负值出现以后，积分怎样计算

上一章累计的量都非负，越加越多，没有相互抵消的问题。现在想象一段时间里的净流量：流入记正，流出记负。净变化当然可以相减，但在无限过程里，我会请你先算清两边各自的总量。否则，一个看似整齐的抵消式，可能只是把两个无穷大藏在了一起。

固定测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$。对实值可测函数 $f$，定义

$$f^+(x)=\max\{f(x),0\},\qquad f^-(x)=\max\{-f(x),0\}.$$

这两个函数都非负、可测，并且

$$f=f^+-f^-,\qquad |f|=f^++f^-.$$

注意负部 $f^-$ 本身不是负数。若某处 $f=-3$，该处 $f^-=3$，正部为零。负号留在重组公式 $f=f^+-f^-$ 里面。把负部也画在线下，会把这一步弄反。

图中的拆分要按定义读：原函数在线下的部分，取绝对值以后成为负部的非负高度。正部与负部在同一个点不会同时严格为正。

可积要求两边的总量都有限

我们称 $f$ Lebesgue 可积，若

$$\int_X|f|\,d\mu<\infty.$$

非负积分的可加性给出

$$\int|f|\,d\mu=\int f^+\,d\mu+\int f^-\,d\mu,$$

所以可积恰好等价于正、负两部分的积分都有限。这时定义

$$\int f\,d\mu=\int f^+\,d\mu-\int f^-\,d\mu.$$

例如 $f=3\mathbf1_{[0,1]}-2\mathbf1_{(1,3]}$。正部总量为 $3$，负部总量为 ，于是 ，而 。净变化不大，总变化量却可能很大；这两个数回答的是不同问题。

还有一种情形需要分清：若正部积分为 $\infty$、负部积分有限，我们可以把扩展积分记为 $+\infty$；反过来记为 $-\infty$。它们都不叫可积。只有当两部分积分同时为 $\infty$ 时，$\infty-\infty$ 才让这个定义失去意义。

实验：抵消掉的量去了哪里

下面把区间 $[0,1]$ 分成四段，每段宽 $1/4$。选择“抵消”预设，函数依次取 $2,-2,2,-2$。你应当得到净积分为零，但绝对值积分为 $2$。把第二段改成 $-1$ 之前，先估计这两个积分会分别增加还是减少。

改变后，净积分增加 $1/4$，绝对值积分减少 $1/4$。比较下方两张非负图：正部没有动，负部的总量少了 $1/4$。这比只记一条公式更容易看清两个答案为什么往相反方向走。

线性运算为什么安全

设 $f,g$ 可积。逐点有 $|f+g|\le|f|+|g|$，由非负积分的单调性和可加性，

$$\int|f+g|\,d\mu\le\int|f|\,d\mu+\int|g|\,d\mu<\infty.$$

因此 $f+g$ 也可积。要证明 $\int(f+g)=\int f+\int g$，不能直接把它当成定义。令 $h=f+g$，把 移项，得到一个只含非负函数的恒等式：

$$h^++f^-+g^-=h^-+f^++g^+.$$

对两边使用已知的非负可加性。所有积分都有限，所以现在可以合法移项，得到所需结论。对实数 $c$，$c\ge0$ 时分别缩放两部分，$c<0$ 时正负两部分交换，便有 $\int cf=c\int f$。于是对任意实数 $$，

$$\int(af+bg)\,d\mu=a\int f\,d\mu+b\int g\,d\mu.$$

若 $f\le g$，则 $g-f\ge0$，线性性给出 $\int f\le\int g$。再由 $-\mid f\mid \le f$，得到常用估计

$$\left|\int f\,d\mu\right|\le\int|f|\,d\mu.$$

图中有限区域的抵消可以直接相减。推广到无限区域或无限多项时，可积性保证这套运算不会遇上两个无穷量相减。

积分忽略零测集上的改动

假设 $f,g$ 都可测，且 $f=g$ 几乎处处。如果 $f$ 可积，那么 $g$ 也可积，且积分相同。

设 $N=\{f\ne g\}$ 是零测集。在 $X\setminus N$ 上两者一样；在 $N$ 上，非负可测函数的积分为零。因此 $|f-g|$ 的积分为零。利用

$$|g|\le|f|+|g-f|,$$

可知 $g$ 可积。线性性与上面的估计接着给出

$$\left|\int f-\int g\right| \le\int|f-g|\,d\mu=0.$$

这里没有省掉可测性：在完备测度空间上，任意零测集改动仍保持可测；一般空间中则要另行保证 $g$ 可测。若允许扩展实值函数，可积性会保证它几乎处处有限。把其无穷值所在的零测集改成零，就能选取实值代表来做上述运算。

以 Lebesgue 测度为例，单点或可数点集的取值变化不会改变积分。换成计数测度时，每个点的测度都是 $1$，这个结论就不能照搬。说“忽略某些点”之前，要知道用的是哪一种测度。

熟悉的 Riemann 积分还在

在有限区间 $[a,b]$ 上，连续函数 $f$ 有界且可测，因此 $\int|f|\le M(b-a)<\infty$。下面确认它的 Lebesgue 积分与原来的 Riemann 积分相等。

