两种测量，共同的建模要求

杨氏模量描述材料在单轴线弹性范围内的应力与应变关系；转动惯量描述物体对指定转轴的质量分布。前者在给定材料状态和条件下是材料参数，后者随物体形状及转轴改变。测量二者都要把几何、边界条件和读数转换写清楚。

杨氏模量：从拉伸定义到梁的弯曲

均匀试样长度为 $L$、横截面积为 $A$，在轴向力 $F$ 下伸长 $\Delta L$。在线弹性、小应变范围内，

$$E=\frac{F/A}{\Delta L/L}=\frac{FL}{A\Delta L}.$$

这是拉伸法的模型，不可直接套到弯曲梁的端点位移上。用悬臂梁测量时，测量对象是梁的弯曲响应。

对左端可靠固定、自由端受集中横向力 $F$ 的均匀细长矩形梁，设有效长度为 $L$，截面宽度为 $b$、沿弯曲方向的厚度为 $h$。在线弹性、小挠度的梁模型下，截面二次矩为 $I_A=bh^3/12$，端部转角和挠度分别为

$$\theta=\frac{FL^2}{2EI_A},\qquad \delta=\frac{FL^3}{3EI_A}.$$

$I_A$ 的单位为 $\mathrm{m^4}$，它不是质量转动惯量。若载荷作用在距固定端为 $\ell$ 的位置，而非自由端，或载荷分布在一段有限宽度上，就必须采用对应的梁模型。砝码几何中心不一定等于实际载荷合力作用点，应核对放置方式。

光杠杆利用反射光方向的变化测小转角。平面镜转动 $\theta$ 时，反射光方向转动 $2\theta$。在参考反射光近似垂直于标尺平面、镜面位置变化可忽略的简单几何中，若光程对应的镜尺距离为 $D$，光斑位移为 $s$，则 $s=D\tan(2\theta)\approx2D\theta$。多镜、斜入射或镜面同时平移的装置应使用其实际几何换算，不能直接沿用 。

悬臂梁的测量与处理

先按指导书固定试样，确认有效固定截面、受力点、梁的水平状态及光路位置。不要用手强弯试样，不超过规定载荷，避免砝码坠落和试样锐边划伤；使用激光的装置不得直视光束或镜面反射。

在规定位置测量梁宽、厚度和有效长度，记录其分辨力和位置差异。厚度以三次方进入模型，微小相对偏差也可能显著影响结果。逐级、轻缓地加载，待示值稳定后记录力与转角或位移；按要求卸载并比较同一载荷下的读数，检查回程差、松动和不可恢复形变。

以转角对力作线性拟合 $\theta=\theta_0+k_\theta F$，端部集中力模型给出

$$E=\frac{L^2}{2I_Ak_\theta}=\frac{6L^2}{bh^3k_\theta}.$$

保留截距可以容纳初始零点偏移，但不能用截距掩盖明显非线性。若采用位移拟合 $\delta=\delta_0+k_\delta F$，则 $E=L^3/(3I_Ak_\delta)$。两种处理必须与实际读数一致。

当相关输入可视为不相关、且一阶传播成立时，转角拟合模型的相对标准不确定度为

$$\begin{aligned} \left[\frac{u(E)}{E}\right]^2 &=\left[\frac{2u(L)}{L}\right]^2+\left[\frac{u(b)}{b}\right]^2\\ &\quad+\left[\frac{3u(h)}{h}\right]^2+\left[\frac{u(k_\theta)}{k_\theta}\right]^2. \end{aligned}$$

拟合斜率的不确定度还应正确反映力和角度的测量影响；若横轴力的不确定度显著，不能只使用假定横轴无误差的拟合输出。光路几何、载荷位置和固定端的实际柔顺性也要评估，不能只统计重复读数。

扭摆法测质量转动惯量

使物体绕固定竖直轴小幅扭转，若恢复力矩满足 $\tau=-\kappa\varphi$，阻尼对周期的影响可忽略，则

$$J\ddot\varphi+\kappa\varphi=0,\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{J}{\kappa}}.$$

这里 $J$ 是物体及随动附件对该转轴的质量转动惯量，单位为 $\mathrm{kg\,m^2}$；$\kappa$ 是扭转系数。测得周期后仍需知道扭转系数，不能仅凭一个周期同时求出两个未知参数。

常用比较方案先测空载承载组件周期 $T_0$，再同轴放置已知转动惯量的标定件 $J_s$，测周期 $T_s$。保持悬丝、夹持和轴线状态不变，可求

$$\kappa=\frac{4\pi^2J_s}{T_s^2-T_0^2}.$$

移除标定件，换上待测物，测周期 $T_x$，得到

$$J_x=J_s\frac{T_x^2-T_0^2}{T_s^2-T_0^2}.$$

均匀圆环绕垂直环面且通过中心的轴，其几何理论值为 $J=\tfrac12m(R_o^2+R_i^2)$。若用这个理论值标定 ，再把同一组周期代回求同一圆环的 ，并不能独立验证该理论值。独立检验需要另一标定依据或另一待测件。

扭摆操作与结果讨论

按本机规程检查支架、悬丝和夹持状态。承载盘应保持水平，待测件同轴、稳定放置，轻缓加载，避免折断悬丝。调节光电门使标记可靠通过检测区，再确认计时仪如何把穿越次数转换成完整周期。物体同一周期可能两次通过平衡位置，不能把两次相邻过门时间直接当作周期。

在规定的小幅范围内释放扭摆，待附加晃动减弱后计时。每次计若干完整周期并重复，记录总时间和周期数；待其自然停摆后再更换条件。比较不同小振幅下的周期，可检查线性恢复力矩假设和阻尼影响。

若待测物中心相对轴偏移 $e$，对平行轴有 $J=J_C+me^2$，偏心会使测值增大。周期平方差很小时，相对不确定度可能很大；标定件的尺寸和质量也有不确定度。比值模型中 $T_0$ 同时出现在分子、分母，应直接对完整函数传播，不把这两项当作独立测量。

检查理解

两根梁的材料相同、有效长度和宽度相同，其中一根厚度是另一根的两倍。相同端部载荷下，两根梁的端部挠度是否相同？

显示答案

不相同。在给定梁模型下，端部挠度与厚度的三次方成反比，较厚梁的挠度为较薄梁的八分之一。材料杨氏模量可以相同，但结构的弯曲响应不同。