第 4 章　等厚干涉与迈克尔逊干涉测量

把一枚平凸透镜轻轻放在玻璃板上，从上方照入单色光，你会看到一圈套一圈的明暗圆环。奇怪的是，透镜和玻璃都透明，圆环又不是刻在任何一个表面上的，它们究竟在哪里？如果换成两块夹着细丝的玻璃片，圆环又会变成近乎平行的直条纹。条纹形状虽然变了，背后做的其实是同一件事：把肉眼无法直接分辨的微小厚度差，转换成可以计数、定位的明暗变化。

迈克尔逊干涉仪把这种“用光程差当尺子”的思想推进了一步。一面反射镜只移动几百个纳米，视场中就会有一条条纹经过参考位置。可是要让两束光重新相遇，远不是把几个元件摆在桌面上那么简单。本章关心的正是这条完整证据链：怎样从薄膜几何建立模型，怎样把圆环或直纹变成原始读数，怎样调出稳定可数的干涉图样，又怎样让最后的波长或微小长度经得起复算。

一、同一种干涉，为什么会长成不同形状

1. 先找“厚度相同”的地方

两束相干光分别从薄膜的上、下表面反射后叠加。设薄膜折射率为 $n$，局部厚度为 $t$，膜内折射角为 $r$。在忽略高阶修正时，两束反射光由几何路程产生的光程差为 $2nt\cos r$。如果两次反射中恰有一次发生由光疏介质射向光密介质的反射，还要计入半波损失。对常见的空气膜、近法线入射情形，在取空气折射率近似为 1、用 $\lambda$ 表示真空波长的近似下，计入反射相位跃变后的等效光程差可写成：

$$\delta=2t+\frac{\lambda}{2}.$$

因此，反射暗纹和明纹分别满足

$$2t=m\lambda,\qquad 2t=\left(m+\frac12\right)\lambda,$$

其中 $m=0,1,2,\ldots$。理想接触点 $t=0$，反射中心应为暗点。注意，不能只背“整数倍是亮还是暗”：换成透射观察，或薄膜两侧介质关系改变，附加相位可能不同。可靠的判断顺序永远是先列两束光的光程差，再检查反射相变，最后才写明暗条件。

图中平凸透镜下方的空气膜厚度沿半径变化，同一厚度的点组成圆，所以看到同心环；空气劈尖的厚度主要沿一个方向线性变化，同一厚度的点近似成直线，所以看到平行条纹。“等厚”说的是同一条纹对应相同膜厚，并不是整块薄膜一样厚。

先想一个小问题：把空气膜换成折射率更大的透明液体，而几何形状和真空波长不变，条纹会变疏还是变密？因为相邻同类条纹仍对应 $2n\Delta t=\lambda$，所需厚度差变为 $\lambda/(2n)$，条纹会更密。容易错的地方是只盯着波长符号，却忘了光在介质中的光程由 $nt$ 决定。

2. 两个代表实验不是“全部必做”

本章把牛顿环作为等厚干涉的核心代表，把空气劈尖和迈克尔逊干涉仪作为同一测量思想的扩展项目。学校可按设备与课时选做，不要求一次实验课把三套装置全部完成。但无论选哪一项，都要保留目的、观测量、模型、调节、原始数据、处理和误差判断，不能只看一眼漂亮条纹便算完成。

二、牛顿环：别让不理想的中心替你决定结果

1. 圆环半径怎样连到曲率和波长

平凸透镜曲率半径为 $R$，距接触点水平距离为 $r$ 处的空气膜厚度满足

$$R^2=(R-t)^2+r^2.$$

由于 $t\ll R$，略去 $t^2$ 后有 $t\approx r^2/(2R)$。代入反射暗环条件 $2t=m\lambda$，得到

$$r_m^2=m\lambda R,\qquad D_m^2=4m\lambda R.$$

这两个式子给出两种常见任务：已知 $\lambda$ 可测 $R$，已知 $R$ 可测 $\lambda$。本章的数据示例以已知 $R$ 测 $\lambda$ 为主，但报告中必须写清实际采用哪一个已知量，不能把仪器铭牌值、标称波长和自己的测量结果互相冒充。

