串并联电路与电表改装

家里的吊灯、台灯和冰箱都接在同一套供电线路上。关掉台灯，冰箱不会跟着停；可一串旧式小彩灯里只要有一只灯泡断路，整串灯却可能全灭。明明都是“把用电器接起来”，为什么结果完全不同？再往前一步：一只只能承受很小电流的表头，为什么加上一个电阻，就能测很大的电压或电流？

这些现象背后只有两条主线：先看电流有几条路可走，再看每一段电路两端连接到哪些节点。本章会从这两条主线出发，建立串联、并联与混联电路的基本规律，再把它们用于电表改装。

只有一条通路时，连接点不能持续积累电荷

把两个电阻首尾相接。电荷通过第一个电阻后，只能继续通过第二个电阻。你可能会觉得，小电阻让电荷“走得快”，大电阻让电荷“走得慢”，于是两处电流会不同。可如果前后电流真的长期不同，中间连接点就会不断积累或流失电荷，局部电势与电场也会随之改变，这就不是稳定电流了。

稳定状态下，只有一条通路意味着连接点既不能持续只进不出，也不能持续只出不进，所以各处电流必须相等。几个导体依次首尾相连时，它们构成串联电路。对 $R_1、R_2、\cdots、R_n$，有

$I=I_1=I_2=\cdots=I_n$

从起点到终点经历的总电势降低，等于各部分电势降低之和，所以

$U=U_1+U_2+\cdots+U_n$

再对每个定值电阻使用 $U_k=IR_k$，可得串联电路的等效电阻

$R_{\text{串}}=R_1+R_2+\cdots+R_n$

这里的“等效”不是说原来的电阻消失了，而是说从这段电路的两个端点向里看，用一个 $R_{\text{串}}$ 替代整组电阻后，端口电压与总电流的关系不变。

同一个电流怎样决定分压

串联时 $I_1=I_2$，于是

$\frac{U_1}{U_2}=\frac{IR_1}{IR_2}=\frac{R_1}{R_2}$

这就是串联分压规律：电阻越大，分到的电压越大。最容易混进来的错误，是把“电阻大，电流小”搬到这里；那句话只适合比较两端电压相同的不同电阻。串联的两个电阻里，电流本来就相同，不能再按阻值给它们分出不同电流。

所有电阻均为正值时，串联总电阻大于其中任意一个电阻。若有 $n$ 个相同电阻 $R$ 串联，总电阻为 $nR$。某一个串联电阻增大而连接方式不变时，总电阻也增大。

用一组数值把这个陷阱拆开：$R_1=2\ \Omega$、$R_2=4\ \Omega$ 串联在 $12\ \text{V}$ 的恒定电压两端。不要按“电阻大，电流小”给两只电阻分配电流；整条通路的总电阻是 $6\ \Omega$，所以电流只有一个值，$I=12/6=2\ \text{A}$。于是 $R_2$ 两端电压为 $U_2=IR_2=8\ \text{V}$。若直接按 $U_1:U_2=R_1:R_2=1:2$ 分压，也会得到同样结果。

放到高考复习里，这类题最常见的失分点是把“串联同电流”和“同电压下电流与电阻成反比”混在一起。判断连接关系后，先把共同量写在纸上：串联先写同电流，并联才写同电压。

只有一条路时，连接点不能持续积累电荷；一旦导线分岔，电流可以分开走，共同量也会随连接关系一起改变。

岔路口出现后，同一对节点锁定共同电压

两只灯泡分别接在同一对接线柱之间。较亮的一支电流可能较大，较暗的一支电流可能较小。有人便顺手猜：“电流不同，两端电压也一定不同。”问题在于，两条支路的起点接在同一个节点，终点也接在另一个共同节点。理想导线内电势处处相同，同一对节点之间的电势差只有一个值，不会因为选择了不同路径就变成两个答案。

