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数学三角函数与三角学：从单位圆到周期模型三角方程：通解、限制区间与图像检验

三角方程：通解、限制区间与图像检验

前面几章里，三角函数常常用来“求值”：给一个角，算出 sin⁡x\sin xsinx、cos⁡x\cos xcosx 或 tan⁡x\tan xtanx。这一章反过来问：如果已经知道函数值，哪些角会给出这个值？

这个问题比普通代数方程多了一层周期性。方程 sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​ 在 000 到 2π2\pi2π 之间有两个解；如果不限制区间，它有无限多个解。三角方程的难点不在于某一个主值角，而在于把所有可能的角收干净。

单位圆与正弦函数图像展示同一个函数值对应多个角，说明三角方程因周期性产生多解。

图：同一高度在单位圆上对应两个角，在正弦波上随周期重复出现多个交点。

本章的每一道三角方程都先问同一个问题：题目要的是通解，还是某个区间里的有限解？这个问题问清楚，后面的单位圆、恒等式和图像检验才不会各走各的。

先判断解的范围

三角恒等式对定义域内所有允许的 xxx 都成立，三角方程只在某些 xxx 上成立。比如 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1 是恒等式，而 sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​ 是方程。

解方程时，题目通常有两种说法：

题目说法结果形式处理重点
求所有实数解通解用整数 kkk 表示周期重复
在某个区间内求解有限解集先得到通解或一个周期的解，再筛选区间
用图像或计算器估计近似解明确区间和精度，再代回检查

如果题目没有给区间，就不能只写一个主值角。比如 arcsin⁡12=π6\arcsin \frac12=\frac\pi6arcsin21​=6π​ 只给出反正弦的主值，不等于方程 sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​ 的所有解。

反三角函数给的是主值角，三角方程要的是满足方程的角。主值角通常只是解集的一部分，后面还要根据单位圆对称性和周期性补全。

还有一种更早的判断：方程有没有解。因为正弦和余弦的值域都是 [−1,1][-1,1][−1,1]，所以 sin⁡x=2\sin x=2sinx=2、cos⁡x=−5\cos x=-5cosx=−5 没有实数解。正切的值域是全体实数，所以 tan⁡x=a\tan x=atanx=a 对任意实数 aaa 都有解，但要记住正切在 π2+kπ\frac\pi2+k\pi2π​+kπ 处无定义。

三类基本方程

三角方程的起点是三类基本方程：

sin⁡x=a\sin x=asinx=a cos⁡x=a\cos x=acosx=a tan⁡x=a\tan x=atanx=a

复杂方程往往要通过恒等式、因式分解或换元，最后落回这三类基本方程。先把这三类方程弄清楚，后面的代数步骤才有落点。

正弦方程

在单位圆上，sin⁡x\sin xsinx 是点的纵坐标。因此 sin⁡x=a\sin x=asinx=a 对应水平直线 y=ay=ay=a 与单位圆的交点。

如果 ∣a∣>1|a|>1∣a∣>1，水平线不碰到单位圆，方程没有实数解。

如果 −1≤a≤1-1\le a\le 1−1≤a≤1，先设

α=arcsin⁡a\alpha=\arcsin aα=arcsina

其中 α\alphaα 是反正弦给出的主值，满足 −π2≤α≤π2-\frac\pi2\le \alpha\le \frac\pi2−2π​≤α≤2π​。在一个周期内，正弦值相同的角通常有两个，它们关于 yyy 轴对称。

单位圆中水平直线 y=a 与圆相交得到 sin x=a 的两个解角 α 和 π-α。

图：sin⁡x=a\sin x=asinx=a 的两组通解是 x=α+2kπx=\alpha+2k\pix=α+2kπ 或 x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pix=π−α+2kπ，其中 k∈Zk\in\mathbb Zk∈Z。

因此，sin⁡x=a\sin x=asinx=a 的通解可以写成

x=α+2kπ或x=π−α+2kπ,k∈Zx=\alpha+2k\pi \quad \text{或} \quad x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb Zx=α+2kπ或x=π−α+2kπ,k∈Z

当 a=1a=1a=1 或 a=−1a=-1a=−1 时，两个交点会合并成一个点。这时两组形式会出现重复，列解时保留不重复的角即可。

例题：求正弦方程的通解

求 sin⁡x=−32\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}sinx=−23​​ 的所有实数解。

先找主值角。因为 arcsin⁡(−32)=−π3\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac\pi3arcsin(−23​​)=−3π​，所以 α=−π3\alpha=-\frac\pi3α=−3π​。

套用正弦方程的两组解：x=α+2kπx=\alpha+2k\pix=α+2kπ 或 x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pix=π−α+2kπ。

代入 α=−π3\alpha=-\frac\pi3α=−3π​，得到 x=−π3+2kπx=-\frac\pi3+2k\pix=−3π​+2kπ 或 x=4π3+2kπx=\frac{4\pi}{3}+2k\pix=34π​+2kπ，其中 k∈Zk\in\mathbb Zk∈Z。

