第5章 电容器、电容与动态分析
照相机闪光灯（或手机相机闪光）只亮一瞬，自动体外除颤器则能在很短时间内释放较多电能。它们内部都有一种看起来很朴素的元件：两片彼此绝缘的导体。导线被绝缘层隔开，电荷明明不能直接从一片跑到另一片，这个元件怎么还能“装下”电荷，又为什么能在外电路中形成短暂电流？
绝缘层没有导电，电容器为什么能“充上电”？
把两块金属板分别接到直流电源两端。刚接通时，导线中有电流；过一会儿，电流却逐渐减小到零。拆掉电源，再用导线把两块板接到小灯泡两端，灯泡可能短暂发光。你可能会这样想：既然两板之间绝缘，充电时的电流一定穿过了绝缘层吧？可如果绝缘层真让电荷不断穿过，稳定后电流就不该消失。同一组金属板只因连接方式改变就出现不同现象，这已经提醒我们：先弄清电荷有没有进出极板的通路，才能判断后面的电荷量、电压和电场。
真正发生的事在外电路里：电源把电子从一块板搬到另一块板，使两板分别积累等量异号电荷。绝缘间隔阻止它们直接中和，电场和能量则建立在两板之间。
这也说明，电容器储存电荷并不要求电荷穿过绝缘层。两个彼此绝缘、又相距很近的导体，就组成一个电容器。导体不一定非得是平板，也可以是圆筒、球壳或其他形状。常见示意图画成两块平行金属板，只是因为这种结构容易研究。
电容器充电后，一块极板带电荷量 ，另一块带 。我们说“电容器所带的电荷量为 ”，指的是任意一个极板所带电荷量的绝对值，不是两板电荷量的代数和，也不是绝对值相加后的 。
充电是使电容器两极板积累等量异号电荷的过程。充电时，传统电流沿外电路从电源正极流向电容器正极板，并从另一极板流向电源负极；电荷并没有穿过理想绝缘介质。充电完成后，理想直流电路中的电流为零，电容器两端电压与所接电源电压相等，能量储存在电场中。
放电是让两极板的异号电荷通过外电路逐渐中和的过程。放电电流方向与充电电流方向相反，储存的电场能转化为电阻的内能、灯泡的光能等其他形式的能。
电流回到零，极板并没有“空”
注意，这是个陷阱：充电结束后电流为零，只说明单位时间内不再有净电荷沿外电路迁移，不能推出极板电荷量为零。恰恰相反，此时两板已经积累稳定的异号电荷，板间存在电势差和电场。
另一个常见误解是把“电容器所带电荷量”理解成两板电荷量的代数和。理想情况下两板的代数和确实是零，可电容器显然已经充了电，所以定义必须取一个极板电荷量的绝对值。
断开电源，不等于给电容器放电
设一个理想电容器接在直流电源两端并充分充电，然后断开与电源的连接，同时保持两极板和外部导线绝缘。外电路电流当然为零，但极板电荷量会不会也立刻归零？先盯住电荷有没有离开极板的通路，别把“断开”自动翻译成“放完了”。
没有新的导电通路，理想电容器所带电荷量就保持不变；只有再用电阻连接两板，才真正形成放电通路，电荷量逐渐减小，电流方向与充电时相反。在复习题中，一看到开关断开就写 是典型错误。判断的落脚点应当是：有没有允许电荷离开极板的闭合通路？
到这里，电容器“怎样带电”已经清楚了，可“能带多少电”仍没有答案。两只电容器都接到 电源上，极板电荷量可能相差很大；要比较这种差别，就需要电容这个物理量。
电容：同样的电压，谁能带更多电荷？
甲电容器带 电荷，乙电容器带 电荷。能不能立刻说乙的储存电荷本领更强？还不能。假如甲只用了 ，乙却用了 ，两者承受的“推动电荷分离的条件”不同，单看 就像只比较装了多少水，却不问容器被压到了多高的水压。
真正可比的是单位电压对应的电荷量。对一个确定的线性电容器，在正常工作范围内，两极板间电势差 增大时，所带电荷量 按相同比例增大。比值
保持不变，这个比值叫作电容器的电容。电容 表示电容器储存电荷的本领：在相同电压下， 越大，电容器所带电荷量越大。
电容的国际单位是法拉，简称法，符号为 。法拉是很大的单位，实际中常见微法和皮法：
也就是说，，。单位换算时，前缀差几个数量级，结果就会差几个数量级。
在 图像中，横轴取 、纵轴取 时，直线斜率 就是电容 。斜率越大，表示同样增加一点电压时可以增加更多电荷，储存电荷的本领越强。
定义式不会让电容跟着 、 变化
你可能会把 读成“ 越大， 越大； 越大， 越小”。这恰好把定义式看成了决定式。这个式子用来定义和测量电容，不是说改变工作状态就能改变电容。一个确定的电容器，在没有改变结构、介质且未超出正常工作范围时， 与 同比例变化，比值 不变。
