第3章 薄透镜、折射率与分光计调节

在光具座上移动凸透镜时，像屏上往往会出现一幅“差不多清楚”的像。你再向前推一点，似乎也清楚；往后退一点，好像还说得过去。若只凭最亮、最锐的那一瞬间报出焦距，不同同学可能相差好几毫米。换到分光计，困难更直接：望远镜里连谱线都找不到，眼前却有一圈螺钉，每一颗看起来都像该拧。

这两种卡壳其实来自同一个问题：光学测量不是“看见就读数”，而是先用调节建立可复核的几何条件，再把清晰、重合或转折变成测量判据。本章选择两条代表性实验链。第一条在光具座上用共轭位移法测薄凸透镜焦距，并用自准直理解消视差；第二条先把分光计调到可测角状态，再用三棱镜的最小偏向角求材料折射率。学校可以根据设备与课时选做其中一条或两条，不要求把所有焦距、折射率测法逐项完成。

3.1 先把“看清”变成一个条件

薄透镜近轴成像公式常写为

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}.$$

在本章的凸透镜实物成实像实验中，$u$、$v$ 分别取物屏和像屏到薄透镜光心的正距离，$f>0$。这套简化写法只适用于近轴光线、透镜厚度相对物像距离可忽略的情形。若改测凹透镜或厚透镜，就要使用统一符号约定和主平面，不能把这里的正距离公式原样搬过去。

学校若选用最直接的物距—像距法，可以把它组织成一条完整测量链：先记录物屏位置 $x_O$、透镜支架所代表的光心位置 $x_L$ 和像屏清晰成像位置 $x_S$，再按本章的正距离约定计算 $u$、，最后由

$$f=\frac{uv}{u+v}$$

得到焦距。实验时物体必须位于凸透镜焦点以外，像屏上应能接收到清晰的实像；不能一边把 $u$、$v$ 当正距离，一边又套用另一套有向线段的正负号。改变物屏或透镜位置取得多组数据，每组都应重新判焦并保留三个原始位置，而不是只抄计算后的 $u$、$v$。这种方法的主要限制也很直白：薄透镜的光心或实际透镜主平面难以由支架刻线精确定位，这个共同定位偏差可能让多组结果稳定地偏向同一侧，重复测量只能显示判焦分散，不能自动消除它。

先别急着代数。物屏、透镜和像屏如果不等高、不同轴，屏上可能仍有一块亮斑，却不是模型假定的共轴近轴成像。粗调时从侧面和上方观察，让各元件中心大致等高、承载杆沿光具座轴线；细调时固定物屏与像屏，在两个清晰成像位置比较像心。若放大像与缩小像的中心总向同一方向错开，就调透镜的高低或横向位置，使两幅像的中心重合。下图把“看起来排成一列”和真正可用于测量的细调判据放在了一起。

光学元件只能拿支架或磨砂边缘，不用手摸通光面；落灰先用吹气球，是否能擦、用什么擦服从实验室规定。白光灯或低压单色灯开启前先确认额定电源，调整光路时降低亮度，不直视强光源，更不能把眼睛贴到会聚光束的焦点附近。移动支座前先松开锁紧件，锁紧后再读位置，避免用力推拉使导轨刻度和支架同时受损。

共轭位移法：两个清晰位置比一个“最清楚”更可靠

把物屏和像屏固定，二者距离记为 $D$。当 $D>4f$ 时，凸透镜通常能在两个位置分别成清晰实像：一个位置得到放大像，另一个位置得到缩小像。设两透镜位置之差为 $d$，两次成像的物距与像距互换，因此

$$u+v=D,\qquad |v-u|=d.$$

联立成像公式可得

$$f=\frac{uv}{u+v}=\frac{D^2-d^2}{4D}.$$

沿两条主光线检查两个共轭位置：光心光线不偏折，平行入射光只在薄透镜处改变方向。

你可能会问：既然公式只需要 $D$ 和 $d$，为什么还要调共轴？因为公式消掉的是透镜光心位置读数中某些共同偏差，并没有消掉光路倾斜、像面歪斜和人为判焦误差。两次像心不重合时，所谓的两个清晰位置可能对应不同的离轴光束，$d$ 已经不再是同一模型中的位置差。