几个导体的一端接在同一个节点，另一端也接在另一个共同节点，这种连接叫作并联。各支路两端电压相等：

$U=U_1=U_2=\cdots=U_n$

电流到达分支节点时，总电流等于流入各支路电流之和：

$I=I_1+I_2+\cdots+I_n$

把 $I_k=U/R_k$ 代入，可得

$\frac{1}{R_{\text{并}}}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}$

两个电阻并联时，常写成

$R_{\text{并}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

分流比与等效电阻的范围

两支路电压相同，所以

$\frac{I_1}{I_2}=\frac{U/R_1}{U/R_2}=\frac{R_2}{R_1}$

并联分流时，电流之比与电阻之比相反：小电阻分到大电流，大电阻分到小电流。若 $n$ 个相同电阻 $R$ 并联，等效电阻为 $R/n$。

并联结果还有一个很实用的范围自检：可供电流通过的路径更多，所以正电阻并联的等效电阻一定小于其中最小的支路电阻。算完若得到比各支路都大的数，不必往后算，前面一定出了错。

拿 $6\ \Omega$ 与 $3\ \Omega$ 并联在 $12\ \text{V}$ 两端检验这些关系。共同电压已经确定，两支路电流分别是 $2\ \text{A}$ 和 $4\ \text{A}$；总电流为 $6\ \text{A}$，因此等效电阻为 $R_{\text{并}}=12/6=2\ \Omega$。如果再并联一只正电阻，倒数和继续增大，等效电阻会进一步减小。

复习题里常把“增加电阻”说得很模糊：把一只电阻串入原电路，总电阻增大；把一只电阻并到原电路两端，总电阻减小。物体还是那只电阻，连接动作不同，结论就相反。下一步要解决的是：图画得再绕，怎么认出它到底接在哪两个节点之间。

电路图可以画弯，节点关系不会变

复杂电路图里，两个电阻可能画得平行，却没有接在同一对节点上；另两个电阻画得一上一下，电流却只能依次通过。只凭“图像像不像”判断串并联，很容易被导线的弯折骗到。

先追踪导线，再看元件位置

电路的骨架是连接关系，不是几何形状。理想导线连接且中间没有元件隔开的点，属于同一个等电势节点；导线跨越但没有连接点标记时，通常不算相连，仍要服从题图的规范标注。面对混联电路，可以这样逐层整理：

短路与断路会先改写连接关系

理想导线跨接在某个电阻两端时，这个电阻两端电压为零，被导线短路；断开的开关所在支路不能形成持续电流，是断路。两种情况都会先改变连接关系，不能把原图里的每一只电阻机械地塞进串并联公式。

例如，$6\ \Omega$ 与 $3\ \Omega$ 并联后，再与 $4\ \Omega$ 串联。并联部分等效为 $2\ \Omega$，全电路等效为 $6\ \Omega$。若这段电路两端加 $12\ \text{V}$，串联干路电流为 $2\ \text{A}$；$4\ \Omega$ 电阻分得 $8\ \text{V}$，并联部分分得 $4\ \text{V}$，两支路电流分别为 $2/3\ \text{A}$ 与 $4/3\ \text{A}$，相加恰好回到 $2\ \text{A}$。

这里可以用两个判断检查自己：两个电阻有一个公共连接点，是否就一定串联？两个电阻在图上上下并排，是否就一定并联？答案都是否定的。串联不仅要有公共连接点，还要求该节点没有分支；并联则要求两端分别接在同一对节点上。与其看图形姿势，不如逐个写清“电流有没有岔路”“元件接在哪两个节点”。

在高考电路化简中，真正的给分点往往不是最后那次除法，而是等效关系写对了。碰到开关变化、导线跨接或电表接入，先重画等效图，再列式，比盯着原图硬算稳得多。电表正是会改变连接关系的特殊元件，下面先看看理想电表为何有近乎相反的接法。

电表接入以后，它就是原电路的一部分

想测一只电阻两端的电压，若把电压表串在电路里，电流几乎过不去；想测通过电阻的电流，若把电流表并在电阻两端，又可能让大量电流绕过原电阻。测量工具并不是“站在旁边看”，它一旦接入，就参与了电流的分配。

