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上一节反三角函数：从比值反求角下一节和差公式、倍角公式与化简策略
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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型基本恒等式：勾股、商、倒数与对称

基本恒等式：勾股、商、倒数与对称

学三角恒等式时，最容易掉进一个坑：把它们当成一张公式表。表当然有用，但如果只背表，很快就会分不清什么时候能用、为什么要看象限、分母为零时为什么必须停下来。

这一章把基本恒等式重新放回单位圆。单位圆上一点的坐标是 (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x)(cosx,sinx)，这一个事实会同时给出勾股恒等式、商恒等式、倒数恒等式、奇偶性和周期性。你会看到，恒等式不是额外出现的规则，而是定义和对称性留下的痕迹。

三角恒等式说的是：在两边都有定义的角上，两个表达式的值总是相等。所以每次化简前都要看定义域。把 sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}cosxsinx​ 写成 tan⁡x\tan xtanx 时，已经默认 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。

勾股恒等式来自单位圆

单位圆的方程是

X2+Y2=1X^2+Y^2=1X2+Y2=1

如果角 xxx 的终边与单位圆交于点 PPP，那么这个点的坐标是

P=(cos⁡x,sin⁡x)P=(\cos x,\sin x)P=(cosx,sinx)

把坐标代回单位圆方程，就得到

(cos⁡x)2+(sin⁡x)2=1(\cos x)^2+(\sin x)^2=1(cosx)2+(sinx)2=1

通常写成

cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1cos2x+sin2x=1

或者

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1

这里的 sin⁡2x\sin^2 xsin2x 表示 (sin⁡x)2(\sin x)^2(sinx)2，不是 sin⁡(x2)\sin(x^2)sin(x2)。这条恒等式之所以对所有实数角成立，是因为无论角转到哪里，点 PPP 始终在半径为 111 的圆上。

单位圆上一点 P 的横向投影为 cos θ、纵向投影为 sin θ，半径为 1，构成直角三角形并说明 sin²θ + cos²θ = 1。

图：勾股恒等式来自单位圆：横纵投影的平方和等于半径平方 1。

如果从直角三角形看，cos⁡x\cos xcosx 和 sin⁡x\sin xsinx 是两条直角边，半径 111 是斜边。勾股定理说两条直角边平方和等于斜边平方，于是平方和就是 111。如果从坐标看，它就是单位圆方程本身。

已知一个值，求另一个值

勾股恒等式常用来从 sin⁡x\sin xsinx 求 cos⁡x\cos xcosx，或者从 cos⁡x\cos xcosx 求 sin⁡x\sin xsinx。关键不是只开平方，还要根据象限决定正负号。

例题：已知 sin⁡θ=35\sin \theta=\frac{3}{5}sinθ=53​，且 θ\thetaθ 在第二象限，求 cos⁡θ\cos\thetacosθ 与 tan⁡θ\tan\thetatanθ。

先使用勾股恒等式，把已知的 sin⁡θ\sin\thetasinθ 代入：

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1sin2θ+cos2θ=1

计算得到

(35)2+cos⁡2θ=1\left(\frac{3}{5}\right)^2+\cos^2\theta=1(53​)2+cos2θ=1

所以

cos⁡2θ=1625\cos^2\theta=\frac{16}{25}cos2θ=2516​

开平方时先得到两个可能值：

cos⁡θ=±45\cos\theta=\pm\frac{4}{5}cosθ=±54​

第二象限的横坐标为负，所以 cos⁡θ=−45\cos\theta=-\frac{4}{5}cosθ=−54​。

最后使用正切的坐标比：

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=35−45=−34\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{\frac35}{-\frac45}=-\frac34tanθ=cosθsinθ​=−54​53​​=−43​

从平方值开平方时，符号不能靠手感决定。先看角所在象限，也就是单位圆点的横坐标和纵坐标符号。

商恒等式把正切带回坐标比

在单位圆上，P=(cos⁡x,sin⁡x)P=(\cos x,\sin x)P=(cosx,sinx)。从原点看这条终边，它的斜率是

纵向变化横向变化=sin⁡xcos⁡x\frac{\text{纵向变化}}{\text{横向变化}}=\frac{\sin x}{\cos x}横向变化纵向变化​=cosxsinx​

