第 5 章　衍射、光栅与光谱测量

把激光照到一条很窄的缝上，屏上出现的并不是一条同样窄的亮线，而是一片很宽的中央亮纹，两旁还跟着越来越暗的条纹。再把单缝换成刻线密得几乎看不见的光栅，同一束复色光又会被摊成左右对称的彩色谱线。光似乎在跟我们唱反调：通道越窄，它越不肯直着走；狭缝越多，它分辨颜色的本领反而越强。

这两个现象并不矛盾。一个有限孔径会让波向不同方向传播，许多等间距狭缝发出的波又会在少数方向上彼此加强。实验要做的，是把“看见花样”推进到“测出参数”：由暗纹位置反推缝宽，由谱线方向求波长，再用标准谱线给探测系统建立可复核的标定关系。

本章把单缝和圆孔作为代表性衍射观测，把透射光栅、分光计或阵列探测器作为定量测量方案。不同实验室可按设备选做其中项目，不要求把所有方案塞进一次课内；但无论选哪套装置，都要保留目的、原始读数、模型条件、数据处理、误差判断和安全记录这条完整证据链。

一、一条窄缝为什么会“照宽”

1. 先认清我们测的是哪一种衍射

单色平行光垂直照射宽度为 $a$ 的长狭缝，在透镜焦平面或足够远的屏上形成夫琅禾费衍射。沿垂直于缝长的方向观察，理想相对光强可写成

$\theta=0$ 时要取极限，光强为中央最大值，不是把 $\beta=0$ 代进分式后宣布“没有定义”。当

时出现暗纹。若屏距为 $L$，并且衍射角足够小，屏上第 $m$ 级暗纹距中心的位置满足

因此两侧第一暗纹之间的中央亮纹宽度约为

注意，单缝的暗纹在小角条件下近似等间距，副极大的准确位置却不能简单写成半整数倍。实验中如果把每条亮纹中心都当成 $(m+1/2)\lambda L/a$，看起来省事，实际上已经换了模型。中央亮纹也不是和其他亮纹一样宽：它被左右第一暗纹夹住，宽度约为相邻暗纹间距的两倍。

先想一想：把缝宽减半，中央亮纹会怎样？公式给出的答案是约变为两倍宽。你可能直觉上觉得“孔更小，像也该更细”，可这里观察的不是狭缝的几何投影，而是有限波面叠加后的角分布。衍射实验最先要跨过的坎，就是把“物体尺寸”和“远场花样尺寸”分开。

先确定缝宽方向和探头扫描方向，再追踪未被探头接收的光如何到达终端光阱。

2. 光路没调正，漂亮公式也救不了数据

常见装置由低功率激光器、可调单缝、白屏或可移动光电探测器、光具座及必要的会聚元件组成。先在低功率和遮光条件下布置挡板，再依次调整光源、狭缝中心和探测面，使它们等高共轴；观察屏应近似垂直于光轴。使用透镜形成远场图样时，探测面要放在透镜焦平面附近；用长光路近似远场时，则要检查装置说明给出的距离条件，不能把“看起来有条纹”自动等同于理想夫琅禾费条件。

粗调时把单缝暂时开宽，先让光束通过；找到光斑后再逐渐收窄，并让缝长方向与所需条纹方向匹配。探测器扫描时，先确定机械零点和背景信号，选择不饱和的量程，再以固定步长从中央向两侧扫描。白屏观察适合找图样，光电探测适合测相对光强；二者得到的是同一空间分布的不同记录方式。

激光光束和镜面反射光都不能进入人眼。调光路时禁止俯身沿光轴“找光”，所有反射路径应终止在不燃、漫反射的挡板上；摘取或更换光学元件前先关闭光源。相机或光电探头出现满量程时，应减小入射强度、缩短曝光或换挡，不能把削平的峰顶当作真实光强曲线。