下面的实验台允许你先改变 $D$，再寻找两处清晰位置。先预测 $D$ 太小时会发生什么，然后再动透镜；找到两处像不等于实验结束，还要看放大像和缩小像的像心是否重合。

实际测量不宜只做一次。可以改变 $D$ 取得若干组 $d$，每组都从一个方向缓慢逼近清晰位置，减少支座间隙造成的回程差。原始记录至少保留以下量，位置读数不要直接改写成计算后的 $D$ 和 $d$，否则无法追查抄错的是哪一个位置。

处理时计算 $D=|x_S-x_O|$、$d=|x_2-x_1|$ 和每组 ，再报告平均值与离散程度。若课程要求评定不确定度，可由仪器分辨力和重复测量分别评定 、，忽略两者相关性时有

$$u_c(f)=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial D}u(D)\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial d}u(d)\right)^2},$$

其中

$$\frac{\partial f}{\partial D}=\frac14\left(1+\frac{d^2}{D^2}\right),\qquad \frac{\partial f}{\partial d}=-\frac{d}{2D}.$$

这告诉你一个实用事实：$D$ 刚刚超过 $4f$ 时，两处清晰位置很靠近，$d$ 难以分辨；但把光路一味拉得很长，又会让像变暗、装置更难共轴。好的 $D$ 是分辨、亮度和导轨长度之间的折中，不是越大越好。

自准直与消视差：眼睛移动，判据才出现

自准直法在凸透镜后放置平面镜。若物位于透镜物方焦平面，出射光经透镜后成为平行光，被平面镜反射再经透镜会聚，返回像与物位于同一平面。对于离轴标记，可观察到与物等大的倒立像。理想近轴模型中，平面镜到透镜的距离不进入焦距公式；但镜面太远、倾斜过大或口径不合适，会使回返光弱或根本回不到观察区域。

图中主光路追踪物面上的一个轴上点，用平行去程与回程说明物面和前焦平面必须重合；同一竖线旁的上下箭头补充表示离轴标记与倒立返回像的关系。“像和物看起来重合”还不够。轻微左右移动眼睛，若像相对物标记滑动，说明两者不在同一平面；调整物镜间距，直到这种相对移动消失，才叫消除视差。一次眼位下碰巧重合，可能只是两条视线在投影上交会。你可以在下方交互中故意把平面镜调斜或保留一点离焦，再用移动眼位检验自己的判断。

共轭位移法依赖两个位置差，对光心位置的共同零偏不敏感；自准直法装置紧凑、判据直观，却容易被弱反射形成的干扰像和镜面倾斜误导。报告中不应简单写“哪种方法更准”，而要根据重复性、判焦方式、共轴状态和仪器读数说明证据。

这里还要分清随机起伏与系统偏差。多次从同一方向逼近清晰位置，读数仍在一个小范围内变化，主要反映判焦重复性；若每组焦距都稳定地偏向同一侧，多测几次并不会自动纠正它。透镜支架刻线与光心不重合、像屏平面倾斜、透镜较厚却仍把支架位置当作主平面、只使用透镜边缘光线，都可能制造方向一致的偏差。可以缩小光阑检验近轴条件，交换透镜朝向或改变 $D$ 比较结果，但每次改变都要写进记录，不能把不同条件的数据直接混成一组平均值。

如果共轭法三组数据分别得到 $15.96\ \mathrm{cm}$、$16.02\ \mathrm{cm}$、$16.00\ \mathrm{cm}$，而自准直法得到 $16.35\ \mathrm{cm}$，合理的结论不是挑一个更顺眼的数。应先核对自准直回返像是否真正消除了视差、是否误认了弱干扰像，再查看共轭法的大像和小像是否同心。只有排查了测量条件，方法间差异才有资格进入不确定度或系统误差讨论。