分别追踪照明与反射观察路径，并在空气膜局部放大图中辨认参与干涉的两个反射分量。

装置通常用半反射玻璃片把单色光近法线引到平凸透镜，再由测量显微镜观察反射环纹。图中理想接触状态的反射环纹中心为暗；实测中心可能受灰尘、未接触或形变影响，不能仅据中心外观判定级次。开始时先用低亮度照明，调显微镜使十字叉丝清晰，再调焦到环纹平面；移动镜筒时要确认物镜不会撞到透镜。环纹椭圆、局部断裂或明暗对比很差，往往提示透镜受压、表面有尘粒、光路偏斜或焦面不对。不要用手按压透镜去“压出黑心”，压力会改变接触状态，甚至损伤镜面。

理想模型预言中心为暗，但真实中心常有亮斑、暗斑扩大或环心漂移。原因可能是灰尘使两面没有真正接触，接触区发生弹性形变，或透镜存在局部面形误差。你可能会想：既然中心不可靠，半径岂不是没法测？实验的巧处正是不用中心坐标，而测同一暗环左右两侧的位置差。

2. 直径法把“中心误差”消掉

让显微镜十字叉丝依次从一侧越过环心移到另一侧，对第 $m$ 级暗环记录左右位置 $x_{m,L}$、$x_{m,R}$，则

$$D_m=\left|x_{m,R}-x_{m,L}\right|.$$

读数时微调鼓轮应始终沿同一方向逼近目标，越过后不要直接反转一点点就读，以免螺纹回程差混入位置。叉丝应压在暗纹中部，同一级的左右位置必须配成一对。数错环级时，单个直径看起来仍然“很像”，但 $D_m^2-m$ 图会出现错位，这正是保留全部原始位置而不是只抄计算结果的价值。

对同一暗环左右各定位一次，再比较两个环级的直径平方差；叉丝必须落在同类条纹中心。

为减弱接触点附加厚度和中心定位的影响，可以选择相隔 $p$ 级的两环作差：

$$\lambda=\frac{D_{m+p}^2-D_m^2}{4pR}.$$

也可以对多级暗环作 $D_m^2-m$ 线性拟合，若斜率为 $k$，则 $\lambda=k/(4R)$。作差或允许截距自由的拟合能消去近似恒定的零级偏移；强迫直线通过原点，反而会把接触不良掩盖掉。下面的实验台把左右位置、直径平方和拟合残差放在一起。先故意把一个右侧读数配给相邻环级，看看图上留下什么痕迹。

实验考核中常见的失分并不发生在最后除法，而是发生在证据链前端：把半径当直径、左右环级配错、用中心坐标直接相减，或者将 $D$ 与 $D^2$ 混用。若各环略呈椭圆，可沿两个近乎正交方向各测一组直径并比较；两方向结果持续不同，应作为面形或受力引起的系统差异报告，不能把它当作随机波动随意平均掉。

一张可复核的牛顿环原始数据表至少应保留下列列项：

三、空气劈尖：把条纹间距变成微小厚度

两块玻璃片一端接触，另一端夹入细丝，形成很小的夹角 $\theta$。距接触端 $x$ 处的空气膜厚度近似为 $t=x\theta$。相邻暗纹对应的膜厚差为 $\lambda/2$，所以条纹间距

$$b=\frac{\lambda}{2\theta}.$$

若细丝距接触线的有效长度为 $l$、直径为 $d$，小角度下 $d\approx l\theta$。测得跨越 $N$ 个条纹间隔的总距离 $L=Nb$ 后，有

$$d=\frac{N\lambda l}{2L}.$$

从一条暗纹中心读到另一条暗纹中心，逐个清点间隔；图示八条暗纹之间只有七个间隔。

为什么要跨多条测，而不量一条间距？因为位置读数不确定度近似不变，$L$ 放大后相对不确定度会减小。不过“跨过十条纹”必须说明是十个间隔；从第一条到第十一条才有十个间隔。从第一条数到第十条只有九个间隔，这是条纹计数中最隐蔽也最常见的差一错误。

如果条纹明显弯曲或间距逐渐变化，说明玻璃片表面不平、接触线不直，或劈尖角并非常量。此时继续套一个平均间距只能给出某种区域平均，报告应限定测量区间，并用不同位置的局部间距判断模型偏离。空气劈尖测细丝直径属于代表性选做项目；若实验室使用标准薄片或其他微小厚度对象，应按实际几何重新定义 $l$，不能照抄图中的距离。