现在在实验台里改变缝宽、波长和屏距，故意加入零点偏移。先只用右侧第一暗纹算缝宽，再改用左右第一暗纹间距，你会看到后一种做法为什么更能抵消中心零点不准。

3. 一张图样至少要读出三层信息

在同一个线性强度坐标中比较中央峰与第一旁峰，核对中央亮纹宽度和整数零点。

第一层是位置：记录中央位置 $x_0$ 与两侧同级暗纹 $x_{+m}$、$x_{-m}$。与其依赖不可靠的绝对零点，不如取

第二层是相对强度：中央峰最强，副极大迅速减弱；如果曲线左右明显不对称，应先检查缝片是否歪斜、探测器扫描线是否穿过图样中心、背景光是否稳定，而不是急着给理论加修正项。

第三层是尺度关系：在同一波长和光路下，改变 $a$ 后 $x_m$ 应近似与 $1/a$ 成正比；固定 $a$ 后，$x_m$ 应近似与 成正比。多组数据拟合比只测一次中央宽度更能检验模型。若角度不小，必须从 求 ，再用 ，不能继续把 、 和 当成同一个数。

原始记录可以按下面的结构填写，表头中的单位只写一次，原始读数不提前四舍五入：

由 $a=2m\lambda L/\Delta x_m$ 得到、且各输入量可视为独立时，一阶相对标准不确定度近似为

$\Delta x_m$ 的不确定度要由左右两次位置读数合成，不是沿用某一个位置的仪器分度值。若不同级次算出的 $a$ 呈系统变化，更可能是小角近似、中心选择、缝片倾斜或屏距定义出了问题，而不是随机误差突然“偏向一边”。

4. 圆孔留下的不是一条纹，而是一圈环

圆孔的夫琅禾费图样具有圆对称的中央亮斑和暗环。直径为 $D$ 的理想圆孔，其第一暗环角半径满足

小角条件下，焦距为 $f$ 的透镜焦平面上第一暗环半径约为 $r_1=1.22f\lambda/D$；长光路屏上则可把 $f$ 换成满足远场近似的传播距离。实验测的是从中央到第一暗环的半径，而不是中央亮斑的直径。若量的是直径，应再除以二。

圆孔越小，中央亮斑越宽，这正是有限孔径限制成像分辨能力的实验根源。这里只需把分辨本领理解为“相邻细节能否在图样中被区分”；真实系统还受像差、离焦、噪声和像素采样影响，不能只凭 $1.22$ 这个系数给整台仪器下结论。圆孔项目可与单缝项目任选其一，也可用来比较一维与二维孔径图样，但不要把两套暗纹公式混用。

二、刻线越多，为什么谱线反而越尖

1. 光栅方程先从“相邻狭缝”读起

透射光栅可看成大量平行、等距的狭缝。光栅常数 $d$ 是相邻狭缝对应位置之间的距离。单色平行光正入射时，相邻狭缝向与法线夹角为 $\theta$ 的方向出射，光程差为 $d\sin\theta$；当它等于波长的整数倍时，各缝贡献同相叠加，主极大满足

这里 $k$ 是光谱级次。由 $|\sin\theta_k|\le1$ 得 $|k\lambda/d|\le1$；等号对应掠射极限，通常不能在有限屏面或望远镜的实际视场中观测，选用级次还须留出角度与光强裕量。$$ 的零级不分颜色；同一级中，波长越长， 越大，所以红光通常在外侧、紫光在内侧；这一排序来自光栅方程。若光栅密度为 线每毫米，则

例如 $600$ 线每毫米对应 $d=1.667\times10^{-6}\ \mathrm m$，绝不是 $1/600\ \mathrm m$。单位错三次方，后面的角度即使按键无误也没有物理意义。

还有一个立即可做的自检：只有

的级次才可能存在。若计算得到 $\sin\theta=1.3$，不是计算器坏了，而是该级谱线根本不能出现。多缝干涉产生尖锐主极大，单缝宽度形成的衍射包络又会调制这些峰的强弱；某级很弱甚至缺失，不应立刻被认成“没有这个波长”。

