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上一节三角函数变换与周期模型下一节基本恒等式：勾股、商、倒数与对称
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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型反三角函数：从比值反求角

反三角函数：从比值反求角

前面几章里，我们一直是从角出发：给定一个角 θ\thetaθ，在单位圆上读出 sin⁡θ\sin \thetasinθ、cos⁡θ\cos \thetacosθ 或 tan⁡θ\tan \thetatanθ。这一章把方向反过来：如果只知道一个比值，能不能把角找回来？

这个问题比看起来更微妙。因为三角函数会重复，同一个函数值常常对应不止一个角。反三角函数要成为真正的函数，必须先约定“只返回哪一个角”。这个被约定出来的角，叫 主值角。

学会反三角函数，不只是会按计算器上的反正弦、反余弦、反正切键。更重要的是看懂计算器结果的含义：它给的是主值，不一定是题目里的全部角。

为什么函数值不能唯一确定角

先看一个最直接的例子。在单位圆上，sin⁡θ\sin \thetasinθ 是点的纵坐标。如果一条水平线 y=ay=ay=a 穿过单位圆，通常会截出两个点。它们的纵坐标相同，所以正弦值相同，但对应的角不同。

单位圆中同一个正弦值对应两个不同角，水平线 y=a 与单位圆交于两点。

图：知道 sin⁡x=a\sin x=asinx=a 时，单位圆上可能有两个方向都满足这个条件。

例如，

sin⁡π6=12\sin \frac{\pi}{6}=\frac12sin6π​=21​

同时也有

sin⁡5π6=12\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12sin65π​=21​

如果继续加上整圈，还会得到更多角：

π6+2π,5π6+2π,π6−2π,5π6−2π\frac{\pi}{6}+2\pi,\quad \frac{5\pi}{6}+2\pi,\quad \frac{\pi}{6}-2\pi,\quad \frac{5\pi}{6}-2\pi6π​+2π,65π​+2π,6π​−2π,65π​−2π

所以，“sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​”不是只问一个角，而是在问所有让纵坐标等于 12\frac1221​ 的角。

反三角函数遇到的核心困难不是计算复杂，而是选择困难。一个输入如果可能对应多个输出，就不能直接定义成普通函数。

这个问题不只发生在正弦上。余弦看横坐标，同一条竖线也可能截出两个点；正切有周期 π\piπ，斜率相同的终边每隔 π\piπ 就重复一次。

反函数需要一一对应

一个函数想拥有普通意义下的反函数，原函数至少要在讨论的范围内一一对应。也就是说，同一个输出不能来自两个不同输入。

从图像上看，就是任何水平线最多只能与图像相交一次。正弦、余弦、正切在完整定义域上都做不到这一点。它们会周期重复，所以必须先截取一段不会重复的定义域。

反函数要先限制定义域

定义反三角函数时，我们不是把整个三角函数强行倒过来，而是先选出一段合适的角区间，让原函数在这段区间上一一对应。反函数的输出就被限制在这段区间内。

这段被选中的输出区间，就是反三角函数的 主值范围。

反正弦通过限制正弦定义域到负二分之π到二分之π得到主值区间。

图：把正弦限制在 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][−2π​,2π​] 后，每个允许的正弦值只对应一个角。

三个最常用的反三角函数约定如下：

函数输入范围输出主值范围含义
y=arcsin⁡xy=\arcsin xy=arcsinx−1≤x≤1-1\le x\le 1−1≤x≤1−π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}−2π​≤y≤2π​找一个主值角，使 sin⁡y=x\sin y=xsiny=x
y=arccos⁡xy=\arccos xy=arccosx−1≤x≤1-1\le x\le 1−1≤x≤10≤y≤π0\le y\le \pi0≤y≤π找一个主值角，使 cos⁡y=x\cos y=xcosy=x
y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanxxxx 为任意实数−π2<y<π2-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}−2π​<y<2π​找一个主值角，使 tan⁡y=x\tan y=xtany=x

三个反三角函数的定义域和值域总览表，分别列出反正弦、反余弦、反正切。

图：反三角函数先检查输入是否允许，再返回规定主值区间里的角。

符号 sin⁡−1x\sin^{-1}xsin−1x 在很多计算器和教材中表示 arcsin⁡x\arcsin xarcsinx，不是 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}sinx1​。如果要表示倒数函数，通常写成 csc⁡x\csc xcscx。

