只知道一个圆周上的函数值，能不能算出圆心处的值？对一般连续函数，边界信息不够；全纯函数却受到很强的约束。Cauchy 积分公式把这份约束写成可计算的等式，甚至能从同一圈数据求出内部的各阶导数。

从基本积分到内部值

设 $C$ 是分段光滑的逆时针简单闭曲线，$f$ 在包含 $C$ 及其内部的开集上全纯，$z_0$ 在内部。Cauchy 积分公式是

如果直接把差商在中心“补上一个值”后就调用 Cauchy 定理，会跳过一步：连续还不等于全纯。我们用上一章的环域变形与 $ML$ 估计避开这个缺口。

取内部小圆 $C_\rho:|z-z_0|=\rho$，方向也为逆时针。两条边界之间，$f(z)/(z-z_0)$ 全纯，因此外圈积分等于小圆积分。把小圆上的分子拆成 ：

第一项来自 $z=z_0+\rho e^{it}$ 的直接积分。第二项满足

分母给出 $1/\rho$，小圆长给出 $2\pi\rho$，两者抵消；剩下的趋零来自 $f$ 在 $z_0$ 连续。这就得到了公式，整个论证没有预先使用可去奇点定理。

图中两条圆周都逆时针，因此外圈积分等于小圆积分；带孔区域边界中的小圆原本取反方向。

例题： 若 $C:|z|=2$，计算

指数函数处处解析，点 $1$ 在圆内，直接取 $f(z)=e^z,z_0=1$，结果是 $2\pi i e$。如果半径改为 ，点 1 在外部，积分变为 0；不能只看到分母就套公式。

点 $1$ 在左圈内、右圈外。同一个积分核，因全纯范围不同，所得积分也不同。

高阶导数公式

固定边界后，内部点 $a$ 到边界的距离 $d$ 是正的。将 $a+h$ 与 $a$ 的两份公式相减，再除以 $h$，会出现

当 $|h|<d/2$，两个分母在整条边界上都有统一正下界，所以右边一致趋于 $1/(z-a)^2$。$ML$ 估计保证极限可以移入积分。这样得到一阶导数公式；重复对内部变量求导，核的导数依次带出 $1,2,\ldots,n$，给出阶乘。于是

分母为 $(z-a)^{n+1}$ 时提取第 $n$ 阶导数，还要保留公式中的 $n!$。

例题： 沿正向圆 $|z-1|=1$ 计算 $\oint e^{3z}/(z-1)^3\,dz$。分母三次对应二阶导数，取 、，所以

同一条边界可以求不同阶导数，改变的是积分核，圆的半径不由导数阶数决定。

方法选择依赖分母幂次；若分母因子在内部有多个零点，应先拆分区域或等到留数定理。

Cauchy 估计与 Liouville

若 $|f(z)|\le M$ 在圆 $|z-z_0|=R$ 上成立，由高阶公式和弧长 $2\pi R$ 得

若 $f$ 是整个复平面上的全纯函数且有界，$|f|\le M$，让 $R\to\infty$，对 $n=1$ 有 $\mathrm{\mid }{f}^{\mathrm{\prime }}(z_0)\mathrm{\mid }\le M\mathrm{/}R$。任意点导数为零，故 为常数，这就是 Liouville 定理。

这里 $f$ 必须是整函数，且同一个 $M$ 控制整个复平面；这样才能让 $R$ 任意增大。

这个结论也能保证多项式有根。若次数 $m\ge1$ 的多项式 $P$ 没有零点，则 $1/P$ 整函数；当 $|z|\to\infty$ 时 $1/P(z)\to0$，在大圆外有界，在剩余紧区域上也有界，所以 有界。Liouville 迫使它为常数，矛盾。因此多项式至少有一个复根，反复因式分解便得到次数个根（按重数计）。

平均值性质与最大模

把 $z=z_0+Re^{it}$ 代入 Cauchy 公式，得到

若 $|f|$ 在内部点 $z_0$ 取得局部最大值，那么平均值的模长满足

若 $f(z_0)=0$，附近模长不超过零，已经说明函数局部恒零。否则，把所有值统一旋转，使 $f(z_0)$ 变成正实数 $M$。圆周上每个值的实部都不超过它的模，又不超过 $$；它们的平均实部却等于 ，连续性迫使每一点的实部都等于 ，虚部为零。因此圆周上的值全是 。对所有足够小的半径都这样做，函数就在一个小圆盘内恒定。

把中心值旋转到正实轴后，实部的平均若达到上界 $M$，连续的圆周值就必须全部等于 $M$。

局部恒定怎样传到整个连通区域，还需要一个依据。第 6 章将由幂级数证明恒等定理：两个全纯函数若在一个非空小圆盘中相等，就在同一连通区域处处相等。应用于 $f$ 和常函数 $f(z_0)$，便得到最大模原理。你现在已能看清局部部分的证明，读到第 6 章时可以把这处衔接补成完整论证。

如果 $D$ 是有界连通开集、$f$ 在 $D$ 全纯并连续到闭包，$|f|$ 在紧闭包上有最大值。若 $f$ 非恒定，这个值只能在边界取得。缺少闭包连续性时，边界最大值甚至未必存在，不能省去这个条件。

例题： 在矩形 $0\le x\le1,0\le y\le2$ 上找 $|e^z|$ 的最大值。$|e^{x+iy}|=e^x$，只由 决定，最大值在 的整条边上，为 。这与最大模原理一致：函数非恒定，最大值出现在边界；具体哪段边界最大还要由表达式计算。

对矩形 $0\le x\le1,\ 0\le y\le2$，$|e^z|=e^x$，所以最大值在整条右边界取得。

交互：用边界重建内部值

在圆周上给定 $f(z)=z^2+0.3z$ 的值，拖动观察点 $z_0$，计算 Cauchy 积分恢复内部值。先猜圆心值与边界平均的关系，再把观察点移近边界，比较数值稳定性。试着把点移到圆外：积分不再恢复该点的函数值，而边界上的点会碰到核的奇点，普通公式不能使用。

交互：平均值与最大模

选择 $z^2$ 或 $e^z$，改变圆心和半径。比较函数值的圆周平均与模长的圆周平均，它们是两个不同的量。再切换常函数和 $1/z$：常函数处处等号成立；含原点的圆盘则不能对 $1/z$ 套用公式。观察图上的原因，再读计算结果。

练习

下面各圆周都取逆时针方向。

练习 1｜高阶公式。 计算 $\oint_{|z|=3}\frac{\cos z}{(z-1)^3}dz$。

练习 2｜条件迁移。 设整函数 $f$ 满足 $|f(z)|\le7$ 对所有 $z$ 成立，证明 $f$ 为常数；如果只知道上半平面内有界，能否照搬证明？

练习 3｜增长条件。 设整函数满足 $|f(z)|\le A+B|z|$，其中 $A,B\ge0$。证明它只能是一次或常数多项式。

所以 $f''$ 处处为零，$f'$ 恒定，进而 $f(z)=\alpha z+\beta$。这里上界随半径增长，不能直接用有界整函数版 Liouville；高一阶的导数估计才能压住这次增长。