把 $1+i$ 乘以 $i$，结果是 $-1+i$。这次计算既能看成一次代数运算，也能看成向量转过了直角。我们会不断在这两种表示之间来回切换：坐标方便核算，长度和方向则让乘方、开根的规律更容易看清。

点、向量与模

写 $z=x+iy$，就把复数和坐标点 $(x,y)$ 对上了。实部 $\operatorname{Re}z=x$，虚部 $\operatorname{Im}z=y$。模长

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

是原点到点 $z$ 的距离；共轭 $\bar z=x-iy$ 是关于实轴的镜像，并且

$$z\bar z=|z|^2,\qquad |zw|=|z||w|.$$

后一条不是单纯的代数巧合。把 $z$ 看成长度和方向，乘法会让长度相乘，所以一个数的乘方会同时放大长度、累积转角。

共轭把 $x+iy$ 变成 $x-iy$：实部不动，虚部反号，模长保持。

三角形式把这件事写得更直接。若 $z\ne0$，令 $r=|z|$，选一个满足 $z$ 方向的辐角 $\theta$，则

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}.$$

辐角不是唯一的：$\theta+2k\pi$ 表示同一个方向。我们可以选主辐角作为记录，但做乘法和开根时不能忘记这一族等价角度。

乘法就是缩放加旋转

设 $z=r e^{i\theta}$、$w=s e^{i\phi}$。直接相乘得到

$$zw=rs e^{i(\theta+\phi)}.$$

因此乘以 $w$ 的几何动作是把每个向量长度乘 $s$，再逆时针旋转 $\phi$。当 $|w|=1$ 时只有旋转；当 $w$ 是正实数时只有缩放。这个视角比展开 $(x+iy)(u+iv)$ 更适合处理根和映射。

同一比例下，$1+i$ 与 $-1+i$ 等长，方向相差逆时针 $90^\circ$。

例题： 计算 $(2-2i)^3$。展开立方当然可行，但极形式能同时告诉我们大小和方向。因为 $2-2i=2\sqrt2e^{-i\pi/4}$，立方的模长为 ，辐角为 ，所以

$$(2-2i)^3=16\sqrt2\left(-\frac{\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt2}{2}\right)=-16-16i.$$

用代数核对一次：$(2-2i)^2=-8i$，再乘 $2-2i$，确实得到 $-16-16i$。

n 次根与单位根

设 $n$ 是正整数、$w\ne0$。要解 $z^n=w$，写 $w=R e^{i\theta}$，设 。比较模长和辐角：

$$\rho^n=R,\qquad n\varphi=\theta+2k\pi.$$

于是

$$z_k=R^{1/n}e^{i(\theta+2k\pi)/n},\qquad k=0,1,\ldots,n-1.$$

取更多的 $k$ 只会重复这些点，因为 $k$ 增加 $n$ 后角度增加 $2\pi$。当 $w=1$ 时得到单位根

$$\zeta_k=e^{2\pi i k/n}.$$

它们均匀分布在单位圆上；当 $n\ge3$ 时，恰好是正 $n$ 边形的顶点。相邻根的辐角相差 $2\pi/n$，用这个间隔逐个定位，才不会漏掉方向。

六次单位根的相邻辐角相差 $\pi/3$。每个点取六次幂都回到 $1$。

别把“点都在单位圆上”当成“都是单位根”。下面的正五边形有一个顶点是 $i$，它对应 $z^5=i$ 的五个根，角度是 $\pi/10+2k\pi/5$，其中 $k=1$ 给出 。单位根 则必须有一个顶点是 。旋转同一个多边形，会改变它解的是哪一个方程。