下面这个探究器可以切换反正弦、反余弦、反正切，观察输入值和输出主值角的关系。

为什么选择这些区间

这些主值区间不是唯一可能的选择，但它们有几个共同好处。

正弦和正切的主值区间都围绕 000 展开，和直角三角形中的锐角结果自然衔接。余弦的主值区间选为 [0,π][0,\pi][0,π]，因为在这段区间上余弦从 111 单调降到 −1-1−1，正好覆盖全部可能输入。

选择本身可以约定，但一旦约定好，就必须严格使用。计算器、图像软件和多数教材默认返回这些主值范围内的角。

三个主值区间分别在找什么

反三角函数都在回答“哪个角的某个三角函数值等于给定数”。不同的是，它们选择角的方式不一样。

反正弦

如果

y=arcsin⁡xy=\arcsin xy=arcsinx

那么它表示：

sin⁡y=x\sin y=xsiny=x

并且

−π2≤y≤π2-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}−2π​≤y≤2π​

也就是说，反正弦返回的是第四象限到第一象限之间的角，包括上下端点。这个区间里的余弦非负，正弦从 −1-1−1 走到 111，不会重复。

例如，

arcsin⁡12=π6\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6}arcsin21​=6π​

不是因为 π6\frac{\pi}{6}6π​ 是唯一让正弦等于 12\frac1221​ 的角，而是因为它是主值区间内的那个角。

反余弦

如果

y=arccos⁡xy=\arccos xy=arccosx

那么它表示：

cos⁡y=x\cos y=xcosy=x

并且

0≤y≤π0\le y\le \pi0≤y≤π

反余弦返回的是上半圆里的角，从正 xxx 轴到负 xxx 轴。它覆盖了余弦从 111 到 −1-1−1 的完整变化。

反余弦的主值区间从 0 到 π，余弦值在这段区间上一一对应。

图：反余弦选择 [0,π][0,\pi][0,π]，因此输出可以在第一象限、第二象限，也可以落在轴上。

例如，

arccos⁡(−12)=2π3\arccos \left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}arccos(−21​)=32π​

因为在 [0,π][0,\pi][0,π] 中，余弦等于 −12-\frac12−21​ 的角是 2π3\frac{2\pi}{3}32π​。

反正切

如果

y=arctan⁡xy=\arctan xy=arctanx

那么它表示：

tan⁡y=x\tan y=xtany=x

并且

−π2<y<π2-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}−2π​<y<2π​

正切可以理解成单位圆终边的斜率，也可以理解成直角三角形中的“对边除以邻边”。反正切就是从斜率反求角。

反正切把斜率转成主值角，主值范围位于负二分之π到二分之π之间。

图：正切在 (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})(−2π​,2π​) 上从负无穷连续增加到正无穷。

注意反正切的主值范围不包含 ±π2\pm\frac{\pi}{2}±2π​。因为在这两个角处，终边竖直，斜率不存在，正切无定义。

用反三角函数解直角三角形

在直角三角形里，如果已知两条边，要找一个锐角，反三角函数就是最直接的工具。

直角三角形中由边长比值反求角，标出正弦、余弦、正切对应的三种比值。

图：已知哪两条边，就选择能把这两条边放进同一个比值的反三角函数。

对锐角 θ\thetaθ 来说：

sin⁡θ=对边斜边\sin \theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}sinθ=斜边对边​ cos⁡θ=邻边斜边\cos \theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}cosθ=斜边邻边​ tan⁡θ=对边邻边\tan \theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}tanθ=邻边对边​

所以反过来：

θ=arcsin⁡(对边斜边)\theta=\arcsin \left(\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}\right)θ=arcsin(斜边对边​) θ=arccos⁡(邻边斜边)\theta=\arccos \left(\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}\right)θ=arccos(斜边邻边​) θ=arctan⁡(对边邻边)\theta=\arctan \left(\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}\right)θ=arctan(邻边对边​)

例题：由两条直角边求角

一个直角三角形中，某锐角 θ\thetaθ 的对边长为 121212，邻边长为 555。求 θ\thetaθ。

已知的是对边和邻边，所以先使用正切比值。由定义可得 tan⁡θ=125\tan \theta=\frac{12}{5}tanθ=512​。

反过来求角，写成 θ=arctan⁡(125)\theta=\arctan \left(\frac{12}{5}\right)θ=arctan(512​)。因为 θ\thetaθ 是直角三角形里的锐角，它自然落在反正切的主值区间内。