四、迈克尔逊干涉仪：先让两束光真正“见面”

1. 分光以后，为什么还能再次相干

入射光在分束板处分成两路，分别到达固定镜和动镜，反射后回到分束板并共同进入观察屏或探测器。观察端看到的两束光可等效为来自固定镜的虚像与动镜之间形成的空气层。补偿板与分束板材料、厚度近似相同，作用是让两路光在玻璃中的传播条件更接近；宽谱光时这一点尤其重要。

从光源追踪分束后的两臂往返路径，确认两束返回光怎样进入同一观察端口。

图中补偿板与分束板平行；实物中具体方位应按仪器结构和说明书调定。“两路光最后都到了屏上”并不等于已经调好。若返回光斑分离，两束光在观察区重叠不足；若镜面夹角较大，条纹可能密得难以分辨；若光程差超出光源相干长度，即使光斑重合也未必有清晰条纹。对教学用激光，合理顺序是先不用扩束镜，用纸屏追踪两束返回光斑，粗调元件高度和方位，再用固定镜或动镜的微调螺钉让光斑重合，最后加入扩束元件观察条纹并细调。

不过，不能只凭条纹是圆是直就给它贴上“等倾”或“等厚”的标签，光源和观察面同样决定它属于哪一类。教学激光经扩束后通常仍可近似看作相干点光源；两臂返回光等效为来自两个虚点光源的光，它们在重叠空间形成非定域干涉条纹，屏放在不同位置仍可截取到图样。若改用扩展面光源，每个源点只与自己的分束像相干：两等效反射面平行时形成定域于无穷远的等倾干涉，通常在望远镜或透镜的焦面观察；两等效反射面形成很小夹角时，则形成定域在等效空气劈尖附近的等厚干涉。

所以，条纹形状不能脱离光源类型、两等效反射面的间距与相对倾角、观察面位置单独分类。调节过程中要把这些条件与“光斑是否重合、条纹形状、条纹疏密”一起记录和判断，不能看到弯线就只拧一个螺钉碰运气。微调每次只动一个自由度并观察响应，才能知道哪一个调节量造成哪一种变化。

2. 激光安全不是最后补上的一句话

调光前先确认光束与镜面反射都被限定在预定区域；调节过程中始终用观察屏判断光斑，不沿光束观察。以下操作条件贯穿整个调节过程。

激光器应低位固定，光束高度避开站立或坐姿眼平面；调光前摘下可能产生镜面反射的首饰和手表，用漫反射纸屏或专用观察卡追光，眼睛绝不沿光路观察，也不去寻找镜面反射光。先以允许的最低功率完成无扩束对光，再按指导加入扩束元件。移动镜片前关光或遮光；若光束意外离开预定挡光范围，立即停止并报告，而不是用手掌迎光寻找。普通太阳镜不能替代与波长、光密度相匹配的激光防护措施。

仪器的精密导轨、镜面和分束板不能用手触碰。动镜到达行程端点时继续拧微调会损伤传动机构；读数鼓轮换向会产生回程差，所以一组正式数据应沿同一方向逐次逼近。这里的“安全”和“数据可靠”并非两份清单：元件松动、猛烈碰台和随意触镜既可能伤人，也会直接破坏光路和测量。

五、数条纹：一面镜走一步，光要走两遍

动镜沿光轴移动 $\Delta d$ 时，该臂的往返光程改变 $2\Delta d$。若参考位置有 $N$ 条条纹通过，真空中单色光波长满足

$$2\left|\Delta d\right|=N\lambda,\qquad \lambda=\frac{2\left|\Delta d\right|}{N}.$$

因而镜子移动半个波长，参考点就经历一个完整明暗周期。这正是干涉测量的放大：机械位移很小，却被稳定的周期计数记录下来。条纹是向中心“吞入”还是从中心“涌出”，取决于镜移方向和观察约定；若仪器没有先建立正方向，不应仅凭动态图样给位移擅自加符号。测波长时使用位移绝对值与完整周期数即可。

