最小二乘拟合，斜率给出 。这不是说任意温度范围都严格遵从同一常数，也不能把某只器件拟合出的 无条件套给另一只器件。封装、批次、老化和引线都会影响实际特性。

推荐的调节顺序是：先在断电状态下固定标准温度计和热敏电阻，使敏感端靠近但不互相接触，也不碰容器壁和加热器；加入足量介质并缓慢搅拌；选择不会造成明显自热的测量电流；从低温到高温分点改变水浴；每一点等待参考温度和电阻读数都稳定后再记录；最后选若干温点回程测量，以观察热滞后和环境散热的影响。

如果增大测量电流后，同一水浴温度下测得电阻系统性变小，你会先怀疑“电表更灵敏了”吗？对负温度系数器件，更合理的解释是自热使元件温度升高，电阻下降。验证方法不是争论，而是在保持水浴不变时改变测量电流，观察读数能否在低功耗区趋于稳定。

应变项目：微小电阻变化怎样变成载荷

在悬臂梁上放一个小砝码，肉眼几乎看不出形变，应变片的电阻变化也可能只有千分之几甚至更小。直接用普通欧姆档读差值很吃力，于是电桥把微小的相对电阻变化转换为差分电压，再由仪表放大器提高可测性。

金属电阻应变片在规定的小变形范围内满足

$$\frac{\Delta R}{R}=K\varepsilon,$$

其中 $K$ 为应变片灵敏系数，$\varepsilon$ 是粘贴方向上的轴向应变。理想四分之一桥在小信号近似下，若仅一臂为工作应变片，输出幅值近似为

$$|U_o|\approx\frac{U_s}{4}K|\varepsilon|.$$

输出正负还取决于应变片位于哪一桥臂、受拉还是受压以及仪表端子的定义。半桥、全桥的灵敏度提升倍数也取决于工作片在各桥臂中的布置，不能只看到“用了两片或四片”就机械套倍数。

沿桥路追踪两个独立中点到放大器的连接；本图的输出符号由左减右的端子定义决定。

安装和调节应按机械与电气两条线同时检查：梁和夹具先可靠固定，载荷点位置明确；应变片粘贴方向和引线完好；不加载时接通低压激励，预热后调零；逐级加砝码并等待机械振动衰减；到量程上限后逐级卸载，检查回零和迟滞；实验结束先卸载，再关闭激励。禁止冲击加载、侧向扭曲梁体或超过规定应变，任何松动都要停下重新固定，不能用手扶着夹具继续读数。

半桥中若一片受拉、一片受压，并按桥路极性接入能使两片应变响应相加的桥臂，既可增强信号，也可让共同温度变化在一阶近似下相互抵消。你可能会想：“既然补偿了温度，就没有温漂了。”注意，补偿成立还要求两片温度相近、参数匹配、粘贴与导线条件相当；放大器本身的失调和漂移也仍然存在。实验上仍要记录预热时间、环境温度和空载零点随时间的变化。

这类标定也说明“材料特性”和“传感器特性”不能混为一谈。应变片的 $K$ 与敏感栅材料和结构有关，梁的应变—载荷关系还取决于梁材料、截面、有效长度和加载位置，而整套装置的输出—载荷斜率又包含电桥与放大器。若研究目标是梁的弹性性质，必须独立测量几何尺寸并采用相应力学模型；若目标只是把装置做成测力传感器，则用标准砝码对整条链标定通常更直接。

换成磁或光传感器，方法如何迁移

实验室若配备霍尔元件，可用已知磁场或经校准的磁场装置建立输出电压与磁感应强度的关系，但要控制激励电流、零磁场偏置、探头方向和温度。若配备光电器件，可改变光源与探头间距、遮光程度或使用参考光功率计，研究输出与光强的关系，同时控制环境杂散光和光源预热。

不要把“线性”当作传感器天生具有的标签。霍尔探头倾斜会测到磁场在敏感方向上的分量；光电器件可能在强光下饱和；温度传感器有热惯性；应变系统可能因夹具间隙产生回程差。最稳妥的做法是先画预期曲线，指出你认为的线性工作区和饱和区，再用标定数据验证。若残差呈持续弯曲，就缩小工作区或采用有物理依据的非线性模型，而不是删除“不好看”的数据点。

