沿着单位圆绕一周， 的积分是 ；把它换成 ，积分却是零。路径一样，差别藏在原点。复分析里，很多计算就是这样：式子看起来很简单，能不能用某条公式，却取决于函数在哪里有定义、曲线围住了什么，以及你怎样绕过去。
这门课会把这些条件与计算一起讲清楚。我们从复数乘法的旋转和缩放走到复导数，再用 Cauchy 定理和积分公式说明：全纯函数为什么会有如此强的约束。到了级数和留数部分，你会看到一个局部系数怎样决定整条闭路的积分，也会亲手把实积分变成复平面里的问题。
我希望你学完之后，拿到一道题不只是知道“这里可以用留数”，还能画出轮廓，指出哪些奇点在里面，写出圆弧消失的估计，并检查答案的符号。条件不成立时，也能说清楚该停在哪一步。
你需要熟悉一元微积分、实数级数，以及多元微积分中的偏导数、链式法则和曲线积分。复数的代数运算和极形式会在开头重新整理；如果极限、一致收敛或连续性的定义还有些生疏，可以在遇到它们时回看数学分析中的对应内容。
点集拓扑不必全部学完才来读。我们会用圆盘、邻域和路径介绍这里需要的开集、连通性与单连通性。较难的地方通常不是术语本身，而是判断一道题是否真的满足它：函数只在某一点可导，与它在整个邻域全纯，能推出的结论很不一样。
开头的复数与极限，为复导数准备语言。Cauchy–Riemann 方程出现后，我们会认真检查它的适用条件，而不把两条偏导等式当成万能判据。沿不同方向取差商的实验，能帮助你看见一些实变量习惯为什么在这里需要调整。
曲线积分是后面内容的支点。路径方向、原函数、绕数和区域里的孔，会在具体计算中逐渐连起来。Cauchy 公式随后把边界上的函数值与内部的导数联系起来，Taylor 展开、系数估计和最大模原理也由此接上。
学习 Laurent 级数时，要特别留意展开在哪个环域有效。同一个函数，越过一圈极点之后，展开形式会改变。留数章会教你从这些展开中选出需要的系数，再把它用于积分和零点计数。实积分一章则把轮廓、分支与两端收敛都写进解答，钥匙孔不只画一张图就结束。
收尾的共形映射把我们带回几何：小网格怎样变形，非零导数为何保角，上半平面怎样映到单位圆盘。这里也会区分“局部看起来正确”与“整个区域一一对应”；后者需要给出逆变换或其他完整论证。
在 Taylor 实验里，把观察点慢慢推向收敛圆周。你可以先猜，增加同样多的项，误差会不会总是下降得一样快。换一个展开中心之后，原来的收敛圆盘还在吗？这些变化值得自己试一次，再回到正文找控制误差的那一项。
有些实验故意允许你把点拖到不合法的位置：路径穿过极点、展开中心撞上奇点，或把三角积分的分母调到零。这时页面的拒绝提示也是学习的一部分。它是在提醒你检查条件，而不是催你换一个能算出数字的参数。
图像和有限采样能帮助发现规律，证明仍要写在纸上。Cauchy 定理的论证、Taylor 余项估计、Laurent 展开的两个几何比，以及留数积分中的方向，建议遮住结论自己复现。推到一半卡住时，看看当前这一步需要的是全纯、连通，还是一致收敛，往往比继续背公式更有用。
本课对 Riemann 映射定理只介绍条件和存在性结论，不证明它；实际构造与验证集中在可明确写出逆式的 Möbius 变换。完成这里的训练后，你可以继续学更深入的复分析，也可以把留数计算、局部展开和共形映射带到微分方程与数学物理中使用。