正切描述的正是这个比值，所以

tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​

这条恒等式的条件是 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。当终边竖直时，横向变化为 000，斜率不存在，正切也无定义。

单位圆中点 P=(cos θ, sin θ) 的坐标比说明 tan θ = sin θ / cos θ。

图：商恒等式来自单位圆上半径射线的斜率：纵向变化为 sin θ，横向变化为 cos θ，因此 tan θ = sin θ / cos θ。

同样地，余切是正切的倒数，也可以写成

cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=sinxcosx​

它的条件是 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0。当终边落在 xxx 轴上时，纵向变化为 000，余切无定义。

不要把 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​ 当成可以无条件替换的字符串。若 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0，右边分母为 000，左边正切也无定义，化简必须停在定义域检查处。

例题：用坐标比判断正切

已知单位圆上一点 P=(−513,1213)P=\left(-\frac{5}{13},\frac{12}{13}\right)P=(−135​,1312​) 对应角 θ\thetaθ。求 sin⁡θ\sin\thetasinθ、cos⁡θ\cos\thetacosθ 和 tan⁡θ\tan\thetatanθ。

由单位圆定义可知

cos⁡θ=−513\cos\theta=-\frac{5}{13}cosθ=−135​ sin⁡θ=1213\sin\theta=\frac{12}{13}sinθ=1312​

因此

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=1213−513=−125\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta} =\frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} =-\frac{12}{5}tanθ=cosθsinθ​=−135​1312​​=−512​

点在第二象限，正切为负，这和计算结果一致。

倒数恒等式与定义域

倒数恒等式来自三个倒数定义。它们看起来很短，但每一条都有分母不能为 000 的条件。

倒数恒等式关系图，展示 sin θ 与 csc θ、cos θ 与 sec θ、tan θ 与 cot θ 互为倒数，并用单位圆提示分母不能为 0。

图：倒数恒等式把三角函数配成三组互为倒数的关系；使用时要先检查分母是否为 0。

函数倒数恒等式需要排除的角
余割csc⁡x=1sin⁡x\csc x=\frac{1}{\sin x}cscx=sinx1​sin⁡x=0\sin x=0sinx=0
正割sec⁡x=1cos⁡x\sec x=\frac{1}{\cos x}secx=cosx1​cos⁡x=0\cos x=0cosx=0
余切cot⁡x=1tan⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=tanx1​=sinxcosx​sin⁡x=0\sin x=0sinx=0

倒数关系也可以反过来用：

sin⁡x=1csc⁡x\sin x=\frac{1}{\csc x}sinx=cscx1​ cos⁡x=1sec⁡x\cos x=\frac{1}{\sec x}cosx=secx1​ tan⁡x=1cot⁡x\tan x=\frac{1}{\cot x}tanx=cotx1​

当表达式里出现 sec⁡x\sec xsecx、csc⁡x\csc xcscx、cot⁡x\cot xcotx 时，把它们写成 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx 往往会让结构变清楚。比如

sin⁡x⋅csc⁡x=1\sin x\cdot \csc x=1sinx⋅cscx=1

但这只在 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 时成立。因为 csc⁡x\csc xcscx 本身只在 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 时有定义。

从勾股恒等式推出两条常用形式

把

sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1

两边同时除以 cos⁡2x\cos^2 xcos2x，在 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0 时得到

tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x+1=\sec^2 xtan2x+1=sec2x

两边同时除以 sin⁡2x\sin^2 xsin2x，在 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 时得到

1+cot⁡2x=csc⁡2x1+\cot^2 x=\csc^2 x1+cot2x=csc2x

这两条也叫勾股恒等式，但它们不是新规则。它们只是第一条勾股恒等式除以不同的平方后得到的形式。

对称性是坐标符号的变化

单位圆有很多对称性。角变成 −x-x−x、π−x\pi-xπ−x、π+x\pi+xπ+x 或 2π−x2\pi-x2π−x 时，点在圆上的位置发生镜像或旋转，坐标的符号随之变化。

单位圆对称性示意图，标出 θ、-θ、π-θ、π+θ、2π-θ 五个相关角点及对应坐标变化。

图：单位圆上的对称性：通过 x 轴镜像、y 轴镜像和关于原点对称，比较相关角的坐标符号变化。

设

P=(cos⁡x,sin⁡x)P=(\cos x,\sin x)P=(cosx,sinx)

