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上一节基本恒等式：勾股、商、倒数与对称下一节三角方程：通解、限制区间与图像检验
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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型和差公式、倍角公式与化简策略

和差公式、倍角公式与化简策略

前面几章已经把三角函数放进单位圆、图像和基本恒等式里。本章开始处理更密集的公式：sin⁡(a±b)\sin(a\pm b)sin(a±b)、cos⁡(a±b)\cos(a\pm b)cos(a±b)、tan⁡(a±b)\tan(a\pm b)tan(a±b)、倍角、半角和降幂。

这些公式看起来多，但主线只有一条：把一个不熟悉的角或表达式，改写成已经熟悉的角、函数或代数结构。比如 75∘75^\circ75∘ 可以拆成 45∘+30∘45^\circ+30^\circ45∘+30∘，sin⁡2x\sin^2 xsin2x 可以用 cos⁡2x\cos 2xcos2x 表示，复杂的正切分式可以先化成正弦和余弦。

这一章不要把公式当成仓库来背。更有用的问题是：眼前的式子暴露了什么结构？应该展开、合并、降幂，还是先检查限制条件？

从拆角开始

特殊角给了我们一批可以精确计算的值，例如 30∘30^\circ30∘、45∘45^\circ45∘、60∘60^\circ60∘。和差公式的作用，是把更多角连接到这些已知角。

例如

75∘=45∘+30∘75^\circ=45^\circ+30^\circ75∘=45∘+30∘ 15∘=45∘−30∘15^\circ=45^\circ-30^\circ15∘=45∘−30∘

如果能把 sin⁡(45∘+30∘)\sin(45^\circ+30^\circ)sin(45∘+30∘) 写成 30∘30^\circ30∘ 和 45∘45^\circ45∘ 的正弦余弦，就可以不用计算器得到精确值。

和角公式中单位圆投影直觉示意图

图：和角公式把一次合成旋转拆成两个熟悉角的投影组合。

和差公式不是说 sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b)=\sin a+\sin bsin(a+b)=sina+sinb。三角函数读的是单位圆上的坐标，两个旋转合成以后，横纵坐标会同时受到两个角的影响。

下面的角拆分实验可以选取常见复杂角，比较两种拆法，并看到对应公式怎样代入。

常见拆角判断

拆角时，优先找能落到特殊角的组合。

目标角常用拆法适合使用
15∘15^\circ15∘45∘−30∘45^\circ-30^\circ45∘−30∘差角公式
75∘75^\circ75∘45∘+30∘45^\circ+30^\circ45∘+30∘ 或 120∘−45∘120^\circ-45^\circ120∘−45∘和角或差角公式
105∘105^\circ105∘60∘+45∘60^\circ+45^\circ60∘+45∘和角公式
π12\frac{\pi}{12}12π​π4−π6\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}4π​−6π​差角公式
5π12\frac{5\pi}{12}125π​π4+π6\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}4π​+6π​和角公式

拆法不唯一。只要两个角的三角函数值已知，并且计算不绕远，就是好拆法。

正弦和余弦的和差公式

先看四条核心公式：

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin bsin(a+b)=sinacosb+cosasinb sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin bsin(a−b)=sinacosb−cosasinb cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin bcos(a+b)=cosacosb−sinasinb cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin bcos(a−b)=cosacosb+sinasinb

正弦公式的符号和角里面的符号一致：加角用加号，减角用减号。余弦公式的中间符号相反：加角用减号，减角用加号。

差角公式中角度拆分与反向旋转示意图

图：差角可以看成把第二个角反向旋转后再合成，符号变化来自单位圆的对称性。

例题：求 sin⁡75∘\sin 75^\circsin75∘ 的精确值

把 75∘75^\circ75∘ 拆成 45∘+30∘45^\circ+30^\circ45∘+30∘：

先选择正弦和角公式，因为目标是 sin⁡(45∘+30∘)\sin(45^\circ+30^\circ)sin(45∘+30∘)。

写出公式并代入：

sin⁡(45∘+30∘)=sin⁡45∘cos⁡30∘+cos⁡45∘sin⁡30∘\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circsin(45∘+30∘)=sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘

使用特殊角值：

sin⁡45∘=22,cos⁡30∘=32,cos⁡45∘=22,sin⁡30∘=12\sin45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin30^\circ=\frac12sin45∘=22​​,cos30∘=23​​,cos45∘=22​​,sin30∘=21​

化简得到

sin⁡75∘=64+24=6+24\sin75^\circ=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}sin75∘=46​​+42​​=46​+2​​

例题：求 cos⁡15∘\cos 15^\circcos15∘ 的精确值

因为 15∘=45∘−30∘15^\circ=45^\circ-30^\circ15∘=45∘−30∘，所以

cos⁡15∘=cos⁡(45∘−30∘)\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)cos15∘=cos(45∘−30∘)

使用余弦差角公式：

cos⁡(45∘−30∘)=cos⁡45∘cos⁡30∘+sin⁡45∘sin⁡30∘\cos(45^\circ-30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circcos(45∘−30∘)=cos45∘cos30∘+sin45∘sin30∘

代入特殊角值：

cos⁡15∘=22⋅32+22⋅12=6+24\cos15^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}cos15∘=22​​⋅23​​+22​​⋅21​=46​+2​​

这个结果和 sin⁡75∘\sin75^\circsin75∘ 一样，并不偶然，因为 15∘15^\circ15∘ 和 75∘75^\circ75∘ 互余。

看到 sin⁡(a+b)\sin(a+b)sin(a+b) 时，不要把它拆成 sin⁡a+sin⁡b\sin a+\sin bsina+sinb。一个快速反例是 sin⁡(30∘+60∘)=1\sin(30^\circ+60^\circ)=1sin(30∘+60∘)=1，但 sin⁡30∘+sin⁡60∘=12+32\sin30^\circ+\sin60^\circ=\frac12+\frac{\sqrt3}{2}sin30∘+sin60∘=21​+23​​，两者不相等。

正切和差公式与限制条件

正切公式可以由 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​ 和正弦、余弦和差公式推出：

tan⁡(a+b)=tan⁡a+tan⁡b1−tan⁡atan⁡b\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}tan(a+b)=1−tanatanbtana+tanb​ tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}tan(a−b)=1+tanatanbtana−tanb​

这两条公式特别适合处理斜率、倾斜角和只知道正切值的问题。不过它们比正弦余弦公式更需要检查限制条件。

正切和差公式的斜率合成视角图

图：直线倾斜角的正切就是斜率，两个倾斜角的差可以转化为斜率之间的关系。

为什么正切公式要小心

使用 tan⁡(a+b)\tan(a+b)tan(a+b) 公式时，至少要确认三件事：

  1. tan⁡a\tan atana 有定义，也就是 cos⁡a≠0\cos a\ne 0cosa=0。
  2. tan⁡b\tan btanb 有定义，也就是 cos⁡b≠0\cos b\ne 0cosb=0。
  3. 分母 1−tan⁡atan⁡b≠01-\tan a\tan b\ne 01−tanatanb=0，否则 tan⁡(a+b)\tan(a+b)tan(a+b) 无定义。

类似地，使用 tan⁡(a−b)\tan(a-b)tan(a−b) 公式时，要确认 1+tan⁡atan⁡b≠01+\tan a\tan b\ne 01+tanatanb=0。

例题：求 tan⁡15∘\tan 15^\circtan15∘

把 15∘15^\circ15∘ 拆成 45∘−30∘45^\circ-30^\circ45∘−30∘。

选择正切差角公式：

tan⁡(a−b)=tan⁡a−tan⁡b1+tan⁡atan⁡b\tan(a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}tan(a−b)=1+tanatanbtana−tanb​

代入 a=45∘a=45^\circa=45∘，b=30∘b=30^\circb=30∘：

tan⁡15∘=1−131+13\tan15^\circ=\frac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}tan15∘=1+3​1​1−3​1​​

分子分母同乘 3\sqrt33​：

tan⁡15∘=3−13+1\tan15^\circ=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}tan15∘=3​+13​−1​