用计算器近似计算，得到 θ≈1.176\theta\approx 1.176θ≈1.176 弧度，也就是约 67.38∘67.38^\circ67.38∘。

例题：先判断比值是否可能

如果有人说某直角三角形中 sin⁡θ=1.2\sin \theta=1.2sinθ=1.2，这不可能。因为正弦是

对边斜边\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}斜边对边​

对边不可能比斜边还长，所以正弦值只能在 [−1,1][-1,1][−1,1] 之间。计算 arcsin⁡(1.2)\arcsin(1.2)arcsin(1.2) 时，计算器报错不是技术问题，而是这个输入不在反正弦的定义域内。

在直角三角形应用里，要求的角通常是锐角。此时反正弦、反余弦、反正切返回的主值正好就是那个锐角。但在单位圆和三角方程里，主值只是起点，还要检查其它象限。

计算器结果要解释

计算器的反三角函数键会返回一个主值角。它不会自动列出同一三角函数值对应的全部角，也不会替你判断题目要求的是锐角、象限角，还是某个区间内的全部解。

计算器显示主值角后，需要结合象限在单位圆上补全其它可能的角。

图：计算器给出主值后，仍要回到单位圆判断是否还有同值角。

例如，计算器可能告诉你：

arcsin⁡(0.5)=π6\arcsin(0.5)=\frac{\pi}{6}arcsin(0.5)=6π​

这句话只表示“主值角是 π6\frac{\pi}{6}6π​”。如果题目问的是 0≤θ<2π0\le \theta<2\pi0≤θ<2π 内所有满足 sin⁡θ=0.5\sin \theta=0.5sinθ=0.5 的角，还要补上第二象限的角：

θ=π6,5π6\theta=\frac{\pi}{6},\quad \frac{5\pi}{6}θ=6π​,65π​

角度制和弧度制

如果计算器处于弧度模式，arctan⁡(1)\arctan(1)arctan(1) 会显示大约 0.78540.78540.7854，也就是 π4\frac{\pi}{4}4π​。如果处于角度模式，它会显示 45∘45^\circ45∘。

两个结果描述的是同一个角，只是单位不同。做三角函数图像、周期模型和后续微积分时，默认更常用弧度；做测量题时，角度也常见。关键是题目、计算器和最终答案要使用同一套单位。

用单位圆补全多解

当题目要求“解方程”时，反三角函数通常只负责找第一个角。真正的解集还要根据单位圆和周期性补全。

正弦方程

解

sin⁡θ=a\sin \theta=asinθ=a

时，先令

α=arcsin⁡a\alpha=\arcsin aα=arcsina

其中 α\alphaα 是主值角。一般情况下，正弦相同的两类角是：

θ=α+2πk\theta=\alpha+2\pi kθ=α+2πk

和

θ=π−α+2πk\theta=\pi-\alpha+2\pi kθ=π−α+2πk

其中 kkk 是整数。遇到 a=1a=1a=1、a=−1a=-1a=−1 或 a=0a=0a=0 时，两类表达可能重合或落到轴上，需要去掉重复。

余弦方程

解

cos⁡θ=a\cos \theta=acosθ=a

时，先令

β=arccos⁡a\beta=\arccos aβ=arccosa

其中 β\betaβ 位于 [0,π][0,\pi][0,π]。余弦相同的角关于 xxx 轴对称，所以通解可以写成：

θ=±β+2πk\theta=\pm \beta+2\pi kθ=±β+2πk

如果只在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内找解，通常写成 β\betaβ 和 2π−β2\pi-\beta2π−β。当 β=0\beta=0β=0 或 β=π\beta=\piβ=π 时，只保留不重复的角。

正切方程

解

tan⁡θ=a\tan \theta=atanθ=a

时，先令

γ=arctan⁡a\gamma=\arctan aγ=arctana

正切的周期是 π\piπ，所以所有解是：

θ=γ+πk\theta=\gamma+\pi kθ=γ+πk

其中 kkk 是整数。

例题：在一圈内解正弦方程

求 0≤θ<2π0\le \theta<2\pi0≤θ<2π 内满足

sin⁡θ=−32\sin \theta=-\frac{\sqrt3}{2}sinθ=−23​​

的角。

先用反正弦找主值角。因为 arcsin⁡(−32)=−π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}arcsin(−23​​)=−3π​，这个角位于第四象限。

