把一张方格纸送进复函数，直线可能弯成曲线，远处的两点也可能重合。可是在一个导数不为零的点附近，把格子缩得足够小，两条交线仍保持原来的夹角。我们已经用计算见过这种现象，这一章要把“局部像旋转和缩放”说准确，也把局部性质与整片区域的一一对应分开。

为什么像集不会被压成一条线

设 $f$ 在连通开集 $D$ 上全纯且不是常数。开映射定理说，$D$ 中任意开子集的像仍是开集。换句话说，若 $w_0=f(z_0)$，那么在 $w_0$ 周围总能放下一个小圆盘，圆盘里的每个值都由 $z_0$ 附近的某点取到。

非零导数时，线性近似已经给出很好的直觉；导数为零时却不能只靠线性项。用第8章的 Rouché 定理，两种情形可以一起处理。

由于 $f$ 不恒定，$f(z)-w_0$ 的零点孤立。选一个足够小的闭圆盘 $|z-z_0|\le r$ 留在 内，让其中只有 这个零点。圆周上函数模有一个正的最小值：

现在任取 $|w-w_0|<\delta$。在圆周上，常数扰动 $w_0-w$ 比 $$ 小，Rouché 定理说明

与 $f(z)-w_0$ 在圆内有相同的零点总阶数。后者至少有一个零点，所以前者也有，也就是 $f(z)=w$ 在圆内有解。这便把整个小圆盘 $|w-w_0|<\delta$ 放进了像集。

证明中取最小值的位置是圆周。若在整个闭圆盘上取，中心的函数值为零，最小值也会是零，论证就失效了。这样的条件位置，往往比定理名称更值得记住。

最大模原理的几何解释

第5章已由平均值公式证明最大模原理。现在可以从开映射得到另一条短证明：若非恒定 $f$ 在内部点 $z_0$ 达到局部最大模，那么 $w_0=f(z_0)$ 附近的小圆盘也应包含在局部像中。这个圆盘必有模比 更大的点，与“最大”矛盾。 时同样如此，任何非零邻近值都更大。

图取旋转后 $w_0>0$ 的情形。只要局部像包含 $w_0$ 周围的小圆盘，就总有模更大的像点。

若 $D$ 有界，$f$ 在 $D$ 全纯且连续到 $\overline D$，连续性保证最大模在紧集 $\overline D$ 上取得。非恒定时它只能出现在边界。这不表示边界每个点的模都相同，只说明内部无法超过边界上界。

例如边界上 $|f|\le3$，就推出整个内部 $|f|\le3$。若还知道某个内部点 $a$ 满足 $f(a)=3i$，那便是内部达到最大模，$$ 只能恒等于 。只给 时，可以判断它是模为 的常数，但不能擅自把常数定为实数 。

Schwarz 引理：固定原点以后，还能放大吗

设 $f$ 在单位圆盘 $\mathbb D$ 全纯，$f(0)=0$，且在盘内 $|f(z)|\le1$。Schwarz 引理断言

不要直接在单位圆周上用最大模原理，因为这里未假设 $f$ 连续到那条边界。我们应在盘内选半径 $r<1$ 的圆。

令 $g(z)=f(z)/z$，并在零点填上 $g(0)=f'(0)$。由 Taylor 展开可知这是全纯延拓。对任意固定 $z$，选 ；在圆周 上有 。最大模原理给

令 $r\uparrow1$，得到 $|g(z)|\le1$，两条结论随即成立。

图只比较模的大小，不能推断 $f(z)$ 与 $z$ 总在同一方向。刚性结论要求非零点的模等号，或原点导数的模为一。

等号情形也来自同一函数 $g$。若某个非零点 $z_0$ 满足 $|f(z_0)|=|z_0|$，或者 ，则 在盘内达到最大值 ，所以 恒为模一常数：

这是旋转。原点处 $|f(0)|=|0|=0$ 对所有满足条件的函数都成立，当然不能仅凭这个等号就断言旋转。例如 $f(z)=z^2$ 满足 Schwarz 引理，在每个 $0<|z|<1$ 的点都严格收缩。

换尺度的例题： 若 $f$ 在 $|z|<2$ 全纯，$f(0)=0$ 且 $|f|\le6$，能给导数什么限制？把问题归一化为 $F$。它符合单位圆盘的条件，所以

若导数模达到 $3$，则 $f(z)=3e^{i\theta}z$。归一化时，定义域的半径和函数值的上界都要变换，不能只除掉其中一个。

导数怎样作用在两条曲线的切线上

让两条正则曲线 $\gamma_1,\gamma_2$ 在 $z_0$ 相交，它们在交点的切向量 $v_1,v_2$ 都非零。链式法则给出像曲线的切向量：

若 $f'(z_0)=\rho e^{i\theta}\ne0$，每条切向量都乘同一个非零复数：长度乘 ，方向转 。因此两条切线之间的有向角保持不变。这就是本课所说的局部保角，同时要求保方向。

非零复导数对所有切向量作相同的旋转与缩放。图只示意方向；长度比例由 $|2+2i|=2\sqrt2$ 给出。

例如 $f(z)=z^2$ 在 $z_0=1+i$ 的导数是 $2+2i$，局部长度放大 倍，旋转 。有限大小的方格并不会严格变成旋转后的方格，因为还有二次余项；只有格子不断缩小，线性近似才越来越准确。

导数为零时，若首个非零项为 $a_m(z-z_0)^m$、$m\ge2$，邻近射线的辐角差会乘以 。例如 在原点把辐角 与 的两条射线送成辐角 与 ，夹角从 变为 。此处像曲线的普通一阶切向量也可能为零，不能继续使用刚才除以非零导数的推理。