3.2 分光计不是望远镜加刻度盘

三棱镜的折射率可以转化为角度测量。问题是，度盘能读到角秒或角分，并不代表进入望远镜的光线已经满足模型。分光计的望远镜、平行光管、载物台和仪器主轴必须先建立规定关系：望远镜对无穷远聚焦且光轴垂直主轴；平行光管发出平行光且光轴同样垂直主轴；棱镜工作面再调到合适姿态。顺序错了，后一次调节可能把前一次条件破坏掉。

先在俯视图中辨认光管、棱镜和双游标，再用侧视图检查共同光轴高度与支撑关系。

先粗调，让望远镜、平行光管和载物台大致处于工作姿态，并使各锁紧、微调机构留有余量。调目镜只负责让叉丝清晰，它并不能让远处目标清晰；随后借助平面镜作自准直，让叉丝经物镜出射、反射后返回成像。若正反两面反射像高度不一致，常用“半调法”：一部分偏差由望远镜俯仰消除，另一部分由载物台相关螺钉消除，反复逼近，使两面反射像都落到规定横线上。这样区分了望远镜光轴与载物台上反射面的两个自由度。

接着用已经调好的望远镜观察平行光管狭缝像，沿轴向移动狭缝筒直至像清晰，说明狭缝处在平行光管物镜的焦平面；再调平行光管俯仰，使狭缝像位于规定位置。狭缝太宽，亮但中心难定；太窄，线细却暗。宽度应在可清楚瞄准的前提下尽量窄。最后放置棱镜，调整载物台螺钉使参与测量的工作面满足要求。

下方调节器会保留每一步已经建立的条件。试着跳过自准直直接寻找谱线，你会看到“偶尔能看见”和“能可靠测角”的区别；也可以故意在后一步动错螺钉，观察哪一项旧条件被破坏。

正式读角时，先锁紧不应转动的部件，再用微调螺钉作最后瞄准。度盘上相隔约 $180^\circ$ 的两个游标应分别读数。双游标的作用是减小度盘中心与旋转轴轻微不重合造成的偏心影响，不是把两个相差约 $180^\circ$ 的原始数直接相加除以二。正确做法是让游标1在两个状态的读数作角差，游标2也独立作角差，处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界后，再平均两个角差。

3.3 让谱线走到“回头”的位置

单色平行光穿过顶角为 $A$ 的三棱镜，出射方向相对入射方向偏转。改变入射角时，偏向角 $\delta$ 会先减小、达到最低点、再增大。最低点不是“谱线最亮”或“最靠近零刻度”，而是缓慢旋转载物台时，望远镜中目标谱线移动到极限后开始反向的转折位置。来回从两侧逼近转折并重复瞄准，比一次停在“好像不动”的地方可靠。

在两个折射面处分别找到法线，再比较入射角、折射角与最小偏向角的定义。

在最小偏向状态，三棱镜内部光路关于棱镜角平分面对称，于是两次折射的入射、出射关系相同。由几何关系和折射定律可得

$$n=\frac{\sin\left(\dfrac{A+\delta_{\min}}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{A}{2}\right)}.$$

公式中的 $n$ 严格说是棱镜相对于周围介质的折射率，即 $n=n_{\mathrm{棱镜}}/n_{\mathrm{环境}}$，并且入射面外与出射面外必须是同一种周围介质。通常实验在空气中进行，取 $n_{\mathrm{air}}\approx1$，才把测得的相对折射率近似当作棱镜材料折射率；更高精度的测量应记录温度与气压，并用相应条件下的空气折射率修正。这里的 还对应所用单色光波长和实验温度。复色光会分成不同颜色谱线，各自有不同的 ，不能把红线的偏向角和绿线的波长条件混在一行数据里。

棱镜顶角 $A$ 也须实际测量。若保持棱镜不动，用望远镜分别瞄准两工作面对同一平行光束的反射光，两反射方向的夹角为 $2A$，于是 $A$ 为其一半；若采用转动载物台、固定望远镜的自准直方法，记录的是两个面法线依次对准望远镜时载物台的转角，几何式可能出现补角。两种装置运动方式不同，不能只记一个“除以二”口令。实验前应在图上标清哪个部件转动、读到的角是哪两条方向之间的角，再选择对应关系。