要在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内列解，先把 −π3-\frac{\pi}{3}−3π​ 改写成同终边角 5π3\frac{5\pi}{3}35π​。

正弦为负还会出现在第三象限。参考角是 π3\frac{\pi}{3}3π​，第三象限角是 π+π3=4π3\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}π+3π​=34π​。

所以区间内的解是 θ=4π3\theta=\frac{4\pi}{3}θ=34π​ 和 θ=5π3\theta=\frac{5\pi}{3}θ=35π​。

例题：正切方程的周期更短

求所有满足

tan⁡θ=−1\tan \theta=-1tanθ=−1

的角。

先找主值角。arctan⁡(−1)=−π4\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}arctan(−1)=−4π​。

正切函数的周期是 π\piπ，所以只要在主值角上加任意整数倍的 π\piπ。

因此通解是 θ=−π4+πk\theta=-\frac{\pi}{4}+\pi kθ=−4π​+πk，其中 kkk 是整数。

复合关系里的条件

反三角函数经常和原来的三角函数连在一起。这里最容易出现的误解是：以为两边一定完全抵消。

对于允许的输入 xxx，下面这些式子成立：

sin⁡(arcsin⁡x)=x,−1≤x≤1\sin(\arcsin x)=x,\quad -1\le x\le 1sin(arcsinx)=x,−1≤x≤1 cos⁡(arccos⁡x)=x,−1≤x≤1\cos(\arccos x)=x,\quad -1\le x\le 1cos(arccosx)=x,−1≤x≤1 tan⁡(arctan⁡x)=x,x∈R\tan(\arctan x)=x,\quad x\in \mathbb{R}tan(arctanx)=x,x∈R

因为反三角函数先把 xxx 变成一个主值角，再代回原函数，当然回到 xxx。

反过来就要小心。例如：

arcsin⁡(sin⁡θ)=θ\arcsin(\sin \theta)=\thetaarcsin(sinθ)=θ

只有当 θ\thetaθ 本来就在 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][−2π​,2π​] 中时才一定成立。

如果 θ=5π6\theta=\frac{5\pi}{6}θ=65π​，那么

sin⁡5π6=12\sin \frac{5\pi}{6}=\frac12sin65π​=21​

但

arcsin⁡(sin⁡5π6)=arcsin⁡12=π6\arcsin\left(\sin \frac{5\pi}{6}\right)=\arcsin \frac12=\frac{\pi}{6}arcsin(sin65π​)=arcsin21​=6π​

它返回的是主值角，不是原来的 5π6\frac{5\pi}{6}65π​。

判断反三角函数复合式时，先问两个问题：输入是否在定义域内？角是否已经落在对应的主值范围内？

一套可靠的解题顺序

遇到从三角函数值反求角的问题，可以按下面的顺序处理。

先看题目问的是直角三角形中的一个锐角，还是单位圆或三角方程里的所有角。锐角问题通常直接用主值，方程问题还要补全多解。

再检查输入是否在定义域内。反正弦和反余弦只能接受 [−1,1][-1,1][−1,1] 内的数；反正切可以接受任意实数。

接着用对应的反三角函数得到主值角，并确认角度制或弧度制。

如果题目要求某个区间内的全部解，就回到单位圆，根据象限、对称和周期补全。

最后把得到的角代回原方程检查，尤其注意端点、重复解和单位是否一致。

练习

基础判断

  1. 判断 arcsin⁡(1.4)\arcsin(1.4)arcsin(1.4) 是否有实数值，并说明原因。

没有实数值。因为反正弦的输入必须在 [−1,1][-1,1][−1,1] 内，而 1.41.41.4 超出了正弦函数的值域。

  1. 求 arccos⁡(−1)\arccos(-1)arccos(−1)。

反余弦的主值范围是 [0,π][0,\pi][0,π]。在这个范围内，余弦等于 −1-1−1 的角是 π\piπ，所以 arccos⁡(−1)=π\arccos(-1)=\piarccos(−1)=π。

