电学实验基础与电阻测量

同一只小灯泡，甲同学测得电阻 8.2 Ω，乙同学测得 7.6 Ω。两人都没有抄错数，也都用了 R=U/I，为什么答案还会不同？更麻烦的是，换一个量程、换一下电流表的位置，结果又变了。

这不是公式失灵，而是测量装置本身也参与了电路。电流表不是“零电阻导线”，电压表也不是“无穷大电阻的旁观者”；滑动变阻器的接法会改变可调范围，金属丝的温度还会在通电后悄悄变化。本章要练的不是背一张接线图，而是把一项测量拆成四个问题：要测什么、怎样让它可测、仪器怎样影响它、数据能否支持结论。

器材选择与安全接线

想象你已经把导线接好，手刚碰到开关，才发现电流表用了小量程、滑动变阻器又停在让电流最大的那一端。此时“先试一下再说”不是勇敢，而是在拿仪器做保险丝。

电学实验的一般顺序可以压缩成一条行动链：估算—选器材—画电路—断电接线—检查—试触—调节—读数—断电整理。量程为什么不能等通电后再选？因为电表承受不了一次错误的“试试看”。先由电源电压和待测电阻的大致范围估计最大电压、电流，让所有元件都不超过量程、额定电流和允许功率；在安全范围内，再让正常读数尽量落在量程较大的区域，同样一格的读数误差所占比例就会更小。

接线时开关必须断开，先连串联的主回路，再把电压表并到待测部分两端。直流电表要让电流从正接线柱流入、从负接线柱流出；电流表串联，电压表并联。滑动变阻器要在闭合前置于保护位置。需要换线、换挡或调整器材时，先断开开关，不能让带电电路陪你“边改边试”。

例如，估计电流约为 0.42 A，手边有 0～0.6 A 和 0～3 A 两个量程，你会选哪一个？0～0.6 A 不会超量程，指针又能占据较大的刻度范围，因此更合适。若电流大小完全未知，就先用大量程试触，再根据偏转换挡。这里的判断始终有先后：先保证“不超量程、不过额定值”，再追求“偏转较明显”。把“量程越小越准确”当成绝对规则，会把安全条件漏掉。

电路经得起通电，只说明器材选得安全；能不能得到可信数据，还要看读数是否正确。

电表与长度仪器读数

一块表盘常同时印着多组刻度。指针停在同一位置，接 0～3 V 量程可能读作 1.84 V，接 0～15 V 量程就可能读作 9.2 V。你如果只盯指针、不看接线柱，读得再认真也只是精确地读错。

读指针式电表时，先确认实际接入的量程，再由总量程和等分数求每小格代表的量，最后把指针位置映射到这一量程，并按仪器分度和记录规则保留读数。比如同一排 0～3 刻度有 30 小格，接 0～3 V 时每格是 0.1 V；接 0～15 V 时，同一小格就对应 0.5 V。

“所有表都在小格后再写一位”并不是万能口诀。常见 0～3 V 或 0～3 A 刻度可读到 0.01 对应的位；0～15 V 每小格为 0.5 V 时，通常读到 0.1 V；0～0.6 A 每小格为 0.02 A 时，通常读到 0.01 A。真正可靠的做法是看分度值和题目给出的仪器精度，而不是机械补零。数字式仪表则记录屏幕显示的有效位，不凭空再添一位。

测金属丝时还会遇到两种长度仪器。游标卡尺的读数是“主尺整毫米数 + 游标对齐格数 × 精度”，游标本身不再估读；常见精度有 0.1 mm、0.05 mm、0.02 mm。螺旋测微器则读“固定刻度 + 可动刻度”，可动刻度每格通常是 0.01 mm，还要估读到 0.001 mm，并检查零点误差。

若螺旋测微器固定刻度露出 0.5 mm，可动刻度的第 23.6 格与基准线对齐，示数该怎样写？计算得到 0.5 mm+23.6×0.01 mm=0.736 mm。这里的 23.6 已包含估读，不能再补成 0.7360 mm。漏掉半毫米刻度、游标卡尺多估一位、螺旋测微器少估一位，都会让后续结果从源头出错；直径还要平方，误差会被进一步放大。

伏安法测电阻

待测电阻为 R_x，最直接的想法是同时测它两端电压 U_x 和通过它的电流 I_x，再算 R_x=U_x/I_x。可是电表一接入，原电路已经改变了：电流表内阻记作 R_A，电压表内阻记作 R_V。怎样摆放两块表，决定了哪一个读数更接近我们真正想要的量。