取电流要串联，取电压要并联

理想电流表的内阻为零，接入时相当于一段理想导线；为测量某支路电流，它必须与该支路串联。理想电压表的内阻为无穷大，接入时相当于断路；为测量两个节点间的电压，它必须与被测部分并联。

内阻决定接入效应能否忽略

题目说“电表均为理想电表”时，可以在判断连接关系时把理想电流表看成导线、理想电压表看成断路。但这只是等效分析，不能说“电流表两端一定没有电流”或“电压表两端一定没有电压”：理想电流表可以有电流而电压为零，理想电压表可以有电压而电流为零。

实际电流表内阻 $R_A$ 虽小却不为零，串联接入后会使该支路总电阻增大；只有当 $R_A$ 远小于接表前该支路的等效电阻时，这种改变才可以说“很小”。实际电压表内阻 $R_V$ 虽大却不是无穷大，并联接入后会分走电流；只有当 $R_V$ 远大于被测部分电阻 $R_x$ 时，分流和对原电路的扰动才较小。这就是电表的接入效应或负载效应。

若电表内阻不能忽略，就必须把它当作普通电阻放回网络。电压表与被测电阻并联，使该部分等效电阻减小；电流表与被测支路串联，使该支路电阻增大。不能一边说“内阻不可忽略”，一边又把电表从电路图上擦掉。

比值能把“误差小不小”说得更准确。电压表与 $R_x$ 并联时，在共同电压下有 $I_V/I_x=R_x/R_V$；$R_V/R_x$ 越大，电压表分走的电流相对越少。若一只电阻 $R$ 单独接在恒定端电压下，串入电流表前后电流之比为 $I'/I_0=R/(R+R_A)$；$R_A/R$ 越小，电流改变越小。题目不给出足够大的或足够小的比值时，不能只凭“电压表内阻大、电流表内阻小”就宣布影响可以忽略。

这个条件并非多余的修饰。两只 $10\ \text{k}\Omega$ 电阻串联在 $10\ \text{V}$ 两端，未测量时每只分得 $5\ \text{V}$。若用内阻同为 $10\ \text{k}\Omega$ 的电压表测第二只电阻，$R_V$ 与 $R_x$ 的比值只有 1，负载效应显然不能忽略。电压表与第二只电阻并联后，这一部分等效为 $5\ \text{k}\Omega$，再与第一只 $10\ \text{k}\Omega$ 串联，所以示数为

$U'=10\times\frac{5}{10+5}\ \text{V}=\frac{10}{3}\ \text{V}$

这只有 $10/3\ \text{V}$，小于未测量时的 $5\ \text{V}$。高考题若特别强调“电表内阻不能忽略”，通常就是提醒你把电表作为电阻参与串并联化简；若说“理想电表”，再使用零内阻或无穷大内阻的极限模型。

实际电表为何能做到一个内阻很大、一个内阻很小？答案要从它们共同的核心——小量程电流表，也就是表头——开始。

表头的三个满偏参数：$I_g、R_g、U_g$

一只表头的指针偏到刻度尽头时，有人说它“承受了最大电压”，也有人说它“承受了最大电流”。这两句话描述的是同一满偏状态的两个侧面。

满偏状态把电流、电阻和电压锁在一起

小量程电流表的线圈有电阻，称为表头内阻，记为 $R_g$。使指针恰好达到满刻度的电流叫满偏电流，记为 $I_g$；此时表头两端的电压叫满偏电压，记为 $U_g$。三者满足

$U_g=I_gR_g$

表头本质上先感受流过线圈的电流。改装电表的核心任务，是在被测总量已经较大时，仍让通过表头的电流不超过 $I_g$。

量程与内阻不是一回事

量程表示仪表能够按刻度测量的最大值；内阻表示电表接入电路后本身对电流的阻碍。二者有联系，却不是同一个物理量。满偏是正常刻度的上限，不等于线圈已经损坏；但超过量程会使表头电流超过 $I_g$，可能造成指针猛烈撞限位或线圈过热。