在下面的诊断器中调节刻线密度和两条波长，先预测最高可见级次，再寻找不同波长、不同级次落在同一角度的情况。

2. “同一个方向看到两种颜色”不一定是仪器串色

若两条谱线满足

它们可在相同衍射角重叠。例如三级 $400\ \mathrm{nm}$ 与二级 $600\ \mathrm{nm}$ 具有相同的 $k\lambda$，因为 $3\times400=2\times600$。具体是否真的看到重叠，还要先确认这两个级次都满足 $\mathrm{\mid }k$，并考虑光源是否含有这些波长、探测器响应和滤光条件。不能只凭乘积相等就宣布仪器上必有两条线。

光栅将邻近波长分开的能力可从两个量理解。角色散率为

它说明单位波长差对应多大的角度差。理想光栅在瑞利判据下的分辨本领常写成

其中 $N_g$ 是被照亮的有效刻线总数，不是“每毫米刻线数”。级次较高、有效刻线较多，理想分辨本领较大；但实际谱线还会被入射狭缝宽度、调焦、像差、探测器像元和信噪比展宽。分辨本领的实验意义是判断两条邻近谱线能否可靠区分，不是让公式替你保证某个峰一定清楚。

三、分光计不是转到谱线就读一个角

1. 先把望远镜、平行光管和光栅调成同一个测量系统

分光计方案通常先调望远镜：目镜叉丝清晰，物镜对无穷远目标或按自准直法调焦，并消除叉丝与像之间的视差；再调平行光管，使狭缝位于准直物镜焦平面，得到窄而清晰的平行光束。随后调载物台和光栅，使光栅刻线竖直、衍射谱线与叉丝方向匹配，并按本仪器规定的方法使入射方向满足所采用的几何模型。

这段顺序不能颠倒。如果平行光管尚未出平行光，就用谱线“调清楚”，望远镜的焦点与狭缝像会互相补偿，最后虽然眼睛看清了，角度模型却未必成立。不同型号在半调法、反射像调平和光栅法线定位上会有细节差异，操作时以本实验室仪器说明为准；报告必须说明自己实际采用的调节判据。

正入射测量常分别对准同一波长的左、右 $k$ 级谱线。若望远镜方位角分别为 $\phi_{-k}$、$\phi_{+k}$，先按圆周度盘求小于 $180^\circ$ 的实际夹角 ，再取

“除以二”来自左右两条谱线关于零级方向对称，不是任何一次转角都要除二。若直接从零级转到单侧一级，读到的转角本身就是 $\theta_1$。两种方案都能用，但原始记录和公式必须配套。

分光计常有相差约 $180^\circ$ 的两个游标，用于减弱度盘偏心的影响。应分别由同一游标的终点读数减起点读数，处理 $0^\circ/360^\circ$ 跨界后，再对两个角位移平均；不能把游标甲的左谱线读数和游标乙的右谱线读数直接相减。

下面的读角台会把谱线放在跨越零度的位置，并注入偏心、光栅未调正或错认级次。先完成两个游标的配对计算，再判断“左右不对称”究竟是正常读数跨界还是装置状态改变。

2. 原始数据必须保留左右、级次和颜色身份

建议原始表至少包含光源、谱线颜色或标识、级次、左右方向和两个游标读数：

度与分要先统一换成十进制度或弧度再计算。例如 $32^\circ18'$ 是 $32.300^\circ$，不是 $32.18^\circ$。同一颜色在一级和二级得到的波长原则上应相容；若二级值系统偏离，应检查是否错认谱线、光栅是否保持原位置、角度是否用错一半关系，以及高角度时是否仍错误使用小角近似。

已知 $d$ 时，未知波长由

求得。若 $d$ 与 $\theta_k$ 独立，一阶不确定度传播为

其中角度不确定度必须用弧度代入。反过来用已知波长标定光栅常数时，$d=k\lambda/\sin\theta_k$；不能在同一份结论里既把 $d$ 当完全准确的已知量，又把它当待测量而不交代来源。

