用一道阈值，把函数变成集合问题

看函数 $f(x)=1-|x|$，定义域是 $[-1,1]$。如果只想找出函数值超过 $1/2$ 的位置，并不需要把整条曲线的细节都记住：解出 $1-|x|>1/2$，就得到 $-1/2<x<1/2$。值域里的一道阈值，在定义域里筛出一个区间。

测度论正是沿着这个方向研究函数。要累计函数的值，我们得能测量“哪些位置取了某一段高度”。这些位置组成的集合可测，后面的分层与积分才有着落。

曲线上高于橙色阈值的部分，与下方数轴上的原像对应。下方开区间不是曲线围出的面积；它记录的是满足条件的 $x$。

可测函数的定义

在可测空间 $(X,\Sigma)$ 上，函数 $f:X\to[-\infty,\infty]$ 称为可测函数，如果对每个实数 $a$ 都有

$$\{f>a\}:=\{x\in X:f(x)>a\}\in\Sigma.$$

符号 $\{f>a\}$ 是一个集合的简写。这里既允许函数值无限，也允许集合测度无限；“可测”本身还没有谈积分是否有限。

只检查这种严格超水平集就足够，因为别的阈值可以由它们组成。例如

$$\{f\ge a\}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\{f>a-1/n\},\qquad \{f<a\}=X\setminus\{f\ge a\},\qquad \{f\le a\}=X\setminus\{f>a\}.$$

这些等式可以逐点检验：若 $f(x)<a$，总能选到足够大的 $n$，让 $a-1/n$ 仍高于 $f(x)$，这个点便会被交集排除。反过来，若 $f(x)\ge a$，它满足交集中的每一个条件。

从一般定义看，可测函数要求值域中每个 Borel 集的原像都可测。阈值条件与此等价：原像保持补集和可数并，而半直线生成 Borel σ-代数。在实数轴的 Borel 或 Lebesgue 可测结构下，连续实函数因此可测；可测函数却不必连续。

改一个不等号，可能多出整片区域

对开头的三角函数，$\{f>1/2\}=(-1/2,1/2)$，$\{f\ge1/2\}=[-1/2,1/2]$，相差两个点，Lebesgue 测度相同。但若函数在一整段区间上恰好等于 ，把 改成 就会把这整段都加进来。

下面先比较三角函数在阈值 $1$ 处的两种原像：一个是空集，一个是单点。然后选择平台例子，比较阈值 $1/2$ 处的 $>$ 与 $\ge$，留意集合和测度同时发生了什么变化。

两种原像相差的是水平集 $\{f=a\}$。这个集合可能为空、只有一个点，也可能有正测度。没有检查它之前，不能笼统说“等号加不加都一样”。

二维情形仍然是同样的原像思想：一条等值线对应 $\{f=a\}$，超过该高度的区域对应 $\{f>a\}$。图中的线与区域不能混作同一个集合，具体哪一侧满足不等式，要看函数的取值。

和、积与最大值为什么仍然可测

这一节先假设 $f,g$ 都取有限实数值。否则 $+\infty+(-\infty)$ 等表达式可能连值都没有定义，不能直接宣称运算后得到了可测函数。

最大值的原像很好拆：在某个点，最大值超过 $a$，当且仅当至少一个函数超过 $a$。所以

$$\{\max(f,g)>a\}=\{f>a\}\cup\{g>a\}.$$

同理，$\{\min(f,g)>a\}=\{f>a\}\cap\{g>a\}$。有限并与交仍可测，因此最大值、最小值可测。

图中取 $f(x)=x$、$g(x)=2-x$，定义域为 $[0,2]$，阈值为 $1.5$。一边选出右端，一边选出左端；最大值的原像保留这两段，中间不满足条件的部分不会因“取并”被填上。

对和函数，两个函数怎样分担阈值并不固定。我们在它们之间插入一个有理数，得到

$$\{f+g>a\}=\bigcup_{q\in\mathbb Q} \bigl(\{f>q\}\cap\{g>a-q\}\bigr).$$

如果右边某项包含 $x$，两个严格不等式相加就有 $f(x)+g(x)>a$。反过来，若和超过 $a$，区间 $(a-g(x),f(x))$ 非空，里面可以选到有理数 。这个 让 落入右边相应的一项。由于有理数可数，右边是可测集的可数并，证明完成。