那么几个常见角对应的坐标是：

角单位圆点坐标得到的恒等式
−x-x−x(cos⁡x,−sin⁡x)(\cos x,-\sin x)(cosx,−sinx)cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx，sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx
π−x\pi-xπ−x(−cos⁡x,sin⁡x)(-\cos x,\sin x)(−cosx,sinx)cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos xcos(π−x)=−cosx，sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin xsin(π−x)=sinx
π+x\pi+xπ+x(−cos⁡x,−sin⁡x)(-\cos x,-\sin x)(−cosx,−sinx)cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos xcos(π+x)=−cosx，sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin xsin(π+x)=−sinx
2π−x2\pi-x2π−x(cos⁡x,−sin⁡x)(\cos x,-\sin x)(cosx,−sinx)cos⁡(2π−x)=cos⁡x\cos(2\pi-x)=\cos xcos(2π−x)=cosx，sin⁡(2π−x)=−sin⁡x\sin(2\pi-x)=-\sin xsin(2π−x)=−sinx

从第一行可以看出正弦和余弦的奇偶性：

sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx

再结合商恒等式，可以得到正切的奇偶性：

tan⁡(−x)=sin⁡(−x)cos⁡(−x)=−sin⁡xcos⁡x=−tan⁡x\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} =\frac{-\sin x}{\cos x} =-\tan xtan(−x)=cos(−x)sin(−x)​=cosx−sinx​=−tanx

所以正弦和正切是奇函数，余弦是偶函数。倒数函数也跟着变化：csc⁡x\csc xcscx 和 cot⁡x\cot xcotx 是奇函数，sec⁡x\sec xsecx 是偶函数。

对称恒等式的核心不是“把角放进括号然后套公式”，而是看单位圆点被反射到哪里。横坐标变号就影响余弦，纵坐标变号就影响正弦，二者的比值变号就影响正切。

周期恒等式来自重复到达

单位圆上转过一整圈以后会回到同一点。一整圈是 2π2\pi2π 弧度，所以

sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x+2\pi)=\sin xsin(x+2π)=sinx cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x+2\pi)=\cos xcos(x+2π)=cosx

更一般地，对于任意整数 kkk，

sin⁡(x+2πk)=sin⁡x\sin(x+2\pi k)=\sin xsin(x+2πk)=sinx cos⁡(x+2πk)=cos⁡x\cos(x+2\pi k)=\cos xcos(x+2πk)=cosx

正割和余割分别是余弦、正弦的倒数，所以它们也以 2π2\pi2π 为周期。

单位圆示意图：θ 与 θ+2π 回到同一点，θ 与 θ+π 的相对点在同一直线上，正切值相同。

图：周期恒等式：θ 与 θ+2π 对应单位圆上的同一点；相隔 π 的两点与原点共线且斜率相同，因此 tan(θ+π)=tan θ。

正切的周期更短。角增加 π\piπ 时，单位圆点走到相对点：

(cos⁡(x+π),sin⁡(x+π))=(−cos⁡x,−sin⁡x)(\cos(x+\pi),\sin(x+\pi))=(-\cos x,-\sin x)(cos(x+π),sin(x+π))=(−cosx,−sinx)

两个坐标同时变号，它们的比值不变：

tan⁡(x+π)=−sin⁡x−cos⁡x=tan⁡x\tan(x+\pi)=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan xtan(x+π)=−cosx−sinx​=tanx

所以

tan⁡(x+πk)=tan⁡x\tan(x+\pi k)=\tan xtan(x+πk)=tanx

其中 kkk 是整数，并且两边都要有定义。余切同样以 π\piπ 为周期。

例题：用周期和对称求值

求 sin⁡(−7π6)\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)sin(−67π​)。

先用奇偶性把负角处理掉：

sin⁡(−7π6)=−sin⁡(7π6)\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)sin(−67π​)=−sin(67π​)

7π6=π+π6\frac{7\pi}{6}=\pi+\frac{\pi}{6}67π​=π+6π​，所以

sin⁡(π+π6)=−sin⁡(π6)\sin\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)sin(π+6π​)=−sin(6π​)