有理化分母：

tan⁡15∘=(3−1)23−1=4−232=2−3\tan15^\circ=\frac{(\sqrt3-1)^2}{3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{2}=2-\sqrt3tan15∘=3−1(3​−1)2​=24−23​​=2−3​

证明恒等式时，如果你把等式两边同时除以 sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx 或某个三角表达式，必须先说明它不为 000。更稳妥的做法通常是通分、因式分解或化成正弦余弦，而不是直接除掉可能为 000 的因子。

倍角公式

倍角公式不是新公式的孤岛。它们来自和角公式，只是把 aaa 和 bbb 都取成同一个角。

例如

sin⁡(2x)=sin⁡(x+x)=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=\sin(x+x)=\sin x\cos x+\cos x\sin x=2\sin x\cos xsin(2x)=sin(x+x)=sinxcosx+cosxsinx=2sinxcosx

三条常用倍角公式是：

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos xsin2x=2sinxcosx cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 xcos2x=cos2x−sin2x tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}tan2x=1−tan2x2tanx​

其中余弦倍角公式最常变形。利用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1，可以得到两种等价形式：

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 xcos2x=1−2sin2x cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1cos2x=2cos2x−1

倍角公式的正弦余弦正切三条推导路径图

图：倍角公式可以从和角公式出发，也可以沿着正弦余弦和正切的关系互相转化。

选择余弦倍角的哪一种形式

如果表达式里主要有 sin⁡2x\sin^2 xsin2x，常用

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 xcos2x=1−2sin2x

如果表达式里主要有 cos⁡2x\cos^2 xcos2x，常用

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1cos2x=2cos2x−1

如果同时出现 cos⁡2x−sin⁡2x\cos^2 x-\sin^2 xcos2x−sin2x，直接用

cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 xcos2x=cos2x−sin2x

这不是记三条互不相干的公式，而是在不同场景中选择最短的路。

例题：已知 sin⁡x=35\sin x=\frac35sinx=53​，求 cos⁡2x\cos 2xcos2x

若 xxx 在第二象限，cos⁡x\cos xcosx 为负，但这题求 cos⁡2x\cos 2xcos2x 可以只用 sin⁡2x\sin^2 xsin2x。

看到已知量是 sin⁡x\sin xsinx，选择 cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 xcos2x=1−2sin2x。

代入 sin⁡x=35\sin x=\frac35sinx=53​：

cos⁡2x=1−2(35)2\cos 2x=1-2\left(\frac35\right)^2cos2x=1−2(53​)2

计算：

cos⁡2x=1−1825=725\cos 2x=1-\frac{18}{25}=\frac{7}{25}cos2x=1−2518​=257​

注意这里没有先求 cos⁡x\cos xcosx。如果强行先用勾股恒等式求 cos⁡x\cos xcosx，还要处理象限符号；选对倍角形式可以少走一步。

正切倍角的限制

正切倍角公式

tan⁡2x=2tan⁡x1−tan⁡2x\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}tan2x=1−tan2x2tanx​

需要 tan⁡x\tan xtanx 有定义，并且 1−tan⁡2x≠01-\tan^2 x\ne 01−tan2x=0。当分母为 000 时，2x2x2x 的终边落在正切无定义的位置，不能把结果写成一个普通数。

半角公式与符号选择

倍角公式可以从 xxx 推到 2x2x2x。反过来，如果要从 xxx 推到 x2\frac{x}{2}2x​，就得到半角公式。

由

cos⁡x=1−2sin⁡2x2\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}cosx=1−2sin22x​

可以解出

sin⁡2x2=1−cos⁡x2\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}sin22x​=21−cosx​

同理由

cos⁡x=2cos⁡2x2−1\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1cosx=2cos22x​−1

可以解出

cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}cos22x​=21+cosx​

如果要直接求函数值，就要开平方：

sin⁡x2=±1−cos⁡x2\sin\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}sin2x​=±21−cosx​​ cos⁡x2=±1+cos⁡x2\cos\frac{x}{2}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}cos2x​=±21+cosx​​