下面的交互把“寻找转折”“双游标角差”“跨零点”和折射率计算放在同一条证据链里。先判断谱线运动趋势再读数；若直接用两个游标的原始读数求平均，结果会明显失真。

一份可追溯的原始记录可以分成三张表。不要只留下计算后的 $A$、$\delta_{\min}$ 和 $n$。

角度代入三角函数和不确定度传播时应统一换成弧度。若 $A$ 与 $\delta_{\min}$ 可近似视为不相关，则

$$u_c(n)=\sqrt{\left(\frac{\partial n}{\partial A}u(A)\right)^2+ \left(\frac{\partial n}{\partial \delta_{\min}}u(\delta_{\min})\right)^2},$$ $$\frac{\partial n}{\partial A}=-\frac{\sin(\delta_{\min}/2)}{2\sin^2(A/2)},\qquad \frac{\partial n}{\partial \delta_{\min}}= \frac{\cos[(A+\delta_{\min})/2]}{2\sin(A/2)}.$$

随机分散主要来自瞄准谱线中心和寻找转折位置；系统偏差还可能来自平行光管未真正出平行光、望远镜光轴不垂直主轴、狭缝过宽、棱镜工作面有污迹、把错误谱线当成目标，以及顶角公式与实际转动方式不匹配。双游标只能减小偏心影响，不能修复这些条件错误。

实验报告应说明本次实际选做的项目、光路和调节判据，附原始读数、角差跨界处理、单位、有效数字及不确定度；还要用一次异常现象说明你如何定位原因。例如“看不见谱线”不是完整分析，应继续区分光源未对准狭缝、平行光管失焦、棱镜姿态不对或望远镜扫描范围错误。能把失败的观察变成诊断证据，才算真正会用光学仪器。

到这里，透镜焦距和棱镜折射率都被转化成了位置或角度。下一章进入干涉测量时，判据会从“像清晰、谱线转折”变成条纹移动与级次变化，但核心仍然相同：先建立光路条件，再让可观察现象承担测量证据。

课后练习

1

用共轭位移法测凸透镜焦距，物屏与像屏间距D=100.00 cm，两清晰透镜位置之差d=60.00 cm。焦距最接近多少？

A.16.00 cmB.20.00 cmC.25.00 cmD.40.00 cm

2

关于光具座上的等高共轴调节，哪些判断正确？

A.粗调可从侧面和上方观察元件中心B.两清晰位置的大像和小像中心重合可作为细调证据C.屏上出现亮斑就说明已经共轴D.细调时应避免随意移动已固定的物屏和像屏

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3

自准直测焦距时，只要在一个固定眼位看到返回像与物标记重合，就已经消除了视差。

正确错误

4

调节分光计时，目镜中的叉丝已经清晰，但平面镜返回的叉丝像仍模糊。下一步最合理的操作是？

A.继续调目镜直到远像清晰B.调望远镜物镜聚焦机构，使其对无穷远聚焦C.转动度盘寻找最小偏向D.加宽狭缝直到充满视场

5

关于分光计双游标读数，哪些做法正确？

A.两个游标分别计算状态间角差B.先处理0°与360°跨界再平均角差C.把相差约180°的两个原始读数直接平均D.双游标平均可减小度盘偏心的影响E.双游标可以自动消除狭缝过宽造成的瞄准误差

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6

用反射方向法测得三棱镜两工作面反射光方向的较小夹角为120.00°，该装置关系为夹角等于2A，则棱镜顶角A为 ____ °。

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7

某棱镜顶角A=60.00°，目标单色光的最小偏向角δmin=40.00°，折射率最接近多少？

A.1.286B.1.532C.1.879D.2.000

8

一组最小偏向角结果明显偏大，哪些检查能形成有依据的改进？

A.从转折点两侧分别缓慢逼近并重复B.确认平行光管狭缝处在物镜焦平面C.把狭缝尽量开到最宽以增加亮度D.核对目标谱线颜色与记录条件E.检查顶角公式是否与实际转动部件一致F.删除偏大的数据但不记录原因

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