四、光谱仪给的是通道，波长要靠标定得到

有些实验不再逐条转动望远镜，而让光栅把光谱投到线阵传感器上。软件横轴最初可能只是像素号、通道号或电机位置，并不天然等于波长。要先用含有若干已知谱线的标准光源建立映射

其中 $p$ 是峰中心对应的像素或通道。随后才能把未知光源峰位换算成波长。

标定不是“认出一条绿线，把整条横轴拖到对的位置”。至少选取覆盖目标波段的多条可靠标准线，记录峰中心及其参考波长，按仪器原理选线性或低阶模型拟合，并查看残差。参考波长口径应与实验室给定表一致；空气波长、真空波长和四舍五入位数不能悄悄混在同一列。若未知谱线落在标定点范围之外，属于外推，结论的不确定性通常明显增大。

峰顶削平说明探测器或采集电路饱和，此时“最高点在哪”可能不再可靠；弱峰淹没在背景中，也不能只挑最高的一个像素当峰位。可以在不饱和前提下延长积分时间、增加重复测量、扣除背景并对峰形局部拟合，但处理规则应在看结果前确定。两条靠得很近的峰若不能稳定分开，应报告“在本装置分辨范围内未分辨”，不要人为把一个宽峰劈成两个答案。

在标定实验台中，先用标准灯选择标定点，再观察拟合残差；随后打开饱和峰和错配谱线，比较一个很高的拟合优度为什么仍可能对应错误标定。

光谱测量中的系统误差常沿整条链传播：狭缝过宽会展宽谱线，光栅或探测器倾斜会改变位置映射，温漂和机械回差会让通道漂移，错误的标准线配对则会让整条标定曲线看似平滑却整体错误。一个实用的检查办法是留出一条标准线不参与拟合，用标定曲线预测它；预测偏差若明显超过读峰重复性，说明模型、配线或仪器状态仍需检查。

谱灯应在断电并按规定冷却后更换，热灯泡不能徒手触摸；含汞光源破损时不得自行清扫或丢入普通垃圾，应立即隔离并按实验室危险物处置流程报告。使用紫外或高亮光源时遵守屏蔽和护具规定，不因“肉眼看不亮”就判断没有辐射风险。

五、让报告能回答“这个结论凭什么可信”

一份完整报告应先写清所选项目和目的：是测缝宽、测光波波长、标定光栅常数，还是建立通道—波长关系。接着画出实际光路，列明光源波长口径、光栅刻线密度或标称常数、焦距或屏距、探测器量程和分光计分度值。调节步骤写判据，不只写“调好”；原始数据保留左右、级次、重复次数、单位、异常现象和改动痕迹。

数据处理中，单缝项目应给暗纹定位方法、左右差或多级拟合及缝宽不确定度；光栅项目应展示圆周读数化简、双游标平均、级次检查和波长传播；传感器项目应给标准线配对、拟合式、残差、验证线及未知谱线结果。最后的误差讨论要对应证据：左右不对称指向光栅姿态或中心定位，峰顶削平指向饱和，残差弯曲提示标定模型或几何映射不充分，重复散布才主要反映随机波动。

期末实验考核真正容易丢分的地方，往往不是忘记一条公式，而是公式和读数身份没有对上：把中央亮纹宽度当相邻暗纹间距、把线密度当光栅常数、漏写级次、跨零度直接相减、角度不确定度仍用“度”进入微分式，或用未知谱线参与自身标定。把每个数的来路写在表中，这些陷阱大半会在代入前自己暴露。

这一章的能力出口不是背下几种光学图样，而是能从空间强度分布中选定可重复的特征位置，能让角度、级次、波长和仪器读数一一对应，并用独立验证判断标定是否可信。下一章进入原子与量子实验时，谱线将不再只是待测刻度，而会成为能级结构留下的证据。

课后练习与实验任务

1. 中央亮纹到底有多宽

波长为 $632.8\ \mathrm{nm}$ 的激光垂直照射宽度 $a=0.200\ \mathrm{mm}$ 的单缝，屏距 $L=1.50\ \mathrm m$。用小角近似求第一暗纹到中心的距离和中央亮纹宽度。