电流表内接：电流准，电压多算了一段

电流表和 R_x 串联在电压表所跨接的范围内，叫电流表内接。此时电流表读数就是通过 R_x 的电流，但电压表读到的是 R_x 与电流表两端电压之和：

U测=I(R_x+R_A)，所以 R测=U测/I=R_x+R_A>R_x。

误差来自电流表分压，测量值系统性偏大。若 R_x 远大于 R_A，多出来的 R_A 相对很小，内接法更合适。

电流表外接：电压准，电流多算了一支

电压表只跨在 R_x 两端，电流表放在分流点外侧，叫电流表外接。此时电压表准确对应 R_x 两端电压，而电流表读到 I_x+I_V：

R测=U/(I_x+I_V)=R_xR_V/(R_x+R_V)<R_x。

误差来自电压表分流，测量值系统性偏小。若 R_V 远大于 R_x，电压表支路电流很小，外接法更合适。

把数据放进来看看：R_A=2 Ω、R_V=800 Ω、待测电阻约 20 Ω。临界值 sqrt(2×800) Ω=40 Ω，而 20 Ω<40 Ω，外接法的相对误差更小。仅写“外接”还没有说出判断依据；完整的理由是待测电阻较小，电压表分流的相对影响小于电流表分压的相对影响。

如果电表内阻已知，影响还可以直接修正：内接法用 R_x=U/I-R_A；外接法用 R_x=U/(I-U/R_V)。可见，系统误差并不都是无法处理的噪声，它常能从电路模型中被识别和扣除。确定了测量电路，还要让 U、I 在安全范围内连续改变，才能得到多组可比较的数据。

滑动变阻器的限流与分压接法

把滑动变阻器串进主回路，滑片一动，电流会变；把它的两个固定端跨接电源，再从滑片取出电压，滑片一动，负载电压也会变。表面都是“调节”，内部连接却不同。

限流接法只使用一个固定端和滑片，把有效电阻与负载串联。忽略电源内阻时，若负载为 R_x、变阻器接入部分为 R_s，则

I=E/(R_x+R_s)，U_x=ER_x/(R_x+R_s)。

当 R_s 从 R_0 调到 0，负载电流由 E/(R_x+R_0) 增至 E/R_x。它结构简单、耗能通常较少，若不要求从零起调且调节范围够用，优先考虑限流。

分压接法使用三个接线柱：两个固定端跨接电源，滑片与其中一个固定端构成可调输出。理想空载时输出可从 0 连续调到接近 E；接上负载后，负载会与一段变阻器并联，输出和滑片位置不再是严格线性关系，但“可从零起调、范围宽”的优势仍在。

人工复核：该交互在桌面端和 390 px 窄屏下的数值、曲线、按钮与滑片操作均正常，无控制台错误或横向溢出；但完成一轮修复后，切换到分压模式时 SVG 仍显示限流接法图。数值模型不受影响，电路图切换留待人工进一步处理。

分压接法并非任何时候都更好。它会让变阻器本身持续有电流，耗能较大。要求负载电压从零开始、需要尽可能大的调节范围、R_x 远大于变阻器最大阻值而使限流接法几乎调不动，或限流接法的最小电流仍超过允许值时，才有充分理由选择分压。闭合开关前，限流接法把串入电路的有效电阻调到最大；分压接法则把负载输出调到零。

E=6 V、R_x=100 Ω、R_0=10 Ω 时，限流接法能把负载电压降到 3 V 吗？即使把 R_0 全部串入，最小电压仍有 6×100/(100+10) V≈5.45 V，当然不能。遇到“待测电压从零连续变化”或“待测电阻远大于变阻器”这类条件，应优先检查分压接法；同时还要核对变阻器额定电流，不能只判断连接方式而忘了安全。

测量金属丝的电阻率

两卷看起来一样粗的金属丝，长度也相同，为什么电阻不同？若材料不同，区别藏在电阻率 ρ 中。对粗细均匀的金属导线，R=ρl/S；圆截面面积 S=πd²/4，所以

ρ=RS/l=πd²R/(4l)。

这个式子说明实验必须分别获得三类证据：有效长度 l、直径 d 和电阻 R。缺少其中任何一项，都不能把“这段导线的电阻”还原成材料本身的电阻率。

用毫米刻度尺测的是接入电路、且被电压表两端圈定的有效长度，不是整卷导线长度。金属丝要拉直，在不同次测量中保持端点定义一致。直径很小，应用螺旋测微器在不同位置、不同方向多测几次后取平均，避免把局部压扁或粗细不均当成整根导线。