因为 sin⁡(π6)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12sin(6π​)=21​，所以

sin⁡(7π6)=−12\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)=-\frac12sin(67π​)=−21​

回到第一步：

sin⁡(−7π6)=−(−12)=12\sin\left(-\frac{7\pi}{6}\right)=-\left(-\frac12\right)=\frac12sin(−67π​)=−(−21​)=21​

求值时先确定符号

很多求值题只给一个三角函数值和象限。它们看似是代数题，实质上仍然是单位圆题。

例题：已知 tan⁡θ=−2\tan\theta=-2tanθ=−2，且 θ\thetaθ 在第二象限。求 sin⁡θ\sin\thetasinθ、cos⁡θ\cos\thetacosθ 和 sec⁡θ\sec\thetasecθ。

先由第二象限判断符号：sin⁡θ>0\sin\theta>0sinθ>0，cos⁡θ<0\cos\theta<0cosθ<0，所以 tan⁡θ<0\tan\theta<0tanθ<0 与题目一致。

使用

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta=\sec^2\theta1+tan2θ=sec2θ

代入 tan⁡θ=−2\tan\theta=-2tanθ=−2，得到

sec⁡2θ=1+4=5\sec^2\theta=1+4=5sec2θ=1+4=5

第二象限中 cos⁡θ<0\cos\theta<0cosθ<0，所以 sec⁡θ=1cos⁡θ<0\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}<0secθ=cosθ1​<0。因此

sec⁡θ=−5\sec\theta=-\sqrt5secθ=−5​

由倒数关系得到

cos⁡θ=1sec⁡θ=−15=−55\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=-\frac{1}{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5}cosθ=secθ1​=−5​1​=−55​​

再用 tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}tanθ=cosθsinθ​：

−2=sin⁡θ−55-2=\frac{\sin\theta}{-\frac{\sqrt5}{5}}−2=−55​​sinθ​

所以

sin⁡θ=255\sin\theta=\frac{2\sqrt5}{5}sinθ=525​​

这个过程没有把角求出来。它只用到了象限、商恒等式、倒数恒等式和勾股恒等式。很多三角题正是这样工作的：不需要知道角的具体大小，也能确定函数值。

化简时要保留等价条件

化简不是让式子看起来短，而是在合法条件下把结构看清楚。一个可靠的顺序是：

  1. 先看分母、根号、倒数函数，写清楚哪些角不能取；
  2. 把 tan⁡x\tan xtanx、sec⁡x\sec xsecx、csc⁡x\csc xcscx、cot⁡x\cot xcotx 统一成 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx；
  3. 寻找 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1、1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x=\cos^2 x1−sin2x=cos2x、1−cos⁡2x=sin⁡2x1-\cos^2 x=\sin^2 x1−cos2x=sin2x；
  4. 约分前确认被约掉的因子不为 000。

三角恒等式化简策略流程图：先看定义域、化成 sin 和 cos、寻找 sin²+cos²、检查分母，并展示 tan x · cos x 化简为 sin x 的例子。

图：恒等式化简路线：先确认定义域，再统一表达形式，寻找勾股恒等式，最后检查分母条件。

例题：化简一个表达式

化简

1−cos⁡2xsin⁡x\frac{1-\cos^2 x}{\sin x}sinx1−cos2x​

其中 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0。

先认出 1−cos⁡2x1-\cos^2 x1−cos2x 来自勾股恒等式：

1−cos⁡2x=sin⁡2x1-\cos^2 x=\sin^2 x1−cos2x=sin2x

把原式改写为

sin⁡2xsin⁡x\frac{\sin^2 x}{\sin x}sinxsin2x​

因为题目已经要求 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0，可以约去一个 sin⁡x\sin xsinx，得到

sin⁡x\sin xsinx

如果忘记条件，直接把 sin⁡x\sin xsinx 约掉，就会误以为原式在所有角上都等于 sin⁡x\sin xsinx。但原式在 sin⁡x=0\sin x=0sinx=0 时根本没有定义。