正负号由 x2\frac{x}{2}2x​ 所在象限决定。

半角公式与象限符号选择示意图

图：半角公式给出平方值，开平方后的正负号必须由半角所在象限决定。

例题：已知 cos⁡x=−35\cos x=-\frac35cosx=−53​，且 π<x<3π2\pi \lt x \lt \frac{3\pi}{2}π<x<23π​，求 sin⁡x2\sin\frac{x}{2}sin2x​

先判断 xxx 在第三象限，所以 x2\frac{x}{2}2x​ 位于 π2\frac{\pi}{2}2π​ 到 3π4\frac{3\pi}{4}43π​ 之间，也就是第二象限。

第二象限的正弦为正，所以半角公式取正号。

代入：

sin⁡x2=1−cos⁡x2=1−(−35)2\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac35\right)}{2}}sin2x​=21−cosx​​=21−(−53​)​​

化简：

sin⁡x2=852=45=255\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\frac85}{2}}=\sqrt{\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5}sin2x​=258​​​=54​​=525​​

半角题最容易漏掉象限判断。公式里的 ±\pm± 不是随便选的符号，而是由半角本身的位置决定。

正切半角的常用形式

正切半角可以写成

tan⁡x2=sin⁡x1+cos⁡x\tan\frac{x}{2}=\frac{\sin x}{1+\cos x}tan2x​=1+cosxsinx​

也可以写成

tan⁡x2=1−cos⁡xsin⁡x\tan\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{\sin x}tan2x​=sinx1−cosx​

这两个形式都有各自的限制。前者要求 1+cos⁡x≠01+\cos x\ne 01+cosx=0，后者要求 sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0。如果题目给的是 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx 的值，通常选分母不为 000、计算更短的那个。

降幂公式

降幂公式把 sin⁡2x\sin^2 xsin2x、cos⁡2x\cos^2 xcos2x 这类平方项改写成一阶余弦。它们来自余弦倍角公式。

由

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x=1-2\sin^2 xcos2x=1−2sin2x

解出

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}sin2x=21−cos2x​

由

cos⁡2x=2cos⁡2x−1\cos 2x=2\cos^2 x-1cos2x=2cos2x−1

解出

cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x​

正切平方也可以写成

tan⁡2x=1−cos⁡2x1+cos⁡2x\tan^2 x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}tan2x=1+cos2x1−cos2x​

其中分母不能为 000。

降幂公式把平方项转为余弦倍角的示意图

图：降幂公式把平方项转成倍角余弦，为后续处理平均值、积分和周期模型打基础。

例题：把 sin⁡4x\sin^4 xsin4x 写成不含高于一次幂的形式

这个例题展示降幂公式可以反复使用。

先把 sin⁡4x\sin^4 xsin4x 看成 (sin⁡2x)2(\sin^2 x)^2(sin2x)2，并使用降幂公式：

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}sin2x=21−cos2x​

代入并展开：

sin⁡4x=(1−cos⁡2x2)2=1−2cos⁡2x+cos⁡22x4\sin^4 x=\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)^2=\frac{1-2\cos 2x+\cos^2 2x}{4}sin4x=(21−cos2x​)2=41−2cos2x+cos22x​

对 cos⁡22x\cos^2 2xcos22x 再降幂：

cos⁡22x=1+cos⁡4x2\cos^2 2x=\frac{1+\cos 4x}{2}cos22x=21+cos4x​

代回去整理：

sin⁡4x=1−2cos⁡2x+1+cos⁡4x24\sin^4 x=\frac{1-2\cos 2x+\frac{1+\cos 4x}{2}}{4}sin4x=41−2cos2x+21+cos4x​​sin⁡4x=3−4cos⁡2x+cos⁡4x8\sin^4 x=\frac{3-4\cos 2x+\cos 4x}{8}sin4x=83−4cos2x+cos4x​