给一个分割 $P$，在每个小区间上用 $f$ 的下确界、上确界作高度，得到下阶梯 $l_P$ 与上阶梯 $u_P$。分割端点可以单独赋值，不影响积分。由于 $l_P\le f\le {}_{}$，

$$L(f,P)=\int l_P\,dx\le\int f\,dx\le\int u_P\,dx=U(f,P).$$

连续函数在闭区间上一致连续。网格够细时，每段的振幅都很小，上、下和之差就趋于零。Riemann 积分与 Lebesgue 积分都被夹在这一对数之间，所以必然相等。以后计算连续函数的 Lebesgue 积分时，可以继续使用微积分中的方法。

这个一致性结论还适用于有限闭区间上的有界 Riemann 可积函数，允许有跳跃。关键仍是可以找到上下和之差任意小的分割。若你担心这种函数是否可测，可以取一列嵌套分割，使差小于 $2^{-n}$：对应下阶梯递增、上阶梯递减，二者的极限差只可能在零测集上非零；函数被夹在中间，因 Lebesgue 测度完备而可测。夹逼积分的论证便可以继续使用。

把“极限差只在零测集上非零”再展开一点。若 $d_n=u_n-l_n$，则 $d_n$ 递减、。对固定 ，集合 包含于每个 ，而后者测度不超过 。所以前者测度为零。令 依次取 ，便得到结论。

两条包络是在逼近同一个积分，不代表两套积分理论给出不同答案。差距来自当前分割还不够细。

实验：切底面和切高度

在 $[0,1]$ 上取 $f(x)=x^2$。按底面切时，每条竖带都有相同宽度；按高度切时，每层的高度相同，底面集合却随着阈值改变。先选择一种方向，增加分段数，看上、下估计如何夹住 $1/3$；再换方向，指出图中哪一个长度发生了变化。

这个连续例子让两种组织方式容易比较，但 Lebesgue 积分的优势不只是换个切片方向。真正扩大的，是可以处理任意可测底面，尤其是无法由有限个区间描述的集合。

例如 $D=\mathbf1_{\mathbb Q\cap[0,1]}$。有理数集可数，所以 $D=0$ 几乎处处，Lebesgue 积分为零。另一方面，每个非退化小区间都同时包含有理数和无理数，故它的任意 Riemann 下和为零、上和为一，Riemann 积分不存在。困难不在“有一个跳跃”，而在每个小区间里都保留了完整振幅。

条件收敛不能代替绝对可积

取自然数集合上的计数测度，函数 $f(n)$ 就是一列数，非负积分就是非负级数。对有符号函数，Lebesgue 可积恰好要求 $\sum_n|f(n)|<\infty$。

看看 $f(n)=(-1)^{n+1}/n$。按原顺序累加，它的部分和收敛。但正项的总和 $\sum_k1/(2k-1)$ 与负项大小的总和 都为无穷大。因此它在计数测度下没有有符号 Lebesgue 积分。按特定顺序得到的条件收敛值，不能用来填补 。

连续情形也一样：$1/x$ 在 $(-1,1)$ 两边的正负积分均无穷。对称删去 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ 后得到的值为零，这叫对称主值计算；它没有使原函数变得 Lebesgue 可积。改变积分的定义必须说清楚，不能把不同的极限过程混在一个符号里。

练习

题 1。 已知 $\int f^+=7$、$\int f^-=3$，求 $\int f$、。若只知道 ，能否反推出绝对值积分为 ？

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两部分有限，所以 $\int f=7-3=4$，$\int|f|=7+3=10$。只知道净积分不够。例如在 $$ 上常函数 的净积分与绝对值积分都是 ；在 上取 ，净积分仍为 ，绝对值积分却为 。

题 2。 在 $[0,1]$ 上令 $g(x)=x$，但把每个有理数处的值改为 $10$。说明它 Lebesgue 可积并求积分。它是否 Riemann 可积？

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改动发生在可数零测集上，Lebesgue 测度完备，所以新函数可测，与 $x$ 几乎处处相等，积分为 $1/2$。它不 Riemann 可积：任意小区间内都有有理数，故上确界为 $10$，任意上和为 $10$；下确界由无理数处的 $x$ 给出，下和至多为 $1$，上下和不可能靠近。

3

若正部积分为∞、负部积分为3，应怎样描述这个函数？

A.Lebesgue可积，积分为∞B.不属于可积函数，但扩展积分可定义为+∞C.两部分都是∞，所以无法定义D.只要负部有限，绝对值积分就有限

题 4。 设 $f,g$ 可积，证明 $\left|\int f-\int g\right|\le\int|f-g|$。这个不等式怎样帮助估计近似积分的误差？

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由 $|f-g|\le|f|+|g|$，差函数可积。线性性把左侧写成 $|\int(f-g)|$，再用 $\mathrm{\mid }$ 即可。如果 是易于计算的近似，右侧控制整体绝对误差，便能保证两个积分相近；仅在几个采样点上接近，还不能给出这样的保证。