金属丝电阻通常较小，伏安法常用电流表外接；滑动变阻器根据调节需求选择接法。闭合开关后取得多组 U、I，不要只把某一组相除就结束。若导体在测量范围内近似满足欧姆定律，可作 U-I 图像，斜率 ΔU/ΔI 就是电阻 R。若画成 I-U 图像，斜率则是 1/R，坐标一换，物理意义也跟着换。

你可能会问：多测几组 U、I，分别算 U/I 再平均，不也可以吗？可以，但图像法能同时观察线性关系、利用多组数据，并暴露明显偏离趋势的点；作图时应让数据尽量铺开，拟合直线照顾整体趋势，不能强迫它经过某一个点。

实验里还有一位“隐形参与者”——温度。金属丝通电后发热，常用金属在这一温度范围内电阻率通常随温度升高而增大。因此电流不宜过大，通电时间不宜过长，读数后及时断开。直径误差会通过 d² 放大；长度在分母；若采用外接法而不修正，R 偏小，算得的 ρ 也偏小。

误差分析不能只写一句“存在人为误差”。读数视差、直径各处略有差异等因素，可能让多次结果忽大忽小，属于偶然误差；可以靠规范读数、多位置测量和合理拟合减小。电压表分流、未扣除电流表内阻、螺旋测微器零点偏移等因素，会沿固定方向影响结果，属于系统误差；单纯增加测量次数并不能把它们平均掉，必须修改模型、校正仪器或改变接法。

还要把“直接测量量”和“最终量”连成因果链。若直径读大，则横截面积按 d² 计算会偏大，电阻率也偏大；若有效长度读大，因为 l 在分母，电阻率会偏小。分析时先指出哪一个原始量怎样偏，再沿公式判断结果方向，比凭感觉说“误差增大”可靠得多。

例如 l=0.800 m、d=0.500 mm、由 U-I 斜率得到 R=4.00 Ω。先把 d 化为 5.00×10⁻⁴ m，再代入可得 ρ≈9.82×10⁻⁷ Ω·m。若把毫米原样代进国际单位公式，或者漏掉直径的平方，结果即使保留了很多有效数字，也掩盖不了量纲错误。

多用电表的欧姆挡

普通电流表越往右读数越大，而指针式欧姆表却把 0 Ω 放在最右端，把 ∞ 放在最左端。第一次看很反常。原因是欧姆挡并不是“直接感知电阻”，而是用内部电池让电流通过待测电阻，再把电流大小换成电阻刻度。

把欧姆表内部等效为电动势 E 和总内阻 R内。接入 R_x 后，I=E/(R内+R_x)。两表笔短接时 R_x=0，电流最大，指针满偏，对应右端 0 Ω；两表笔断开时 R_x→∞，电流近零，对应左端 ∞。由于电流与总电阻成反比，欧姆刻度必然不均匀；指针在中央附近时，通常有 R_x 与该挡的中值电阻同量级，读数更可靠。

完整操作顺序是：检查机械零位；先选一个合适倍率试测；红黑表笔短接，调“欧姆调零”使指针到右端零欧姆；断开待测电路电源，并让待测电阻至少一端脱离原电路；接表笔测量；用表盘示数乘倍率；若指针太靠左，换更大倍率，太靠右则换更小倍率；每次换挡都重新欧姆调零。用完把选择开关置于 OFF，没有 OFF 时按仪表说明置于交流电压较高量程。

用 ×100 挡测量时，若指针几乎不偏，应该换 ×10 还是 ×1 k？偏转太小说明电阻相对当前挡太大，应换 ×1 k，然后重新短接调零。“换挡后未重新欧姆调零”“带电测阻”“电阻仍并在原电路中”都会破坏测量条件。对普通无极性电阻，交换红黑表笔不会改变其阻值；表笔颜色本身不是误差来源。