数乘也保持可测：正数倍只改变阈值，负数倍还会翻转不等号；零倍是常函数。平方的可测性可用 $\{f^2<a\}=\{-\sqrt a<f<\sqrt a\}$（）验证， 时原像为空。于是

$$fg=\frac{(f+g)^2-f^2-g^2}{2}$$

也可测。绝对值可写成 $\max(f,-f)$。这些证明都把函数运算落实为集合运算；对扩展实值函数使用相应结论时，还要另行确认运算处处有定义。

函数列的极限仍然可测

设每个 $f_n$ 可测。逐点上确界满足

$$\left\{\sup_n f_n>a\right\}=\bigcup_n\{f_n>a\},$$

因而可测。逐点下确界可以用另一种阈值检验：$\{\inf_n f_n<a\}=\bigcup_n\{f_n<a\}$，所以也可测。这里特意选了严格不等号；下确界等于某值，并不意味着某一项取得那个值。

现在把上下极限展开：

$$\liminf_{n\to\infty}f_n=\sup_N\inf_{n\ge N}f_n,\qquad \limsup_{n\to\infty}f_n=\inf_N\sup_{n\ge N}f_n.$$

内外都是可数次上、下确界，因此它们可测。若 $f_n(x)\to f(x)$ 对每个 $x$ 成立，$f$ 就等于这两个函数，于是逐点极限也可测。连续函数列的逐点极限未必连续，可测性在这里却保留下来了。

有限条曲线只能帮助观察。证明逐点收敛，仍然要固定任意一个 $x$ 后检查数列；证明极限可测，则依靠上面的可数运算。

简单函数：高度只有有限种，底面可以很复杂

指示函数 $\mathbf1_A$ 在 $A$ 上取 $1$，在外面取 $0$。它可测当且仅当 $A$ 可测，因为 $\{\mathbf1_A>1/2\}=A$。

可测简单函数只取有限多个实数值。把不同取值记作 $a_1,\ldots,a_m$，各个取值对应的集合记作 $A_j=\{x:\varphi(x)=a_j\}$，便有

$$\varphi=\sum_{j=1}^{m}a_j\mathbf1_{A_j}.$$

这些 $A_j$ 两两不交且可测，合起来是 $X$。反过来，用有限个可测集构造这种和，得到的函数也可测。集合不一定是相邻区间，甚至可以是分散的可数集：“简单”限制的是取值种类，不是底面的形状。

例如 $\mathbf1_A-2\mathbf1_B$ 即使 $A,B$ 重叠也没有问题。在 $A\setminus B$、、 与 上，它依次取 。把重叠区域单独拆出来，就得到标准的不交表示。

同时收细台阶、抬高截断

给定非负可测函数 $f:X\to[0,\infty]$，我们要构造一列有限值简单函数，始终在 $f$ 下方并单调逼近它。只把高度分层还不够：如果 $f$ 无界，会有无限多个层。还需要一个截断高度。

取 $\delta_n=2^{-n}$，截断高度为 $n$，定义

$$\varphi_n(x)=2^{-n}\left\lfloor 2^n\min\{f(x),n\}\right\rfloor.$$

这里 $\lfloor\cdot\rfloor$ 表示向下取整，且 $\min\{\infty,n\}=n$。$\varphi_n$ 只可能取 $0,2^{-n},\ldots,n$，每层由 的阈值原像确定，所以它确实是可测简单函数。

图中用 $f(x)=x$ 和层宽 $1/4$ 展示一次分层。每层左端取当前高度，右端跳到下一层；台阶始终不越过原函数。在 $x=1$ 处取值恰为 $1$，单独的端点也要按定义处理。

来检查构造的三个要点。向下取整保证 $0\le\varphi_n\le f$。当网格从 $2^{-n}$ 细化为 $2^{-(n+1)}$，旧台阶的高度仍是新网格上的合法高度；截断又由 升为 ，所以新近似不会低于旧近似，。