共轭映射 $z\mapsto\overline z$ 则保留无向夹角，却反转方向，不是这里所说的全纯保角映射。保角、保长度、保方向是不同的要求。

在网格实验中选 $z^2$，把观察点设为 $1+i$，逐步缩小网格，比较真实像与导数给出的线性近似。再把观察点移到原点，查看误差与方向；不要把“还能画出图”当成非零导数条件已满足。

Möbius 变换：从局部走到全局

Möbius 变换形如

在分母不为零处，

所以它局部保角。更强的是，可以直接解出逆变换：

这说明它在扩充复平面上是一一对应的。若 $c\ne0$，点 $-d/c$ 对应无穷远，且 $T(\infty)=a/c$；若 $c=0$，它是非退化的平移、旋转和缩放组合，并把无穷远留在无穷远。行列式条件排除了把所有点压成一个常数的退化情形。

它还把广义圆映成广义圆；这里广义圆同时包括圆和直线，并不表示圆永远还是圆。若 $c\ne0$，可分解为

平移与非零复数乘法对圆、直线的作用很清楚，关键只剩 $z\mapsto1/z$。把圆或直线写成

代入 $z=1/w$ 后乘 $|w|^2$，得到

仍是同类方程。必要的无穷远点由扩充平面补齐，所以结论对整个广义圆成立。

例题： 直线 $\operatorname{Re}z=1$ 在 $w=1/z$ 下变成什么？写 $w=u+iv$，则 $z=(u-iv)\mathrm{/}(u^{}$。条件变成 ，整理为

有限直线的像不含 $w=0$；加入直线上的无穷远点后，才得到完整的圆。这是图中“少一个点”的数学原因，不是绘图故障。

右图黑点 $1/2$ 表示圆心，并不在像圆上。有限直线的像缺少圆周上的 $0$，加入无穷远点才补齐。

上半平面怎样完整地变成圆盘

取

若 $z=x+iy$ 且 $y>0$，比较到 $i$ 和 $-i$ 的距离：

所以 $|T(z)|<1$。这一步证明的是“上半平面的像包含在圆盘里”，尚未证明覆盖了整个圆盘。

为补上满射，解出逆式 $z=i(1+w)/(1-w)$。对任意 $|w|<1$，分母非零，并且

每个盘内点都有上半平面的原像，逆式又保证唯一。因此它确实给出上半平面到单位圆盘的双射共形映射；不能只凭一张边界图或“由连续性可知”省去这一步。

正向公式证明像落在圆盘，逆式及其虚部为正证明每个盘内点都有唯一原像。

几个点能帮我们检查图形的方位：

实轴上的有限点满足 $|T(z)|=1$，但不会取到 $1$；把无穷远加入实轴，才覆盖完整单位圆。极点 $z=-i$ 不在上半平面内，却在扩充映射中对应无穷远。

在实验中从实轴向上移动一个点，看它的像怎样进入圆盘。也可以在圆盘里选像点，用逆变换找原像；这能直接观察“每个内部点都能到达”。把边界点 $w=1$ 与分母零点 $z=-i$ 分别选中，注意两处无穷远的含义不同。

局部正确，不代表整片区域一一对应

$z^2$ 在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 每一点的导数都非零，却仍把 $z$ 与 $-z$ 送到同一个值。因此处处局部保角不自动给出全局单射。反过来，导数为零也不妨碍开映射性质：$z^2$ 仍把原点附近圆盘映成圆盘，只是局部计数出现了重数。

$z^2$ 在 $1$ 与 $-1$ 处的导数都非零，却把两点送到同一个像。因此局部保角不保证全局单射。

Riemann 映射定理把“是否存在全局映射”推进了一大步：任意非空、单连通、真包含于 $\mathbb C$ 的区域，都与单位圆盘存在双射共形映射。本课把它作为一个存在性结论介绍，不展开其更长的证明；当前应当能验证的，是像上面的 Möbius 例子那样，写出函数、检查全纯与非零导数、给出逆式并核对两个方向的定义域。

排除整个复平面不是无关紧要的措辞。如果有从 $\mathbb C$ 到单位圆盘的双射全纯映射，它就是有界整函数，Liouville 定理迫使它为常数，与双射矛盾。单连通性也不能随意删去，例如带孔环域不是这条定理承诺覆盖的情形。

练习

练习 1｜实值全纯函数。 设 $f$ 在区域 $D$ 上全纯，且所有函数值都是实数。用开映射定理证明 $f$ 为常数。

练习 2｜最大模与相位。 $f$ 在单位圆盘全纯、连续到闭圆盘，边界上 $|f|\le4$，且 $f(0)=-4i$。确定 $f$。

练习 3｜缩放后的刚性。 $f$ 在 $|z|<3$ 全纯，$f(0)=0$ 且 $|f|\le2$。求 $\mathrm{\mid }$ 的上界。若 ，还能推出什么？

练习 4｜右半平面到圆盘。 证明 $S(z)=(z-1)/(z+1)$ 把 $\operatorname{Re}z>0$ 双射地映到单位圆盘。只证明像点在圆盘内不算完成。

练习 5｜检查局部与全局。 $f(z)=z^3$ 在 $z=1$ 的局部缩放与旋转是什么？它在 $\mathbb C\setminus\{0\}$ 上是否一一对应？

逆式保证盘内每个点有唯一原像。$S'(z)=2/(z+1)^2\ne0$，分母零点又不在右半平面，所以它是所需的双射共形映射。