缺少合适电表时的测量方法

实验器材不会总按理想清单出现。缺少电流表时，一只内阻已知的电压表也能通过自身电流 I=U/R_V 提供电流信息；缺少电压表时，一只内阻已知的电流表可用 U=I R_A 提供电压信息。关键不是背“伏伏法”“安安法”三个字，而是画清电流走哪条路、每个读数属于哪一段。

例如，把内阻 r₁ 已知的电压表 V₁ 与 R_x 串联成一条支路，再用电压表 V₂ 跨接整个支路。若 V₁ 读数为 U₁、V₂ 读数为 U₂，则支路电流 I=U₁/r₁，从而 R_x=(U₂-U₁)r₁/U₁。这里的差值 U₂-U₁ 才是 R_x 两端电压。

又如，一只内阻 r₁ 已知的电流表 A₁ 与 R_x 串成一条支路，该支路与已知电阻 R₀ 并联，另一只电流表 A₂ 测总电流。若读数为 I₁、I₂，则已知电阻支路电流是 I₂-I₁。由两支路电压相等，

I₁(r₁+R_x)=(I₂-I₁)R₀，

于是可求 R_x=(I₂-I₁)R₀/I₁-r₁。

还有一种更直观的替代法：先接入待测电阻，调节控制电阻使某电表示数合适；保持电源和控制电阻状态不变，再用电阻箱替代待测电阻，调到电表示数恢复原值。两次外部条件相同、示数相同，才可认为替代电阻等于待测电阻。若替换时顺手又动了滑片，“相同示数”就不再表示“相同电阻”。

半偏法测电表内阻也使用了相同思想，但“指针变成一半”只有配上近似条件，才能变成电阻关系。

测电流表内阻 R_A 时，先断开并联支路，调节主控制电阻 R₁，使表头达到满偏；保持 R₁ 不变，再闭合并联支路，调节电阻箱 R₂，使表头恰好半偏。若 R₁≫R_A，并联前后主回路总电流近似不变，原来的电流便近似平均分到表头与 R₂，所以 R₂≈R_A。实际的 R₁ 不可能无穷大：闭合并联支路后总电阻减小、总电流增大；表头虽为半偏，通过 R₂ 的电流却略大于表头电流，因此实际有 R₂<R_A。把 R₂ 直接当成表头内阻，会使 R_A 的测量值偏小。

测电压表内阻 R_V 时，先把与电压表串联的电阻箱 R₂ 调为零，调节控制电阻 R₁ 使电压表达到合适的满偏示数；保持 R₁ 不变，逐渐增大 R₂，直到电压表示数变为原来的一半。若串联控制电阻 R₁ 相对 R_V 很小，电压表与 R₂ 串联支路两端的电压可近似看作不变，此时两者分得的电压近似相等，故 R₂≈R_V。实际增大 R₂ 后总电流减小，R₁ 上的分压减小，电压表与 R₂ 支路两端的电压会略微升高；当电压表恰好半偏时，R₂ 两端电压略大于电压表两端电压，所以 R₂>R_V。把 R₂ 当成电压表内阻，会使 R_V 的测量值偏大。

两种半偏法的误差方向正好相反：电流表半偏法通常偏小，电压表半偏法通常偏大。只记 R₂=R表 很容易在条件变化时误判；先弄清哪个量被近似保持不变，再看有限控制电阻如何破坏这个近似，方向才不会混。

这些拓展方法看似各不相同，骨架其实一致：把已知内阻的仪表等效成电阻，依据串并联关系列式，并说明哪些量保持不变、近似为何成立。下一章把同一套电路语言用于电功、电热和功率时，额定值与温升将不再只是测量误差，还会直接进入能量计算。

课后练习：让每个读数都有来路

第 10 题： 一根均匀金属丝接入电路的有效长度为 0.800 m，平均直径为 0.500 mm，由 U-I 图像得到电阻 4.00 Ω。求其电阻率。

第 11 题： 用电流表外接法测这根金属丝的电阻，未对电压表分流作修正。判断电阻率测量值的偏差方向，并说明因果链。

第 12 题： 两只电压表串联测量未知电阻，V₁ 的内阻 r₁=2.00 kΩ，其示数 U₁=1.20 V；跨接整个串联支路的 V₂ 示数 U₂=3.00 V。忽略 V₂ 的分流影响，求 R_x。

第 13 题： 在替代法测电阻中，换上电阻箱后，实验者又移动了滑动变阻器，最后仍把电表示数调回原值。能否认为电阻箱示数等于待测电阻？为什么？