例题：把倒数函数化成基本函数

化简

sin⁡x⋅csc⁡x+cos⁡x⋅sec⁡x\sin x\cdot \csc x+\cos x\cdot \sec xsinx⋅cscx+cosx⋅secx

先写出定义域条件：csc⁡x\csc xcscx 要求 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0，sec⁡x\sec xsecx 要求 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。

使用倒数恒等式：

sin⁡x⋅1sin⁡x+cos⁡x⋅1cos⁡x\sin x\cdot \frac{1}{\sin x}+\cos x\cdot \frac{1}{\cos x}sinx⋅sinx1​+cosx⋅cosx1​

在 sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 且 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0 时，两个乘积分别等于 111，所以原式化简为

222

本章的基本恒等式可以归成四个来源：单位圆方程给勾股恒等式，函数定义给商恒等式和倒数恒等式，单位圆对称给奇偶和相关角恒等式，整圈旋转给周期恒等式。

练习

  1. 已知 cos⁡θ=725\cos\theta=\frac{7}{25}cosθ=257​，且 θ\thetaθ 在第四象限，求 sin⁡θ\sin\thetasinθ 和 tan⁡θ\tan\thetatanθ。

第四象限中 sin⁡θ<0\sin\theta<0sinθ<0。由 sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta+\cos^2\theta=1sin2θ+cos2θ=1 得

sin⁡2θ=1−(725)2=576625\sin^2\theta=1-\left(\frac{7}{25}\right)^2=\frac{576}{625}sin2θ=1−(257​)2=625576​

所以 sin⁡θ=−2425\sin\theta=-\frac{24}{25}sinθ=−2524​。再用商恒等式：

tan⁡θ=−2425725=−247\tan\theta=\frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}=-\frac{24}{7}tanθ=257​−2524​​=−724​
  1. 化简 sec⁡2x−tan⁡2x\sec^2 x-\tan^2 xsec2x−tan2x，并说明需要什么定义域条件。

由 tan⁡2x+1=sec⁡2x\tan^2 x+1=\sec^2 xtan2x+1=sec2x 可得

sec⁡2x−tan⁡2x=1\sec^2 x-\tan^2 x=1sec2x−tan2x=1

这个表达式中 sec⁡x\sec xsecx 和 tan⁡x\tan xtanx 都要求 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。

  1. 判断 sin⁡(π−x)\sin(\pi-x)sin(π−x)、cos⁡(π−x)\cos(\pi-x)cos(π−x)、tan⁡(π−x)\tan(\pi-x)tan(π−x) 分别等于什么。

单位圆点从 (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x)(cosx,sinx) 反射到第二象限对应点 (−cos⁡x,sin⁡x)(-\cos x,\sin x)(−cosx,sinx)，所以

sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin xsin(π−x)=sinxcos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos xcos(π−x)=−cosx

当两边都有定义时，

tan⁡(π−x)=sin⁡x−cos⁡x=−tan⁡x\tan(\pi-x)=\frac{\sin x}{-\cos x}=-\tan xtan(π−x)=−cosxsinx​=−tanx
  1. 已知 sin⁡θ=−45\sin\theta=-\frac{4}{5}sinθ=−54​，且 θ\thetaθ 在第三象限，求 cos⁡θ\cos\thetacosθ、sec⁡θ\sec\thetasecθ 和 cot⁡θ\cot\thetacotθ。

第三象限中 cos⁡θ<0\cos\theta<0cosθ<0。由勾股恒等式得到

cos⁡2θ=1−(−45)2=925\cos^2\theta=1-\left(-\frac45\right)^2=\frac{9}{25}cos2θ=1−(−54​)2=259​

所以 cos⁡θ=−35\cos\theta=-\frac35cosθ=−53​。因此

sec⁡θ=−53\sec\theta=-\frac53secθ=−35​

并且

cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−35−45=34\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{-\frac35}{-\frac45}=\frac34cotθ=sinθcosθ​=−54​−53​​=43​
  1. 化简 tan⁡xsec⁡x\frac{\tan x}{\sec x}secxtanx​。

先写成正弦和余弦：

tan⁡xsec⁡x=sin⁡xcos⁡x1cos⁡x=sin⁡x\frac{\tan x}{\sec x} =\frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos x}} =\sin xsecxtanx​=cosx1​cosxsinx​​=sinx