降幂并不是每道题都需要。它常用于平方或四次方太多、目标想降低幂次、或后续要研究周期平均行为的时候。

化简策略：先看结构再动手

三角化简没有唯一顺序，但有一些可靠的起点。不要一看到公式就代，先判断表达式像哪一种结构。

三角恒等式化简策略流程图

图：化简不是从公式表第一行开始，而是从表达式结构和目标形式开始。

常用路径

看到的结构优先尝试典型目标
tan⁡x\tan xtanx、sec⁡x\sec xsecx、csc⁡x\csc xcscx、cot⁡x\cot xcotx 混在一起化成 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡x\cos xcosx通分、约分、看清限制
出现 a+ba+ba+b 或 a−ba-ba−b和差公式拆成已知角或展开证明
出现 2x2x2x倍角公式把倍角改成单角，或反向合并
出现 sin⁡2x\sin^2 xsin2x、cos⁡2x\cos^2 xcos2x勾股恒等式或降幂公式消去平方或降低幂次
出现 1−cos⁡x1-\cos x1−cosx、1+cos⁡x1+\cos x1+cosx半角或乘共轭处理分式与根式
目标一边明显简单从复杂一边出发证明恒等式

例题：化简一个和差结构

化简

sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)\frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{\cos(a+b)+\cos(a-b)}cos(a+b)+cos(a−b)sin(a+b)+sin(a−b)​

先识别结构：分子和分母都含有 a+ba+ba+b 与 a−ba-ba−b，优先展开和差公式。

展开分子：

sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)\sin(a+b)+\sin(a-b)sin(a+b)+sin(a−b)=(sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b)+(sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b)=(\sin a\cos b+\cos a\sin b)+(\sin a\cos b-\cos a\sin b)=(sinacosb+cosasinb)+(sinacosb−cosasinb)=2sin⁡acos⁡b=2\sin a\cos b=2sinacosb

展开分母：

cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)\cos(a+b)+\cos(a-b)cos(a+b)+cos(a−b)=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)+(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=(cosacosb−sinasinb)+(cosacosb+sinasinb)=2cos⁡acos⁡b=2\cos a\cos b=2cosacosb

代回原式：

2sin⁡acos⁡b2cos⁡acos⁡b=tan⁡a\frac{2\sin a\cos b}{2\cos a\cos b}=\tan a2cosacosb2sinacosb​=tana

这个化简成立在原分母有定义且 2cos⁡acos⁡b≠02\cos a\cos b\ne 02cosacosb=0 的共同范围内。

例题：用因式分解识别倍角

化简

cos⁡4x−sin⁡4x\cos^4 x-\sin^4 xcos4x−sin4x

先把它看成平方差：

cos⁡4x−sin⁡4x=(cos⁡2x−sin⁡2x)(cos⁡2x+sin⁡2x)\cos^4 x-\sin^4 x=(\cos^2 x-\sin^2 x)(\cos^2 x+\sin^2 x)cos4x−sin4x=(cos2x−sin2x)(cos2x+sin2x)

使用勾股恒等式：

cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x+\sin^2 x=1cos2x+sin2x=1

使用余弦倍角公式：

cos⁡2x−sin⁡2x=cos⁡2x\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2xcos2x−sin2x=cos2x

所以

cos⁡4x−sin⁡4x=cos⁡2x\cos^4 x-\sin^4 x=\cos 2xcos4x−sin4x=cos2x

这个例子说明，代数结构常常比公式表更先出现。先看出平方差，后面的恒等式就自然接上了。

证明恒等式的方法

证明三角恒等式时，目标不是“对某个角算出一样的数”，而是说明在共同定义域内，左右两边总是表示同一个函数。

恒等式证明中左右推进到共同目标的流程图

图：证明时可以从复杂一边出发，也可以把左右两边都推向同一个中间形式。

基本原则

  1. 通常从更复杂的一边开始。
  2. 优先把 tan⁡\tantan、cot⁡\cotcot、sec⁡\secsec、csc⁡\csccsc 化成 sin⁡\sinsin 和 cos⁡\coscos。
  3. 看到平方差、完全平方、通分结构时，使用代数方法。
  4. 看到 2x2x2x、a+ba+ba+b、a−ba-ba−b，再考虑倍角或和差公式。
  5. 证明结束前检查分母、根号和被约掉的因子。

例题：证明 1−cos⁡2xsin⁡2x=tan⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan xsin2x1−cos2x​=tanx

这个等式不是在所有 xxx 上都有意义。原式要求 sin⁡2x≠0\sin 2x\ne 0sin2x=0，右边要求 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。证明时默认在双方都有定义的范围内讨论。