在默认线性表头模型中，指针偏转格数与表头电流成正比。改装不会改变表头本身的 $I_g$ 和 $R_g$，改变的是外部网络如何分担电压或电流，以及整只新电表的量程和内阻。

例如，某表头 $I_g=1.0\ \text{mA}$、$R_g=100\ \Omega$，它的满偏电压只有

$U_g=I_gR_g=1.0\times10^{-3}\times100\ \text{V}=0.10\ \text{V}$

若直接把它接到 $3.0\ \text{V}$ 两端，会远超满偏状态，不能正常测量。

复习中要先统一单位：毫安先化为安培，再与欧姆相乘。漏掉 $10^{-3}$ 会让后面分压电阻差一千倍。怎样让 $3.0\ \text{V}$ 中只有 $0.10\ \text{V}$ 落在表头上？这正是串联分压电阻要做的事。

串联分压把表头改成电压表

继续使用刚才的表头。若希望待测电压达到 $3.0\ \text{V}$ 时指针恰好满偏，表头自己只能承受 $0.10\ \text{V}$，剩下的 $2.90\ \text{V}$ 必须由另一个元件承担。要让这个元件和表头通过相同电流，最自然的连接就是串联。

从量程上限写出串联总电压

把电阻 $R_s$ 与表头串联。新电压表达到量程上限 $U$ 时，整个串联支路的电流恰为 $I_g$，因此

$U=I_g(R_g+R_s)$

所以所需分压电阻为

$R_s=\frac{U}{I_g}-R_g$

若把量程扩大倍数记为 $n=U/U_g$，利用 $U_g=I_gR_g$，还可写成

$R_s=(n-1)R_g$

改装后电压表的内阻为

$R_V=R_g+R_s=\frac{U}{I_g}=nR_g$

外加电阻与整表内阻要分清

刚才的数据给出 $R_s=3.0/(1.0\times10^{-3})-100=2900\ \Omega$，改装后总内阻 $R_V=3000\ \Omega$。满偏时表头分得 $0.10\ \text{V}$，串联电阻分得 $2.90\ \text{V}$，相加正好为 $3.0\ \text{V}$。

注意两个陷阱。第一，公式算的是外加分压电阻 $R_s$，要从总内阻中减去原有 $R_g$；第二，电压表量程越大，在同一表头下所需串联电阻越大，改装后的总内阻也越大。目标量程若不大于 $U_g$，就不属于这里的“扩大量程”模型。

因此，同一表头分别做成 $3\ \text{V}$ 和 $15\ \text{V}$ 两个量程时，$15\ \text{V}$ 挡需要更大的串联电阻。若测同一个不超过 $3\ \text{V}$ 的电压，$3\ \text{V}$ 挡的指针偏转比例更大，读数更容易分辨；$15\ \text{V}$ 挡虽然安全，指针却只走过较小的一段刻度。

高考电表改装题的给分链条通常是：先写满偏时表头电流为 $I_g$，再写总电压由表头与分压电阻共同承担，最后求电阻。若只背 $(n-1)R_g$ 而没认出 $n=U/U_g$，换一个符号就容易失去方向。电压靠串联分担，那么大电流又该怎样绕开表头？

并联分流把表头改成电流表

若要用 $I_g=1.0\ \text{mA}$ 的表头测量 $0.10\ \text{A}$，新表满偏时只有百分之一的总电流能够流过表头，其余电流必须另找一条路。给表头串联电阻只会让所有电流仍依次通过表头，解决不了问题；真正需要的是一条并联的分流通道。

满偏时，表头与分流支路同电压

把分流电阻 $R_p$ 与表头并联。总量程为 $I$ 时，新表达到量程上限，表头电流为 $I_g$，分流支路电流为 $I-I_g$。两支路电压相同，所以

$I_gR_g=(I-I_g)R_p$

从而

$R_p=\frac{I_gR_g}{I-I_g}$

若量程扩大倍数为 $n=I/I_g$，则

$R_p=\frac{R_g}{n-1}$

改装后电流表内阻等于这两个电阻的并联等效值，也可由端电压除以总电流得到：

$R_A=\frac{I_gR_g}{I}=\frac{R_g}{n}$

量程越大，分流电阻反而越小

代入 $I_g=1.0\ \text{mA}$、$R_g=100\ \Omega$、$I=0.10\ \text{A}$，满偏电压仍为 $0.10\ \text{V}$，分流电流为 $0.099\ \text{A}$，所以