这五个点解的是 $z^5=i$；其中有 $i$，却没有 $1$。图形的整体旋转也改变了方程。

例题： 找出 $z^4=-16$ 的全部解。$-16=16e^{i(\pi+2m\pi)}$，所以根的模长是 2，四个辐角为 $\pi \mathrm{/}4,3\pi \mathrm{/}$。得到

$$z\in\{\sqrt2+i\sqrt2,-\sqrt2+i\sqrt2,-\sqrt2-i\sqrt2,\sqrt2-i\sqrt2\}.$$

代回时每个点的四次幂都为 $-16$；只找到一个根就停下，会漏掉其余三个方向。

共轭、倒数与圆盘

共轭使倒数公式变得透明：若 $z\ne0$，

$$\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}.$$

这条公式还有一半几何意义容易漏掉：若 $z=re^{i\theta}$，则 $1/z=r^{-1}e^{-i\theta}$。距离取倒数，角度也取负。例如 在第一象限， 在第四象限；只缩短向量而不反射，画出来的就不是倒数。

$1+i$ 的倒数为 $(1-i)/2$。距离取倒数之外，还要把辐角变号。

单位圆上的点满足 $|z|=1$，于是 $\bar z=1/z$。更一般地，圆盘 $|z-a|<r$ 是以 为中心、半径 的开圆盘；写成复数不等式，平面几何对象可以直接进入极限和积分条件。

开圆盘包含中心；穿孔圆盘只去掉中心。两者都不包含外圆周。

乘法的矩阵影子

把 $z=x+iy$ 乘到任意向量 $u+iv$ 上，相当于

$$\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.$$

矩阵的行列式是 $x^2+y^2=|z|^2$，所以 $z\ne0$ 时这个线性变换可逆；它的列向量互相正交且长度相同，正是“旋转加缩放”的坐标表达。第 3 章会看到，若一个二维函数来自复可微函数，它的 Jacobian 也必须具有这一特殊形状。

交互：乘法的旋转与缩放

先预测：固定 $z$，把乘数 $w$ 的辐角增加 $\pi/2$，结果向量会怎样变化？拖动模长和辐角，观察结果点的距离与方向是否分别遵守“相乘”和“相加”。注意角度显示允许加上整圈，位置却不会改变。

交互：构造单位根

选择 $n$ 并逐个显示 $e^{2\pi ik/n}$。先猜相邻根之间的角度，再检查它们是否都落在单位圆上。把目标固定为 $w=1$，再把 $n$ 从偶数改成奇数，观察是否存在恰好位于负实轴的根；这些几何差异来自等角分割，而不是绘图误差。

把目标改成 $w=i$，比较五个根与上面的五边形。再把模长改成 $4$、次数设为 $2$，两个根的长度应为 $2$。每一个点都要满足 $z_k^n=w$，只有外观对称还不够。

练习

练习 1｜方法选择。 用极形式计算 $(-1+i\sqrt3)^5$，并写出模长和辐角的变化。

查看解答

$-1+i\sqrt3$ 的模长为 2，辐角为 $2\pi/3$。五次幂的模长为 $2^5=32$，辐角为 ，所以结果为 。

练习 2｜变式。 找出 $z^3=8i$ 的三个解，并用单位圆旋转解释相邻解的关系。

查看解答

$8i=8e^{i(\pi/2+2k\pi)}$，根的模长为 2，辐角为 $\pi/6+2k\pi/3$。三个解是 $\sqrt3+i$、、；相邻根的辐角相差 。

1

复数乘以模长为 1 的数，几何上一定做了什么？

A.只反射B.只改变面积C.只平移D.只旋转

2

当 n≥2 为整数、w≠0 时，方程 z^n=w 只有一个复数解。

正确错误

练习 3｜把图形变回方程。 单位圆上的一个正五边形含有顶点 $-1$。写出全部顶点，并找出这些顶点共同满足的五次方程。

查看解答

顶点可写成 $z_k=e^{i(\pi+2k\pi/5)}$，$k=0,1,2,3,4$。取五次幂得 。五个点恰好是 的全部根。它们不是 的根，因为 本身的五次幂就不等于 。