测量结果为什么需要不确定度

测量是依据规定的方法，把被测量与单位联系起来的过程。记录一个长度前，应明确测量对象、位置、温度和读数方法。细丝在不同位置的直径可能不同；这时“直径”是否指某一截面的直径还是沿长度的平均直径，会影响测量方案。

测量误差是测得值与参考量值之差。当参考量值并非精确已知时，实际误差也不能精确知道。不确定度则根据已有信息描述可合理赋予被测量的值的分散程度，它不是已经查明的错误，也不是“允许随意改动数据的范围”。已知显著系统效应应尽可能修正，修正值本身的不确定度仍需计入结果。

重复测量与 A 类评定

在相同条件下取得 $n$ 个相互独立的读数 $x_i$，用平均值估计被测量：

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i.$$

样本标准偏差反映单次读数的分散程度：

$$s(x)=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}.$$

平均值的 A 类标准不确定度为

$$u_A(\bar{x})=\frac{s(x)}{\sqrt n} =\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n(n-1)}}.$$

这里的独立性和稳定性很重要。若仪器随时间漂移、重复读数存在明显相关性，不能只增加次数后机械地除以 $\sqrt n$。应先考察随时间的变化，并改善测量条件或建立相应模型。

B 类评定与分辨力

读懂资料给出的量，才能转换为标准不确定度。校准证书给出扩展不确定度 $U$ 及覆盖因子 $k$ 时，相应标准不确定度为 $U/k$。若只知道某影响量在区间 $[-a,a]$ 内，且有理由采用均匀分布，则

$$u_B=\frac{a}{\sqrt3}.$$

若数字仪器末位步长为 $q$，仅考虑四舍五入造成的量化影响，并采用均匀分布模型，则半宽是 $q/2$，相应分量为 $q/\sqrt{12}$。这只是量化分量，不等于仪器全部测量不确定度；准确度指标、校准、温度效应和零点等仍需分别判断。也不能把已包含在重复性中的同一影响重复计算。

把影响来源、估计值、概率模型、标准不确定度和资料依据列成不确定度预算表，比只写一个“A 加 B”公式更容易复核。

间接测量的传播

若测量模型为 $y=f(x_1,\ldots,x_N)$，且函数在估计值附近可作一阶近似，则

$$\begin{aligned} u_c^2(y)&=\sum_{i=1}^{N}c_i^2u^2(x_i)\\ &\quad+2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}c_i c_j u(x_i,x_j). \end{aligned}$$

其中

$$c_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}.$$

$c_i$ 是在输入估计值处计算的灵敏系数，$u(x_i,x_j)$ 是协方差。只有输入量可以视为不相关时，协方差项才消失。同一把尺的零点对两个位置读数的影响往往相关；把它们当作两个独立误差相加，可能错误估计位置差的不确定度。

对于不相关的非零输入量，若 $y=Cx_1^{p_1}\cdots x_N^{p_N}$，且 可视为精确常数，则

$$\left[\frac{u_c(y)}{|y|}\right]^2 =\sum_{i=1}^{N}p_i^2\left[\frac{u(x_i)}{|x_i|}\right]^2.$$

幂指数放大相应的相对不确定度贡献。例如圆柱体体积与直径的平方成正比，直径的相对贡献系数为 2。若函数强非线性或不确定度相对于输入量很大，应重新检查一阶传播是否合适。

一组模拟读数的处理

下面是用于练习的模拟长度读数，单位均为毫米：10.02、10.04、10.03、10.01、10.05。假设读数独立、条件稳定，另有一个不与重复性重复计算的 B 类标准不确定度分量 $0.010\,\mathrm{mm}$。

平均值为 $10.030\,\mathrm{mm}$，样本标准偏差约为 $0.0158\,\mathrm{mm}$，故平均值的 A 类标准不确定度约为 $0.00707\,\mathrm{mm}$。若两分量不相关，得到

$$u_c=\sqrt{0.00707^2+0.010^2}\,\mathrm{mm} \approx0.0122\,\mathrm{mm}.$$

可报告为 $x=10.030\,\mathrm{mm}$，$u_c(x)=0.012\,\mathrm{mm}$。这不是某次真实实验的结果。若另行报告扩展不确定度 $U=ku_c$，须同时说明 的选择和覆盖含义； 只有在分布近似正态且标准不确定度估计可靠等条件下，才对应约 95% 的覆盖水平。

图、拟合与有效数字

测量多个变量关系时，先画散点图，再选择具有物理依据的模型。线性模型 $y=a+bx$ 中，截距不能因为“理论上应为零”就未经检验强制为零。检查残差 $r_i=y_i-(a+bx_i)$ 是否随自变量或时间出现趋势。高相关系数不能单独证明模型正确；横坐标不确定度不可忽略时，普通最小二乘法的假设也要重新评估。

中间计算保留额外位数，最后再统一修约。通常不确定度保留一至两位有效数字，结果的小数位与不确定度对应；具体报告按实验要求执行。原始记录不能为了使有效数字整齐而补造不存在的读数精度。

检查理解

某数字表的分辨力提高一倍，是否能直接断言测量结果的不确定度减半？

显示答案

不能。分辨力只影响部分读数或量化贡献。校准、重复性、环境、加载效应等分量可能仍然占主导，应重新计算不确定度预算。