$R_p=\frac{0.10}{0.099}\ \Omega\approx1.01\ \Omega$

整只电流表的内阻为 $R_A=0.10/0.10\ \Omega=1.0\ \Omega$。分流电阻略大于整只电流表内阻，是因为整只电流表是 $R_p$ 与 $R_g$ 的并联值。

最反直觉的是量程与分流电阻的变化方向：同一表头改装的电流表量程越大，需要绕过表头的电流越多，因此分流电阻越小，改装后的内阻也越小。量程为 $10I_g$ 时，分流电阻是 $R_g/9$；量程增至 $100I_g$ 时，它减为 $R_g/99$。若误把这个电阻串在表头上，总电流仍必须流过表头，根本没有分流；得到的反而是电压表式的“大内阻”结构。

多量程电表换接线柱后，电阻之间还可能出现新的串并联关系，不能把每个挡位都想成“表头只并联一个孤立电阻”。下面这只三端电流表就会让同一只电阻在两个挡位中扮演不同角色。

高考中常把电压表、电流表改装放在同一问里。最稳的判断不是背“大串小并”四个字，而是先问：要让多余的电压由谁承担，还是让多余的电流从哪里绕行？回答清楚以后，串联分压与并联分流会自己出现。

双量程电流表：换接线柱就要换等效图

有一只表头 $I_g=1.0\ \text{mA}$、$R_g=100\ \Omega$。双量程结构有三个节点：表头接在 $a、c$ 之间；$R_1$ 接在 $a、b$ 之间；$R_2$ 接在 $b、c$ 之间。使用 $a、c$ 两端时量程为 $0.10\ \text{A}$，使用 $a、b$ 两端时量程为 $0.50\ \text{A}$。同样三只元件，换端子后串并联关系已经改变。

两组端子，两张满偏等效图

使用 $a、c$ 且新表达到 $0.10\ \text{A}$ 量程上限时，表头与 $R_1、R_2$ 的串联支路并联。表头支路电流恰为 $I_g$，另一支路电流为 $0.10-I_g$，于是

$I_gR_g=(0.10-I_g)(R_1+R_2)$

改用 $a、b$ 且新表达到 $0.50\ \text{A}$ 量程上限时，$R_1$ 成为直接跨在端口间的支路，另一支路由表头与 $R_2$ 串联。流过表头和 $R_2$ 的电流均为 $I_g$，流过 $R_1$ 的电流为 $0.50-I_g$：

$I_g(R_g+R_2)=(0.50-I_g)R_1$

代入 $I_g=1.0\times10^{-3}\ \text{A}$、$R_g=100\ \Omega$，得到

$R_1+R_2=\frac{0.10}{0.099}\ \Omega\approx1.010\ \Omega$

联立第二个满偏方程，解得

$R_1\approx0.202\ \Omega,\qquad R_2\approx0.808\ \Omega$

同一只电阻会在不同挡位改变角色

$0.10\ \text{A}$ 挡中，起分流作用的是 $R_1+R_2$；$0.50\ \text{A}$ 挡中，直接分流的是 $R_1$，而 $R_2$ 转到表头支路中。两只电阻都参与了两个挡位，只是身份不同。因此，多量程题不能看见“某个小电阻”就单独套 $R_g/(n-1)$，必须先按当前端口重画等效图。

满偏方程也不能拿来描述所有读数。用 $a、b$ 的 $0.50\ \text{A}$ 挡测量 $0.20\ \text{A}$ 时，实际读数只是量程的 $0.20/0.50=40\%$。在线性表头模型中，表头实际电流为 $0.40I_g=0.40\ \text{mA}$，实际端电压为 $0.40U_g=0.040\ \text{V}$，而不是 $I_g$ 和 $U_g$。只有新表达到所选量程上限时，表头才恰好满偏。