  1. 求 arctan⁡(0)\arctan(0)arctan(0)。

在 (−π2,π2)(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})(−2π​,2π​) 中，正切等于 000 的角是 000，所以 arctan⁡(0)=0\arctan(0)=0arctan(0)=0。

主值与其它角

  1. 已知 arcsin⁡(22)=π4\arcsin\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\pi}{4}arcsin(22​​)=4π​。在 0≤θ<2π0\le \theta<2\pi0≤θ<2π 内，求所有满足 sin⁡θ=22\sin \theta=\frac{\sqrt2}{2}sinθ=22​​ 的角。

正弦为正，在第一象限和第二象限。区间内的解是 θ=π4\theta=\frac{\pi}{4}θ=4π​ 和 θ=3π4\theta=\frac{3\pi}{4}θ=43π​。

  1. 在 0≤θ<2π0\le \theta<2\pi0≤θ<2π 内，求所有满足 cos⁡θ=−12\cos \theta=-\frac12cosθ=−21​ 的角。

先找主值角：arccos⁡(−12)=2π3\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3}arccos(−21​)=32π​。余弦为负在第二象限和第三象限，所以另一个角是 2π−2π3=4π32\pi-\frac{2\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}2π−32π​=34π​。解为 2π3\frac{2\pi}{3}32π​ 和 4π3\frac{4\pi}{3}34π​。

  1. 求 tan⁡θ=3\tan \theta=\sqrt3tanθ=3​ 的通解。

主值角是 arctan⁡(3)=π3\arctan(\sqrt3)=\frac{\pi}{3}arctan(3​)=3π​。正切周期是 π\piπ，所以通解是 θ=π3+πk\theta=\frac{\pi}{3}+\pi kθ=3π​+πk，其中 kkk 是整数。

直角三角形应用

  1. 一个梯子长 101010 米，顶端离地 888 米。梯子与地面夹角为 θ\thetaθ，求 θ\thetaθ 的近似值。

梯子是斜边，离地高度是对边，所以 sin⁡θ=810=0.8\sin \theta=\frac{8}{10}=0.8sinθ=108​=0.8。因此 θ=arcsin⁡(0.8)≈0.927\theta=\arcsin(0.8)\approx 0.927θ=arcsin(0.8)≈0.927 弧度，约 53.13∘53.13^\circ53.13∘。

  1. 一条坡道水平前进 303030 米，上升 444 米。坡角为 θ\thetaθ，求 θ\thetaθ 的近似值。

已知对边和邻边，使用正切：tan⁡θ=430\tan \theta=\frac{4}{30}tanθ=304​。所以 θ=arctan⁡(430)≈0.133\theta=\arctan\left(\frac{4}{30}\right)\approx 0.133θ=arctan(304​)≈0.133 弧度，约 7.59∘7.59^\circ7.59∘。

复合式

  1. 计算 sin⁡(arccos⁡35)\sin\left(\arccos \frac{3}{5}\right)sin(arccos53​)。

设 α=arccos⁡35\alpha=\arccos \frac35α=arccos53​，则 cos⁡α=35\cos \alpha=\frac35cosα=53​，且 α\alphaα 在 [0,π][0,\pi][0,π] 内。此时 sin⁡α≥0\sin \alpha\ge 0sinα≥0，所以 sin⁡α=1−(35)2=45\sin \alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45sinα=1−(53​)2​=54​。

  1. 判断 arcsin⁡(sin⁡2π3)\arcsin(\sin \frac{2\pi}{3})arcsin(sin32π​) 是否等于 2π3\frac{2\pi}{3}32π​。

不等于。2π3\frac{2\pi}{3}32π​ 不在反正弦的主值范围 [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}][−2π​,2π​] 内。因为 sin⁡2π3=32\sin \frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}sin32π​=23​​，所以 arcsin⁡(sin⁡2π3)=arcsin⁡32=π3\arcsin(\sin \frac{2\pi}{3})=\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}arcsin(sin32π​)=arcsin23​​=3π​。

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  • 用反三角函数解直角三角形
    • 例题：由两条直角边求角
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    • 角度制和弧度制
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    • 正弦方程
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    • 正切方程
    • 例题：在一圈内解正弦方程
    • 例题：正切方程的周期更短
  • 复合关系里的条件
  • 一套可靠的解题顺序
  • 练习
    • 基础判断
    • 主值与其它角
    • 直角三角形应用
    • 复合式

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