2. 用左右暗纹反推缝宽

某单缝实验中，$L=1.200\ \mathrm m$，$\lambda=532.0\ \mathrm{nm}$。屏上三级暗纹位置为 $x_{-3}=12.40\ \mathrm{mm}$、。求缝宽，并说明为什么不必知道中央零点的绝对位置。

3. 圆孔图样的读数陷阱

焦距 $f=0.500\ \mathrm m$ 的透镜后观察波长 $550\ \mathrm{nm}$ 的圆孔衍射。圆孔直径 $D=0.250\ \mathrm{mm}$。估算中央亮斑到第一暗环的半径。若学生把测得的暗环直径直接当作公式中的 $r_1$，算出的 将偏大还是偏小？

4. 光栅可见级次与单位换算

一块透射光栅标称 $600$ 线每毫米，用 $589.3\ \mathrm{nm}$ 单色光正入射。求光栅常数、一级衍射角，并判断最高可能级次。

5. 两条谱线会不会重叠

光源含 $400\ \mathrm{nm}$ 和 $600\ \mathrm{nm}$ 两条谱线。判断这两条线是否可能在一至四级范围内出现严格的不同级重叠，并写出理由。

6. 分光计跨零度读角

同一一级谱线的左右位置由游标甲读得 $358^\circ40'$ 与 $41^\circ20'$，由游标乙读得 $178^\circ38'$ 与 。求两个游标给出的左右夹角平均值与衍射角。

7. 角度不确定度如何进入波长

已知 $d=(1.6670\pm0.0010)\times10^{-6}\ \mathrm m$，一级衍射角 $\theta=(20.70\pm0.03)^\circ$，各量不确定度独立。估算波长及标准不确定度。角度项计算时应注意什么？

8. 哪些标定数据不能直接用

某阵列光谱仪用五条标准线拟合通道—波长关系，其中一条峰顶被削平，一条位于目标波段很远之外，另有一条标准线身份存疑。请给出筛选、验证和重测方案，不能只回答“删掉异常点”。

9. 设计一套能区分三类故障的检查实验

实验室给你一套“光栅—分光计—阵列探测器”系统，但测得未知谱线整体偏长波方向。请设计不拆机的诊断流程，至少区分：光栅姿态不正确、角度或通道零点偏移、标准谱线错配。说明每类故障会留下什么证据，并给出最后报告必须保留的原始量。

中央亮纹跨越左右第一暗纹，所以 $w_0=2x_1=9.49\ \mathrm{mm}$。只报 $4.75\ \mathrm{mm}$ 是把半宽当成了全宽。

两位置作差时，探测器位置零点的共同偏移被消去，因此无需知道中央对应的绝对标尺零点。

若把直径 $2r_1$ 当半径代入 $D=1.22f\lambda/r_1$，分母大一倍，得到的孔径会偏小一倍。

允许级次满足 $|k|\le d/\lambda\approx2.83$，所以最高整数级次为 $|k|=2$；三级要求正弦值大于1，不存在。

取 $k_1=3$ 对应 $400\ \mathrm{nm}$，$k_2=2$ 对应 $600\ \mathrm{nm}$，有 $3\times400=2\times600$。因此若两者都满足 $|k\lambda/d|\le1$，就会同角重叠；若其中一个级次超出存在条件，乘积相等也不会在实验中形成这组重叠。只比较颜色或只看同一级不能得出结论。

不能把 $41^\circ20'-358^\circ40'$ 当成负角，也不能混用两个游标的起止读数。

角度标准不确定度先换成弧度：$u(\theta)=0.03\pi/180=5.24\times10^{-4}\ \mathrm{rad}$。由传播式得

按不确定度保留一位有效数字并使测量值对齐小数位，结果写为 $(589.2\pm0.9)\ \mathrm{nm}$。若把 $0.03$ 直接送入三角函数微分项，会把“度”错当成弧度。