从误差清单走向不确定度预算

测量链越长，越容易写出一大串“可能误差”，却不知道哪一项值得优先改进。把最终待测量写成输入量的函数是第一步。例如线性反算

$$x=\frac{y-a}{b}$$

中，结果会受到读数 $y$、截距 $a$ 和斜率 $b$ 的影响。若这些量可视为不相关，且线性近似适用，合成标准不确定度可按灵敏系数传播：

$$u_c^2(x)=\left(\frac{\partial x}{\partial y}u(y)\right)^2+ \left(\frac{\partial x}{\partial a}u(a)\right)^2+ \left(\frac{\partial x}{\partial b}u(b)\right)^2.$$

上式仅在各输入之间的相关项可以忽略时适用。一般地，令 $q_i$ 表示各输入量、$c_i=\partial x/\partial q_i$，则

$$u_c^2(x)=\sum_i c_i^2u^2(q_i)+2\sum_{i<j}c_ic_j u(q_i,q_j).$$

$a,b$ 的协方差项为

$$2\left(\frac{\partial x}{\partial a}\right) \left(\frac{\partial x}{\partial b}\right)u(a,b), \qquad u(a,b)=r_{ab}u(a)u(b).$$

$a$ 与 $b$ 来自同次回归；其相关性显著或不可忽略时，必须计入这一项。共同温漂同时影响传感器、参考标准和放大器时也要处理相应协方差，不能为了方便把它们当成彼此独立。

预算表至少应写明来源、分布或统计依据、标准不确定度、灵敏系数、对结果的贡献和改进办法。重复测量的统计散布属于A类评定的常见来源；参考标准证书、仪器分辨力、增益允许误差等通常通过已有信息作B类评定。A类与B类是评定方法的分类，不等于“随机误差”和“系统误差”的简单同义词。

扩展不确定度写成

$$U=ku_c(x).$$

$k=2$ 只有在输出分布近似正态且有效自由度足够时才约对应 $95\%$；小样本或有效自由度较小时，应按 $t$ 分布或课程规定选 $k$，并报告依据、覆盖概率和单位。

若采集卡分辨力贡献远小于参考标准和零漂，再把采样位数从十二位换成十六位，结果可能几乎不改善；若输出太小，只占量程很少几档，合理提高增益或改用更匹配的量程反而有效。选择仪器不是追求每个参数都最高，而是让各环节与目标不确定度相称，并保留足够过载裕量。

原始数据怎样留下可复核证据

原始记录不能只留下处理后的斜率。下面两张表可按所选项目改写，空格应在实验现场填写，改错时保留原值并签注，不能回宿舍凭记忆补造。

数据处理建议按固定顺序进行：先检查单位、抄录错误和过载点；分别绘制正反行程散点；按预先说明的口径拟合；画残差而不只画直线；计算灵敏度、非线性、迟滞、重复性和零漂；再反算未知量并评定不确定度。离群点只有在找到可记录的物理原因，例如接线瞬断、明显过载或操作失误时，才可在保留原值的前提下说明剔除；不能因为它拉低拟合效果就让它“消失”。

一份合格报告应包含：所选项目和实验目的；装置与信号链图；仪器编号、量程和关键参数；调节顺序与安全措施；未经加工的原始数据；标定曲线、拟合方程和残差；静态指标及其定义；未知量、不确定度和单位；系统误差的方向或机制；可以被下一组同学验证的改进方案。做到这些，结论才不是“仪器显示了一个数”，而是“这条证据链在什么条件下支持这个数”。

期末实验考核里，容易丢分的通常不是忘了某个传感器的名称，而是把分辨力写成准确度、用摄氏温度直接代入倒温度公式、只做单向标定却报告迟滞、把决定系数高当成没有系统偏差，或给出扩展不确定度却不写覆盖因子、覆盖概率和单位。前面每一步都记录清楚，这些失分点自然会减少。

下一章将不再给你一套固定装置，而是要求从问题出发设计方案。到那时，本章的信号链、标定、残差和预算会变成方案取舍的依据：不是问“哪个传感器最高级”，而是问“哪条测量链能用最少假设回答研究问题”。

课后实验任务

1. 零点平移会改变什么

某力传感器原标定式为 $y=2.0+4.00x$，其中 $y$ 的单位为毫伏，$x$ 的单位为牛。一次重新上电后，所有输出都比原来高 $3.0\ \mathrm{mV}$，斜率没有变化。写出新标定式，并求读数 $25.0\ \mathrm{mV}$ 对应的力。