从左边开始，因为左边更复杂：

1−cos⁡2xsin⁡2x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}sin2x1−cos2x​

使用倍角公式：

1−cos⁡2x=1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡2x1-\cos 2x=1-(1-2\sin^2 x)=2\sin^2 x1−cos2x=1−(1−2sin2x)=2sin2xsin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos xsin2x=2sinxcosx

代入：

1−cos⁡2xsin⁡2x=2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}sin2x1−cos2x​=2sinxcosx2sin2x​

在原式有定义的范围内，sin⁡x\sin xsinx 与 cos⁡x\cos xcosx 都不为 000，所以可以约分：

2sin⁡2x2sin⁡xcos⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x\frac{2\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x2sinxcosx2sin2x​=cosxsinx​=tanx

一条好的恒等式证明，应该能看出每一步使用了什么工具：和差公式、倍角公式、勾股恒等式、通分、因式分解或定义域检查。只写一串等号，很容易把关键条件藏掉。

例题：证明 sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)=2sin⁡acos⁡b\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos bsin(a+b)+sin(a−b)=2sinacosb

从左边开始，先展开两个正弦和差公式：

sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin bsin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin bsin(a−b)=sinacosb−cosasinb

相加：

sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)\sin(a+b)+\sin(a-b)sin(a+b)+sin(a−b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b+sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b=\sin a\cos b+\cos a\sin b+\sin a\cos b-\cos a\sin b=sinacosb+cosasinb+sinacosb−cosasinb

中间两项抵消，剩下

2sin⁡acos⁡b2\sin a\cos b2sinacosb

这类证明也提醒我们：和差公式既可以展开，也可以反向合并。看到 2sin⁡acos⁡b2\sin a\cos b2sinacosb，以后也可以把它看成 sin⁡(a+b)+sin⁡(a−b)\sin(a+b)+\sin(a-b)sin(a+b)+sin(a−b)。

综合整理

本章公式很多，但可以压缩成几条判断。

如果角复杂，先问它能否拆成特殊角的和或差。能拆，就用和差公式。

如果出现 2x2x2x，先问要把倍角展开成单角，还是把单角平方合并成倍角。

如果出现半角，先判断半角所在象限，再决定开平方的正负号。

如果平方项太多，考虑降幂；如果目标只是消去 1−sin⁡2x1-\sin^2 x1−sin2x 或 1−cos⁡2x1-\cos^2 x1−cos2x，优先用勾股恒等式。

如果要证明恒等式，先从复杂一边开始，必要时化成正弦余弦，并且记录分母不为 000 的条件。

把这些公式学会，并不是为了在纸上写更多等号，而是为了能选择路径。真正的能力是看见结构：这个角适合拆，这个平方适合降，这个分式该先通分，这个等式需要限制条件。

练习

角拆分与精确值

  1. 求 cos⁡75∘\cos75^\circcos75∘ 的精确值。

把 75∘75^\circ75∘ 拆成 45∘+30∘45^\circ+30^\circ45∘+30∘：

cos⁡75∘=cos⁡45∘cos⁡30∘−sin⁡45∘sin⁡30∘\cos75^\circ=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circcos75∘=cos45∘cos30∘−sin45∘sin30∘=22⋅32−22⋅12=6−24=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=22​​⋅23​​−22​​⋅21​=46​−2​​
  1. 求 sin⁡15∘\sin15^\circsin15∘ 的精确值。

把 15∘15^\circ15∘ 拆成 45∘−30∘45^\circ-30^\circ45∘−30∘：

sin⁡15∘=sin⁡45∘cos⁡30∘−cos⁡45∘sin⁡30∘\sin15^\circ=\sin45^\circ\cos30^\circ-\cos45^\circ\sin30^\circsin15∘=sin45∘cos30∘−cos45∘sin30∘=22⋅32−22⋅12=6−24=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}=22​​⋅23​​−22​​⋅21​=46​−2​​
  1. 求 tan⁡75∘\tan75^\circtan75∘ 的精确值。