原式要求 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0，因为 tan⁡x\tan xtanx 和 sec⁡x\sec xsecx 都在这些角上才有定义。

  1. 求 cos⁡(−5π3)\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)cos(−35π​)。

余弦是偶函数，所以

cos⁡(−5π3)=cos⁡(5π3)\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right)cos(−35π​)=cos(35π​)

而 5π3=2π−π3\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}35π​=2π−3π​，第四象限余弦为正，所以结果是

12\frac1221​
  1. 说明为什么 tan⁡(x+π)=tan⁡x\tan(x+\pi)=\tan xtan(x+π)=tanx，但通常不能说 sin⁡(x+π)=sin⁡x\sin(x+\pi)=\sin xsin(x+π)=sinx。

角增加 π\piπ 后，单位圆点从 (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x)(cosx,sinx) 变成 (−cos⁡x,−sin⁡x)(-\cos x,-\sin x)(−cosx,−sinx)。正切是坐标比：

−sin⁡x−cos⁡x=sin⁡xcos⁡x\frac{-\sin x}{-\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}−cosx−sinx​=cosxsinx​

所以正切不变。正弦只看纵坐标，纵坐标变成相反数，因此

sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx

一般不等于 sin⁡x\sin xsinx。

  1. 化简 1−sin⁡2xcos⁡x\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}cosx1−sin2x​，其中 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。

由勾股恒等式，

1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x=\cos^2 x1−sin2x=cos2x

所以

1−sin⁡2xcos⁡x=cos⁡2xcos⁡x=cos⁡x\frac{1-\sin^2 x}{\cos x} =\frac{\cos^2 x}{\cos x} =\cos xcosx1−sin2x​=cosxcos2x​=cosx

这里能约分是因为已知 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0。

  1. 如果 sec⁡θ=−135\sec\theta=-\frac{13}{5}secθ=−513​，且 θ\thetaθ 在第三象限，求 cos⁡θ\cos\thetacosθ、sin⁡θ\sin\thetasinθ 和 tan⁡θ\tan\thetatanθ。

由倒数恒等式，

cos⁡θ=1sec⁡θ=−513\cos\theta=\frac{1}{\sec\theta}=-\frac{5}{13}cosθ=secθ1​=−135​

第三象限中 sin⁡θ<0\sin\theta<0sinθ<0。由勾股恒等式，

sin⁡2θ=1−25169=144169\sin^2\theta=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}sin2θ=1−16925​=169144​

所以 sin⁡θ=−1213\sin\theta=-\frac{12}{13}sinθ=−1312​。于是

tan⁡θ=−1213−513=125\tan\theta=\frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}}=\frac{12}{5}tanθ=−135​−1312​​=512​
  1. 把 csc⁡(−x)\csc(-x)csc(−x)、sec⁡(−x)\sec(-x)sec(−x)、cot⁡(−x)\cot(-x)cot(−x) 分别写成关于 xxx 的表达式。

因为 sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin xsin(−x)=−sinx，所以

csc⁡(−x)=−csc⁡x\csc(-x)=-\csc xcsc(−x)=−cscx

因为 cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos xcos(−x)=cosx，所以

sec⁡(−x)=sec⁡x\sec(-x)=\sec xsec(−x)=secx

又因为 cot⁡x=cos⁡xsin⁡x\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}cotx=sinxcosx​，所以

cot⁡(−x)=cos⁡(−x)sin⁡(−x)=cos⁡x−sin⁡x=−cot⁡x\cot(-x)=\frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} =\frac{\cos x}{-\sin x} =-\cot xcot(−x)=sin(−x)cos(−x)​=−sinxcosx​=−cotx
  • 勾股恒等式来自单位圆
    • 已知一个值，求另一个值
  • 商恒等式把正切带回坐标比
    • 例题：用坐标比判断正切
  • 倒数恒等式与定义域
    • 从勾股恒等式推出两条常用形式
  • 对称性是坐标符号的变化
  • 周期恒等式来自重复到达
    • 例题：用周期和对称求值
  • 求值时先确定符号
  • 化简时要保留等价条件
    • 例题：化简一个表达式
    • 例题：把倒数函数化成基本函数
  • 练习

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  • 勾股恒等式来自单位圆
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    • 例题：用坐标比判断正切
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