显示答案

新截距为 $5.0\ \mathrm{mV}$，所以标定式为 $y=5.0+4.00x$。反算得 $x=(25.0-5.0)/4.00=5.00\ \mathrm N$。若仍直接用 ，就是忽略了重新上电后的零点平移。

2. 区分迟滞与重复性

在同一输入点，三次正行程输出分别为 $10.01,10.03,10.02\ \mathrm{mV}$，三次反行程输出分别为 $10.20,10.18,10.19\ \mathrm{mV}$。主要问题更像重复性差还是迟滞明显？

显示答案

每个行程内部三次读数只散布约 $0.02\ \mathrm{mV}$，重复性较好；正、反行程的中心却相差约 $0.17\ \mathrm{mV}$，方向相关差异更明显，因此主要表现为迟滞。不能把所有六个数混在一起只算一个标准差，否则会掩盖方向信息。

3. 热敏电阻为什么必须用开尔文

有人把 $25\ ^\circ\mathrm C$ 和 $50\ ^\circ\mathrm C$ 直接代入 $\ln R=A+B/T$ 拟合。指出错误，并写出正确的两个温度值。

显示答案

倒温度关系来自绝对温标，$T$ 必须使用开尔文。正确值约为 $298.15\ \mathrm K$ 和 $323.15\ \mathrm K$。摄氏温度的零点是人为选定的，直接取倒数会破坏模型的物理含义。

4. 用两点估算材料常数

某负温度系数热敏电阻在 $T_1=298.15\ \mathrm K$ 时 $R_1=10.00\ \mathrm{k\Omega}$，在 $T_2=323.15\mathrm{K}$ 时 。按 估算 。

显示答案

$B=\ln(10.00/3.60)/(1/298.15-1/323.15)\approx3.94\times10^3\ \mathrm K$。这只是两点估算；正式标定应使用多点拟合并检查残差，不能由两点结果宣称整个温区都严格服从同一模型。

5. 应变桥输出量级

四分之一桥供桥电压 $U_s=5.00\ \mathrm V$，应变片灵敏系数 $K=2.00$，应变为 $500\ \mu\varepsilon$。按小信号近似求桥路输出幅值；若放大倍数为 $100$，求放大后幅值。

显示答案

$500\ \mu\varepsilon=500\times10^{-6}$。桥路输出约为 $|U_o|=U_sK|\varepsilon|/4=1.25\ \mathrm{mV}$；放大一百倍后约为 。正负号需结合工作片桥臂位置、受拉受压和端子定义判断。

6. 高决定系数能否证明模型正确

一组光电传感器标定数据的决定系数为 $0.9995$，但残差从低输入到高输入依次呈“负—正—负”的平滑弯曲。能否直接采用全量程线性模型？

显示答案

不能只凭高决定系数下结论。结构化残差说明线性模型遗漏了曲率，可能来自器件非线性或接近饱和。应检查装置与杂散光，必要时缩小线性工作区，或在有物理与统计依据时采用合适的非线性模型，并重新评定不确定度。

7. 找出误差预算的瓶颈

某温度测量中，参考温度计、重复性、采集分辨力和零漂对结果的标准不确定度贡献分别为 $0.20,0.08,0.01,0.30\ \mathrm K$，暂按不相关处理。求合成标准不确定度，并指出优先改进项。

显示答案

$u_c=\sqrt{0.20^2+0.08^2+0.01^2+0.30^2}\approx0.37\ \mathrm K$。最大单项是零漂，其次是参考温度计；继续提高采集分辨力几乎没有收益。应先改善预热与环境稳定性、记录并修正漂移，再评估是否需要更好的参考标准。

8. 设计一个可复核的选做方案

现有一只未知型号的光电传感器、可调光源、参考光功率计、直流稳压源和数据采集卡。请给出不超过六步的标定方案，并至少指出两项需要控制的条件。

显示答案

可按以下思路实施：第一，查清允许供电、极性和输出范围，断电接线；第二，固定光源、参考表和传感器的几何位置，并遮蔽杂散光；第三，预热光源和电路，记录暗输出与零漂；第四，用参考光功率计设置覆盖工作区间的若干输入点，逐点稳定后记录参考值和传感器输出；第五，完成正、反行程并重复关键点，检查饱和、迟滞和重复性；第六，拟合工作区、画残差、反算未知量并建立误差预算。至少要控制几何位置、环境杂散光、供电电压、预热时间和探头温度中的两项。