把 75∘75^\circ75∘ 拆成 45∘+30∘45^\circ+30^\circ45∘+30∘：

tan⁡75∘=1+131−13\tan75^\circ=\frac{1+\frac{1}{\sqrt3}}{1-\frac{1}{\sqrt3}}tan75∘=1−3​1​1+3​1​​

分子分母同乘 3\sqrt33​：

tan⁡75∘=3+13−1=2+3\tan75^\circ=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=2+\sqrt3tan75∘=3​−13​+1​=2+3​

倍角、半角与降幂

  1. 已知 cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5}cosx=54​，且 xxx 在第四象限，求 sin⁡2x\sin 2xsin2x。

第四象限中 sin⁡x<0\sin x \lt 0sinx<0。由勾股恒等式，sin⁡x=−35\sin x=-\frac35sinx=−53​。所以

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x=2⋅(−35)⋅45=−2425\sin2x=2\sin x\cos x=2\cdot\left(-\frac35\right)\cdot\frac45=-\frac{24}{25}sin2x=2sinxcosx=2⋅(−53​)⋅54​=−2524​
  1. 已知 cos⁡x=79\cos x=\frac{7}{9}cosx=97​，且 0<x<π0 \lt x \lt \pi0<x<π，求 sin⁡x2\sin\frac{x}{2}sin2x​。

因为 0<x<π0 \lt x \lt \pi0<x<π，所以 0<x2<π20 \lt \frac{x}{2} \lt \frac{\pi}{2}0<2x​<2π​，半角在第一象限，正弦为正。

sin⁡x2=1−cos⁡x2=1−792=19=13\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac79}{2}}=\sqrt{\frac19}=\frac13sin2x​=21−cosx​​=21−97​​​=91​​=31​
  1. 把 cos⁡2x\cos^2 xcos2x 改写成不含平方的形式。

使用降幂公式：

cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}cos2x=21+cos2x​
  1. 把 3sin⁡2x−23\sin^2 x-23sin2x−2 改写成只含 cos⁡2x\cos 2xcos2x 的形式。

使用 sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}sin2x=21−cos2x​：

3sin⁡2x−2=3⋅1−cos⁡2x2−23\sin^2 x-2=3\cdot\frac{1-\cos2x}{2}-23sin2x−2=3⋅21−cos2x​−2=3−3cos⁡2x−42=−1+3cos⁡2x2=\frac{3-3\cos2x-4}{2}=-\frac{1+3\cos2x}{2}=23−3cos2x−4​=−21+3cos2x​

化简与证明

  1. 化简 1−sin⁡2xcos⁡x\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}cosx1−sin2x​。

使用勾股恒等式 1−sin⁡2x=cos⁡2x1-\sin^2 x=\cos^2 x1−sin2x=cos2x：

1−sin⁡2xcos⁡x=cos⁡2xcos⁡x=cos⁡x\frac{1-\sin^2 x}{\cos x}=\frac{\cos^2 x}{\cos x}=\cos xcosx1−sin2x​=cosxcos2x​=cosx

这个化简在原式有定义的范围内成立，也就是 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。

  1. 证明 tan⁡x+cot⁡x=1sin⁡xcos⁡x\tan x+\cot x=\frac{1}{\sin x\cos x}tanx+cotx=sinxcosx1​。

从左边开始，化成正弦余弦：

tan⁡x+cot⁡x=sin⁡xcos⁡x+cos⁡xsin⁡x\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}tanx+cotx=cosxsinx​+sinxcosx​

通分：

sin⁡2x+cos⁡2xsin⁡xcos⁡x\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x\cos x}sinxcosxsin2x+cos2x​

使用勾股恒等式，分子为 111，所以得到

1sin⁡xcos⁡x\frac{1}{\sin x\cos x}sinxcosx1​

共同定义域要求 sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0 且 cos⁡x≠0\cos x\ne 0cosx=0。

  1. 证明 cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)=2cos⁡acos⁡b\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a\cos bcos(a+b)+cos(a−b)=2cosacosb。

展开左边：

cos⁡(a+b)+cos⁡(a−b)\cos(a+b)+\cos(a-b)cos(a+b)+cos(a−b)=(cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b)+(cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+(\cos a\cos b+\sin a\sin b)=(cosacosb−sinasinb)+(cosacosb+sinasinb)