若固定点上 $f(x)<\infty$，足够大的 $n$ 已超过 $f(x)$，截断不再起作用，此时

$$0\le f(x)-\varphi_n(x)<2^{-n}\longrightarrow0.$$

若 $f(x)=\infty$，则 $\varphi_n(x)=n\to\infty$。因此所有点上都有 $\varphi_n\uparrow f$。如果 还有统一上界 ，选 后，上面的误差估计对所有点同时有效，甚至得到一致收敛。

实验：精度提高了，为什么还有误差

实验中的函数是 $f(x)=x^2$，定义域为 $[0,2]$。把截断高度固定在 $2$，只把台阶层宽收细。看看靠近 $x=2$ 的那一段：台阶再细，最高也只能到 $$，而原函数在那里接近 。

固定截断高度时，逼近的对象是 $\min(f,2)$。回到联动模式，让高度随 $n$ 增加、层宽同时减小，才对应正文中的 $\varphi_n\uparrow f$。页面显示的面积可以先用熟悉的分段计算核对；下一章会用这些有限和定义更一般的积分。

几乎处处，把例外集合说清楚

在测度空间 $(X,\Sigma,\mu)$ 上，若某性质在一个可测零测集 $N$ 之外处处成立，就说它几乎处处成立，简写 a.e.。这里的例外由测度判断，而不是按直觉数“多数点”。

在 $[0,1]$ 上，令 $f(x)=x$，只把 $x=1/2$ 处改成 $0.9$ 得到 $g$。两函数不处处相等，但差别所在的单点集 Lebesgue 测度为零，因此 a.e.。后面证明积分不受这种改动影响时，会明确要求函数可测。

在完备测度空间上，可测函数在零测集上的任意改动仍可测。设 $g=f$ 于 $N^c$，则

$$\{g>a\}=(\{f>a\}\cap N^c)\cup(\{g>a\}\cap N).$$

第一块由 $f$ 可测而可测，第二块是零测集的子集，由完备性可测。Lebesgue 测度满足这个条件；在一般未完备空间中，不能省略它。如果空间不完备，也可以在使用相关定理时另外要求 $g$ 可测。

逐点收敛要求每个点都收敛；几乎处处收敛允许有一个固定的零测例外集。另一个术语是依测度收敛：对每个 $\varepsilon>0$，$\mu(\{|f_n-f|>\varepsilon\})\to0$。它关心偏差超标区域的测度，不要求每个点的数列逐项趋近；使用定理时要认清具体要求哪一种收敛。

练习

题 1。 设 $A,B$ 可测。把 $\mathbf1_A-2\mathbf1_B$ 写成不交集合上的简单函数，并求它严格大于 $-1/2$ 的原像。

查看解答

在 $A\setminus B,A\cap B,B\setminus A,(A\cup B)^c$ 上分别取 $1,-1,-2,0$。超过 的是第一块与第四块，合起来正好是 。即使 与 重叠，这个结论仍成立。

题 2。 对 $f(x)=x^2$，用截断高度 $1$、层宽 $1/4$ 构造简单函数。求 $x=0.6$ 与 $x=1.5$ 时的近似值，区分两点误差的来源。

查看解答

在 $0.6$ 处，$f=0.36$，向下取到 $0.25$，误差 $0.11$ 来自分层。在 $1.5$ 处，$f=2.25$ 先被截为 $$，且 已在网格上，所以近似值为 ，误差 全部来自截断。只收细网格不能消掉后一个误差。

3

可测函数列处处收敛到 f 时，哪一项一定成立？

A.f 连续B.f 有界C.f 的积分有限D.f 可测

题 4。 构造一列 Lebesgue 可测函数，使它在 $[0,1]$ 上几乎处处收敛，但并非处处收敛。写清不收敛的位置。

查看解答

奇数项取 $f_n=\mathbf1_{\{0\}}$，偶数项取 $f_n=0$。在 处，值在 与 之间交替，不收敛；其他点始终取零。所以它几乎处处收敛到零，例外集 的 Lebesgue 测度为零。“并非处处收敛”表示至少有一个点失败，不是说每个点都不收敛。