单次只数十条，漏一条就会带来明显相对误差。更稳妥的做法是每 $50$ 或 $100$ 条记录一次鼓轮读数，连续完成若干段，再检查各段的 $2\Delta d/N$ 是否一致。鼓轮零点本身通常不重要，始末读数差才进入模型；但两读数必须沿同一方向取得。若不得不换向，应退出足够距离后再沿规定方向逼近，并把该次操作写入记录。

一份可复核的迈克尔逊原始表可这样组织：

必须确认仪器鼓轮读数与动镜实际位移的标定关系。有的机构直接显示镜移，有的通过杠杆或传动比换算；不能仅看刻度单位就默认二者相等。计数器若由人手按键，还要记录半条纹的处理约定和中断情况。中途说话分神后“估计补上两条”，比诚实标记该段作废更破坏数据。

作为选做，可把厚度为 $h$、折射率为 $n$ 的透明薄片垂直插入一臂。相对于等厚空气，往返光程增加近似为 $2h(n-1)$。若通过 $N$ 条条纹，则

$$n=1+\frac{N\lambda}{2h}.$$

这个式子要求薄片近法线、厚度已知且插入前后其他光路不变。薄片转角明显时应使用包含折射角的模型，不能把简式扩展到所有姿态。

六、数据、不确定度和误差方向

牛顿环若用拟合斜率 $k$ 求波长，且 $k$ 与 $R$ 可视为独立量，则相对标准不确定度可近似写成

$$\frac{u(\lambda)}{\lambda} =\sqrt{\left(\frac{u(k)}{k}\right)^2+ \left(\frac{u(R)}{R}\right)^2}.$$

左右位置读数的随机起伏、叉丝瞄准宽暗纹中部的差别会进入 $u(k)$；环级错配、透镜受压、表面不洁、入射明显不垂直则可能造成系统偏差。重复次数增加可以减小前一类影响，却不会自动修正后一类。

空气劈尖中 $d=N\lambda l/(2L)$。若 $N$ 为无误计的整数，主要不确定度来自 $\lambda$、$l$ 和 $L$；若边缘模糊导致计数可能差一，还应单独评估计数不确定度。迈克尔逊测波长时，近似有

$$\frac{u(\lambda)}{\lambda} =\sqrt{\left(\frac{u(\Delta d)}{\Delta d}\right)^2+ \left(\frac{u(N)}{N}\right)^2}.$$

分段数据若显示波长随测量方向改变，优先检查回程差；若随时间单调漂移，检查光学平台振动、空气流动、温度变化和激光稳定性；若不同区域条纹给出不同结果，检查光斑重合、镜面倾斜和条纹清晰度。只写“人为误差、仪器误差”没有指出方向和证据，不构成分析。

七、报告任务：让别人能沿原始记录复算

报告首页应注明实际完成的项目和光源条件。目的不能只写“观察干涉”，还要指出待测量与拟采用的转换关系。原理部分画清两束参与干涉的光路，说明光程差、反射相变和近似条件。仪器栏记录光源波长标称值、透镜曲率半径或其来源、显微镜与鼓轮分度值、迈克尔逊传动标定，而不是只列仪器名称。

操作与现象部分按调节顺序记录关键判据，例如环纹是否闭合、返回光斑是否重合、圆纹是否稳定；原始数据保留单位、方向、异常和作废原因。处理部分至少给一个可复算的代入示例，再报告多组差分或拟合结果、残差与不确定度。结论写成“在给定不确定度与模型条件下测得……”，并比较参考值是否相容。最后选择一项主要系统误差，说明它通过哪个量进入公式、可能使结果偏大还是偏小，以及可执行的改进办法。

课后练习

1. 预习判断：中心一定是暗点吗

有人写道：“反射牛顿环中心永远是理想暗点，所以测半径必须从中心量起。”判断这句话并说明更稳妥的测量量。

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这句话不成立。理想空气膜接触点在一次半波损失条件下为暗，但灰尘、接触形变或附加间隙会使中心不理想。实验通常读取同一级暗环左右位置之差得到直径，再用跨级平方差或线性拟合处理，从而减弱中心位置和恒定附加厚度的影响。