中间两项抵消，得到

2cos⁡acos⁡b2\cos a\cos b2cosacosb
  1. 判断下面的化简是否总是正确：
sin⁡xsin⁡x=1\frac{\sin x}{\sin x}=1sinxsinx​=1

不总是正确。原式只有在 sin⁡x≠0\sin x\ne 0sinx=0 时有定义。在这个共同定义域内可以化简为 111，但不能说它对所有 xxx 都成立。

  1. 化简 tan⁡(a+b)−tan⁡a1+tan⁡(a+b)tan⁡a\frac{\tan(a+b)-\tan a}{1+\tan(a+b)\tan a}1+tan(a+b)tanatan(a+b)−tana​，并说明适用条件。

这个式子符合正切差角公式：

tan⁡(U−a)=tan⁡U−tan⁡a1+tan⁡Utan⁡a\tan(U-a)=\frac{\tan U-\tan a}{1+\tan U\tan a}tan(U−a)=1+tanUtanatanU−tana​

令 U=a+bU=a+bU=a+b，得到

tan⁡((a+b)−a)=tan⁡b\tan((a+b)-a)=\tan btan((a+b)−a)=tanb

适用时需要相关正切有定义，并且分母 1+tan⁡(a+b)tan⁡a≠01+\tan(a+b)\tan a\ne 01+tan(a+b)tana=0。

  • 从拆角开始
    • 常见拆角判断
  • 正弦和余弦的和差公式
    • 例题：求 $\sin 75^\circ$ 的精确值
    • 例题：求 $\cos 15^\circ$ 的精确值
  • 正切和差公式与限制条件
    • 为什么正切公式要小心
    • 例题：求 $\tan 15^\circ$
  • 倍角公式
    • 选择余弦倍角的哪一种形式
    • 例题：已知 $\sin x=\frac35$，求 $\cos 2x$
    • 正切倍角的限制
  • 半角公式与符号选择
    • 例题：已知 $\cos x=-\frac35$，且 $\pi \lt x \lt \frac{3\pi}{2}$，求 $\sin\frac{x}{2}$
    • 正切半角的常用形式
  • 降幂公式
    • 例题：把 $\sin^4 x$ 写成不含高于一次幂的形式
  • 化简策略：先看结构再动手
    • 常用路径
    • 例题：化简一个和差结构
    • 例题：用因式分解识别倍角
  • 证明恒等式的方法
    • 基本原则
    • 例题：证明 $\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x$
    • 例题：证明 $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$
  • 综合整理
  • 练习
    • 角拆分与精确值
    • 倍角、半角与降幂
    • 化简与证明

目录

  • 从拆角开始
    • 常见拆角判断
  • 正弦和余弦的和差公式
    • 例题：求 $\sin 75^\circ$ 的精确值
    • 例题：求 $\cos 15^\circ$ 的精确值
  • 正切和差公式与限制条件
    • 为什么正切公式要小心
    • 例题：求 $\tan 15^\circ$
  • 倍角公式
    • 选择余弦倍角的哪一种形式
    • 例题：已知 $\sin x=\frac35$，求 $\cos 2x$
    • 正切倍角的限制
  • 半角公式与符号选择
    • 例题：已知 $\cos x=-\frac35$，且 $\pi \lt x \lt \frac{3\pi}{2}$，求 $\sin\frac{x}{2}$
    • 正切半角的常用形式
  • 降幂公式
    • 例题：把 $\sin^4 x$ 写成不含高于一次幂的形式
  • 化简策略：先看结构再动手
    • 常用路径
    • 例题：化简一个和差结构
    • 例题：用因式分解识别倍角
  • 证明恒等式的方法
    • 基本原则
    • 例题：证明 $\frac{1-\cos 2x}{\sin 2x}=\tan x$
    • 例题：证明 $\sin(a+b)+\sin(a-b)=2\sin a\cos b$
  • 综合整理
  • 练习
    • 角拆分与精确值
    • 倍角、半角与降幂
    • 化简与证明