电容器外壳标注的额定电压或耐压值也不能忽略。超过允许电压，介质可能被击穿，电容器会失效甚至损坏。“电容越大”只描述储存电荷的本领，不等于“可以承受的电压越高”。
一只 电容器接到 电源
先自己判断两个问题：这只电容器充分充电后，一个极板所带电荷量的绝对值是多少？如果把电源电压减为 ，它的电容会不会也减半？先别让公式替你抢答，分清题目问的是电荷量，还是电容器本身的性质。
电荷量由 得
若电压降到 ，所带电荷量降为 ，但电容仍为 。这里变化的是工作状态，不是电容器的储存本领。复习时看到 ，要先问“电容器本身是否改变”；把 当成随 、变化的量，是概念判断题中最常见的失分原因之一。
那么，什么才算“电容器本身改变”？极板的几何关系和板间介质都会算。平行板电容器把这些结构因素写进了一条清楚的决定式。
平行板电容器：结构怎样决定电容？
一只已经装好的平行板电容器，极板材料没换，电路也没动。只把两块板稍微拉远，电容却变小；让两板正对得更多，电容又变大；插入玻璃后，电容还会继续增大。这说明“电容器本身”不是只指材料名称，而是包括极板的几何关系和板间介质。
在极板面积较大、板间距远小于极板线度，并忽略边缘效应的近似下，结构与电容的关系为
其中 是两极板的正对面积， 是板间距离， 是板间介质的相对介电常数， 是真空介电常数。若用静电力常量 表示，也可写成
所以，正对面积越大、相对介电常数越大，电容越大；板间距离越大，电容越小。这里说的是“正对面积”，两块板各自面积没变但相互错开时， 仍会减小。
连接状态决定谁能保持不变
结构变化只是第一层。若还要判断电荷量 、电压 和板间场强 ，首先要看电容器是否仍与电源相连。
情形一：电容器始终与理想电源相连。电源把两板电势差钳在恒定值，所以 不变。先由结构判断 ，再由 判断 ，最后由 判断场强。
情形二：电容器充电后与外电路断开。两板没有电荷进出的通路，所以 不变。先判断 ，再由 判断 ，最后由 判断场强。把决定式代入还能得到
因此，在 、、 都不变时，只改变板间距 ，板间场强 不变。这条结论看起来反直觉，却正是动态分析里最容易卡壳的一步。
为什么只改板间距，场强有时不变？
很容易让人只盯住分母 ，却忘了 也可能随结构变化。始终接电源时 不变，增大 才会让 减小；断开电源且 不变时，增大 会使 同比例增大，二者相除后 保持不变。
插入充满板间的电介质也要看边界。始终接电源时， 增大使 、 增大，而 、 不变，所以 不变；断开电源时， 不变， 增大， 和 都减小。
若题目还问某固定点的电势，必须先找零电势参考点。接地极板的电势取零，在匀强电场中再按该点到接地板的距离求电势差。只说“场强不变”，还不足以判断一个跟着极板移动的点或固定点电势是否变化。
两只电容器一起拉开极板，变化会相同吗？
两只初始参数相同的平行板电容器，第一只始终接在电源上，第二只充分充电后与电源断开。保持 和介质不变，同时把它们的板间距 变为原来的 倍。请先判断两只电容器的 、、 和 各怎样变化；尤其别急着从 直接下结论。
先处理共同的结构变化：由 ，两只电容器都有 。接下来，连接状态才让推理分开。
始终接电源的第一只中，，于是 ；又因 。断开电源的第二只中，，于是 ；再由 。
这类动态分析题通常要求先写出不变量和电容决定式。直接报结论却不说明接电源还是断开，既难检查推理，也容易误用 。草稿上依次写“边界量、、、”，比背整张变化表更稳。
同一条分析链也能服务真实测量：让压力、位移或液位改变 、 或 ，电容便会随之变化；电路再把这份变化转换成可读出的电信号。
电容式传感器：外界变化怎样成为电信号？
站上电子秤时，内部弹性结构发生微小形变。如果其中两片导体的距离随压力改变，它们的电容就会改变。电路测到的不是“压力本人”，而是电容这个中间量。类似地，滑片移动可以改变正对面积，液体上升可以改变板间有效介质。
电容式传感器常利用三条路径：压力使极板间距 改变；位移使正对面积 改变；液位或材料进入板间区域，使有效介质和相对介电常数发生变化。判断时不要先猜输出增大还是减小，而要先找“究竟是哪一个结构量在变”。
压力越大，输出一定怎样变吗？
你可能会看到“压力变大”就直接写“电容变大”。这还缺一步：压力究竟使 变小，还是让正对面积、介质发生了别的变化？只有读清结构图，才能把外界量映射到 、 或 。若采用“电容器充电后与电源断开、所带电荷量 不变、以极板电压 为输出量”的模型，并保持 和介质不变，则 。这时弹性结构在大压力下逐渐变硬，使 仍在减小但减小得越来越慢，才可推出 也随压力增大而减小得越来越慢。