复习多量程电表时，最常见的扣分原因是只看标称量程，不看使用了哪两个接线柱。先圈出端子，把未接通支路删去，再标出每一段电流；每个量程都列一组满偏方程，方程中哪些电阻共用、哪些电流相加，会由等效图直接告诉你。

把整章压成一张判断清单

下一章将把电表真正放进测量过程：如何选择量程、怎样连接、怎样减小接入误差并从读数得到电阻。到那时，本章的理想与实际内阻会从“概念提醒”变成实验方案的关键条件。

课后练习

练习 1：串联分压

$R_1=5\ \Omega$、$R_2=15\ \Omega$ 串联在 $20\ \text{V}$ 的恒定电压两端。求总电阻、电流以及两电阻两端电压。

练习 2：并联分流

$4\ \Omega$ 与 $12\ \Omega$ 并联在 $12\ \text{V}$ 两端。求各支路电流、总电流和等效电阻。

练习 3：相同电阻的组合

六只阻值均为 $R$ 的电阻，先每三只串联成一组，再把两组并联。求总电阻。

练习 4：混联电路

$6\ \Omega$ 与 $3\ \Omega$ 并联后再与 $4\ \Omega$ 串联，接在 $18\ \text{V}$ 两端。求总电流和并联部分两端电压。

练习 5：短路与断路

一只电阻两端被理想导线直接连接，另一条含电阻的支路中开关断开。说明这两只电阻是否有电流，并指出判断依据。

练习 6：实际电压表的接入效应

两个 $20\ \text{k}\Omega$ 电阻串联在 $12\ \text{V}$ 两端。用内阻为 $20\ \text{k}\Omega$ 的电压表测其中一只电阻的电压，求示数。

练习 7：实际电流表的接入效应

一只 $9\ \Omega$ 电阻接在 $9\ \text{V}$ 的恒定电压两端，原电流为 $1\ \text{A}$。串联内阻为 $1\ \Omega$ 的实际电流表后，示数是多少？

练习 8：表头参数

某表头满偏电流 $I_g=500\ \mu\text{A}$，内阻 $R_g=200\ \Omega$。求满偏电压。

练习 9：电压表改装

仍用练习 8 的表头，将它改装成量程为 $3.0\ \text{V}$ 的电压表，需要串联多大的电阻？改装后内阻是多少？

练习 10：电流表改装

仍用练习 8 的表头，将它改装成量程为 $0.10\ \text{A}$ 的电流表。求分流电阻和改装后内阻。

练习 11：双量程端子模型

某表头 $I_g=2.0\ \text{mA}$、$R_g=50\ \Omega$。表头接在 $a、c$ 之间，$R_1$ 接在 $a、b$ 之间，$R_2$ 接在 $b、c$ 之间。使用 $a、c$ 时量程为 $0.10\ \text{A}$，使用 $a、b$ 时量程为 $0.50\ \text{A}$。求 $R_1、R_2$，并说明哪个挡位的内阻更小。

练习 12：理想电表辨析

本章收束

串联电路只有一条电流路径，所以各处电流相同，总电压和总电阻逐段相加；并联电路的各支路跨接在同一对节点之间，所以电压相同，总电流相加，等效电阻的倒数相加。复杂图先标节点、再辨串并联，遇到短路、断路和电表接入时要先重建连接关系。

表头用 $I_g、R_g、U_g$ 描述满偏状态，且 $U_g=I_gR_g$。串联较大的分压电阻可改装成电压表，并联较小的分流电阻可改装成电流表。所有改装公式都能由“新表达到量程上限时，表头电流恰为 $I_g$、端电压恰为 $U_g$”和串并联基本规律重新推出；未满量程时应改写为实际的 $i_g$ 与 $u_g=i_gR_g$。多量程题还要按实际端子分别重画等效电路，不能把不同挡位的满偏方程混成一条。