2. 调节题：牛顿环忽然变成椭圆

调焦后环纹清晰，但整体呈稳定椭圆，且转动目镜不改变椭圆长轴方向。应优先检查什么？为什么不能用力按透镜？

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应检查透镜是否受侧向挤压或不均匀压紧、接触面是否有尘粒、入射与观察光路是否偏斜，并比较两个正交方向直径。转目镜不改变方向，说明问题不太像叉丝本身。按压会改变空气膜和接触形变，还可能损伤镜面，使测量对象本身被操作改变。

3. 环级与直径计算

已知 $R=0.800\ \mathrm m$，第 6 级和第 16 级暗环直径分别为 $3.12\ \mathrm{mm}$、$5.48\ \mathrm{mm}$。估算光源波长。

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取 $p=10$，$\lambda=(D_{16}^2-D_6^2)/(4pR)$。代入国际单位得 ，约为 。关键是直径先平方，并把毫米平方换成平方米。

4. 数据辨析：为什么不强迫过原点

$D_m^2-m$ 拟合得到明显非零截距，但残差无系统弯曲。说明一种可能原因，并解释为什么仍可利用斜率。

显示答案

接触处存在近似恒定附加厚度会使所有环级带有共同的级次偏移，从而产生非零截距。若附加量近似恒定，$D^2$ 随 $m$ 的斜率仍为 $4\lambda R$，所以自由截距拟合可用斜率求波长；强迫过原点会把偏移转移到斜率中。

5. 劈尖计数题

从第 3 条暗纹中心量到第 23 条暗纹中心，距离为 $8.00\ \mathrm{mm}$。应取多少个条纹间隔？若 $\lambda=632.8\ \mathrm{nm}$、劈尖有效长度 $l=50.0\ \mathrm{mm}$，求夹丝直径。

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第 3 条到第 23 条共有 $N=20$ 个间隔，不是 21 或 23 个。由 $d=N\lambda l/(2L)$ 得 $d=20\times632.8\times10^{-9}\times0.0500/(2\times0.00800)\approx3.96\times10^{-5}\ \mathrm m$，即 。

6. 迈克尔逊调节顺序

请把以下操作排成合理顺序：加入扩束镜、用纸屏确认返回光斑、低位固定激光器、微调两光斑重合、观察并细调条纹。补充一条必须遵守的激光安全规则。

显示答案

先低位固定激光器，再用纸屏确认两路返回光斑，随后微调使光斑重合；在无扩束状态完成基本对光后加入扩束镜，最后观察并细调条纹。安全规则可写：眼睛不得沿直射或镜面反射光路观察，移动光学元件前应遮光或关光。

7. 移镜计数计算

动镜始、末读数差为 $0.1582\ \mathrm{mm}$，期间有 500 条条纹通过参考点。忽略传动比修正，求波长。若漏数 1 条，结果偏大还是偏小？

显示答案

$\lambda=2\Delta d/N=2\times0.1582\ \mathrm{mm}/500=0.0006328\ \mathrm{mm}=632.8\ \mathrm{nm}$。若实际通过 501 条却记作 500 条，分母记录值偏小，算得波长偏大。

8. 误差诊断：换向后结果改变

同一激光器沿鼓轮正向测得 $633\ \mathrm{nm}$，反向直接测得 $646\ \mathrm{nm}$，重复性都很好。最可能优先检查什么？设计一个验证办法。

显示答案

优先检查微调机构回程差及读数与实际镜移的传动关系。可规定所有正式读数均沿同一方向逼近；需要换向时先退回超过可能的空程，再沿规定方向到达起点。分别比较“直接反向”和“退回后同向逼近”的分段结果，若后者恢复相容，就支持回程差解释。

9. 开放题：让结论能被复核

你只能在牛顿环、空气劈尖和迈克尔逊三项中选做一项。请为所选项目拟一份最小但完整的数据与质量控制方案，要求能区分随机波动、零点问题和一种系统偏差。

显示答案

以迈克尔逊为例：记录激光条件、鼓轮分度值与传动标定，始终同向逼近；每 100 条记录一次读数，至少完成 5 段，并记录条纹清晰度和中断。用各段 $2\Delta d/N$ 的离散性评估随机波动；用读数差而非绝对零点消除零点影响；安排一次改变计数方向但保持同向逼近的复测，结合随时间记录判断回程差或热漂移。报告各段结果、平均值、不确定度、残差趋势和作废依据，而不是只给最终波长。