断开电源后插入玻璃，谁保持不变？
设平行板电容器充电后与电源断开，保持 、 不变，再让玻璃充满板间。连接状态直接给出 不变； 增大使 增大，由 可知 减小， 不变时 也减小。
这里最容易漏掉的不是某个箭头，而是第一句“ 不变”。若题目继续追问电势、电势能或静电计偏角，也应从已经得到的 、 往下推，而不是另起一套猜测。
传感器把外界量变成电容变化；反过来，我们还能借助电流和电压的变化观察电容器本身的充放电过程。尤其是 曲线下方的面积，它记录了肉眼看不见的电荷转移。
充放电实验：电流表为什么只摆一下？
把单刀双掷开关拨到电源一侧，电流表指针迅速偏转，随后慢慢回零；拨到电阻一侧，指针反向偏转，再次回零。如果只看最后一刻，两次电流都是零，似乎什么都没发生。可两块极板的电荷量和电压已经经历了完整变化。
实验中应使用直流电源、电容器、保护电阻、单刀双掷开关以及电流或电压传感器。保护电阻能限制刚接通时的电流。充电开始时，电容器两端电压较小，电流较大；随着极板电荷积累，电容器电压升高，电流逐渐减小；充分充电后，电流趋近于零。
放电开始时，电容器两端电压较大，放电电流的绝对值较大；随后电荷量和电压不断减小，电流也逐渐趋近于零。充、放电电流方向相反，因此若传感器规定同一正方向，两条 曲线会落在时间轴两侧。
电流定义为单位时间内通过导体横截面的电荷量。对变化电流，可以把过程分成许多很短的时间段，每段转移的电荷量近似为 ，再把它们相加：
时间段分得越细，这个和就越接近真实转移电荷量。在 图像中，它对应图线与时间轴围成的有向面积。只求转移电荷量的大小时取面积绝对值。若电容器从电压 放到零，总放电荷量为 ；若放到某一时刻电压为 ，已经释放的电荷量为 ，剩余电荷量为 。
面积估算要服从曲线形状
注意，电流在变化，不能拿初始电流直接乘整个时间。只有图线恰好可按三角形、梯形等近似时，才能用对应几何面积估算；数据精度要求较高时，应按网格分割、数值积分或传感器给出的面积处理。
实验连线时还要注意电容器额定电压；若使用有极性电容器，正负端不得反接。改变开关位置前要确认电路路径，避免把电源直接短路。实验结束后，应通过合适电阻放电，不用导线直接短接大电容器。
放电曲线面积达到四分之三时，还剩多少电压？
一只电容器从初始电压 开始通过电阻放电。到某时刻， 图像从开始到该时刻的面积占整个放电曲线面积的 。整个面积对应初始电荷量 ，因此已经释放 ，极板上还剩 。电容器结构没有改变， 不变，所以此时电压为
实验题中常见的错误，是把“已经释放的电荷”直接当成“剩余电荷”，或者把图线落在时间轴下方误解为电荷量为负。稳妥的写法是先用面积求 ，再分清初始量、释放量与剩余量，最后代入 。
现在，我们已经能从结构判断电容，从连接状态判断电荷量和电压，还能从充放电曲线读出电荷转移。下一章会把带电粒子放进电容器形成的匀强电场中，继续追问同一个 或 将怎样改变粒子的速度和轨迹。
本章小结
电容器由两个彼此绝缘、相距很近的导体组成，所带电荷量指一个极板电荷量的绝对值。电容 描述储存电荷的本领，对确定电容器而言不由当前 、 决定。平行板电容器满足 ；动态分析先锁定“接电源时 不变”或“断开且绝缘时 不变”，再依次判断 、 和 。充放电过程中的电流逐渐趋近于零， 图像面积对应转移电荷量。
课后练习
第8题 电荷量计算
一只 的电容器两端电压为 。求一个极板所带电荷量的绝对值。
第9题 接电源时的组合变化
平行板电容器始终接在电压为 的理想电源上。把两板正对面积变为原来的一半，同时把板间距变为原来的 倍，介质不变。求 、、 各变为原来的多少。
第10题 断开电源后的板距变化
一平行板电容器充电后断开电源，保持正对面积和介质不变，把板间距减为原来的一半。判断 、、、 的变化比例。
第11题 由放电曲线面积估算电容
电容器初始电压为 ，放电 曲线可近似看成底为 、高为 的三角形，之后电流可忽略。估算电容器的电容。
第12题 接地极板与固定点电势
水平平行板电容器的上板带正电，下板接地。板间场强大小为 ，方向竖直向下，固定点 在下板上方 。求 点电势。若电容器已经与电源断开，保持上板电荷量、正对面积和介质不变，只把上板向上移动， 点电势怎样变化？忽略边缘效应。