这两个角在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中对应 5π3\frac{5\pi}{3}35π​ 和 4π3\frac{4\pi}{3}34π​。一个写成负角，一个写成一圈内的角，本质上是同终边角的不同表示。

余弦方程

在单位圆上，cos⁡x\cos xcosx 是点的横坐标。因此 cos⁡x=a\cos x=acosx=a 对应竖直直线 x=ax=ax=a 与单位圆的交点。

如果 ∣a∣>1|a|>1∣a∣>1，方程没有实数解。如果 −1≤a≤1-1\le a\le 1−1≤a≤1，设

α=arccos⁡a\alpha=\arccos aα=arccosa

其中 0≤α≤π0\le\alpha\le\pi0≤α≤π。余弦值相同的两个角关于 xxx 轴对称，所以通解可以写成

x=α+2kπ或x=−α+2kπ,k∈Zx=\alpha+2k\pi \quad \text{或} \quad x=-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb Zx=α+2kπ或x=−α+2kπ,k∈Z

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，也常写成 α\alphaα 和 2π−α2\pi-\alpha2π−α。

正切方程

正切可以看成斜率，也可以看成 sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}cosxsinx​。它的周期是 π\piπ，不是 2π2\pi2π。同一条过原点的直线在相反方向上斜率相同，所以每隔 π\piπ 就得到一个新解。

设

α=arctan⁡a\alpha=\arctan aα=arctana

其中 −π2<α<π2-\frac\pi2<\alpha<\frac\pi2−2π​<α<2π​。那么

tan⁡x=a\tan x=atanx=a

的通解是

x=α+kπ,k∈Zx=\alpha+k\pi,\quad k\in\mathbb Zx=α+kπ,k∈Z

中文双栏教学图，对比余弦方程 cos x=a 在单位圆上一周内对应两个角，与正切方程 tan x=a 每隔 π 重复的通解形式。

图：cos⁡x=a\cos x=acosx=a 通常在一周内有两个角；tan⁡x=a\tan x=atanx=a 每隔 π\piπ 重复一次。

正切方程虽然对任意实数 aaa 都有解，但正切本身在 x=π2+kπx=\frac\pi2+k\pix=2π​+kπ 处无定义。解方程时，如果中途把正切写成 sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}cosxsinx​，这些限制必须一直保留。

下面的交互工具可以同时观察单位圆、正切斜率、通解模板和一个周期内的解。先把 aaa 调到 12\frac1221​、−22-\frac{\sqrt2}{2}−22​​ 或 111 附近，再比较三类方程的解数差异。

在指定区间内筛选解

给定区间时，解题的顺序最好固定下来：

  1. 先按基本方程或通解公式写出所有可能的解族；
  2. 再代入整数 kkk，只保留落在区间里的角；
  3. 最后按从小到大排列，并检查区间端点是否包含。

很多错误不是因为单位圆不会画，而是因为区间筛选不细。[0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 包含 000，不包含 2π2\pi2π；(−π,π](-\pi,\pi](−π,π] 不包含 −π-\pi−π，包含 π\piπ。端点差一个括号，答案就可能不同。

例题：区间不是一个完整周期时

在区间 [−π,2π)[-\pi,2\pi)[−π,2π) 内求解

2cos⁡x=32\cos x=\sqrt32cosx=3​

先化成基本方程：cos⁡x=32\cos x=\frac{\sqrt3}{2}cosx=23​​。

在一个周期中，余弦等于 32\frac{\sqrt3}{2}23​​ 的角是 π6\frac\pi66π​ 和 −π6-\frac\pi6−6π​。因此通解是 x=π6+2kπx=\frac\pi6+2k\pix=6π​+2kπ 或 x=−π6+2kπx=-\frac\pi6+2k\pix=−6π​+2kπ。

从第一组 x=π6+2kπx=\frac\pi6+2k\pix=6π​+2kπ 筛选，k=0k=0k=0 给出 π6\frac\pi66π​，k=1k=1k=1 已经超过 2π2\pi2π，k=−1k=-1k=−1 小于 −π-\pi−π。

从第二组 x=−π6+2kπx=-\frac\pi6+2k\pix=−6π​+2kπ 筛选，k=0k=0k=0 给出 −π6-\frac\pi6−6π​，k=1k=1k=1 给出 11π6\frac{11\pi}{6}611π​，都落在区间内。

所以解集是 {−π6,π6,11π6}\left\{-\frac\pi6,\frac\pi6,\frac{11\pi}{6}\right\}{−6π​,6π​,611π​}。

这个例子说明，区间长度接近但不等于一个周期时，答案不一定是“一个周期中的两个解”。区间从 −π-\pi−π 开始，到 2π2\pi2π 之前结束，刚好多收进了一个同终边位置。

多角方程的区间筛选

如果方程里出现 sin⁡(2x)\sin(2x)sin(2x)、cos⁡(3x)\cos(3x)cos(3x) 这样的复合角，不要先把 xxx 想成角。先把括号里的整体看成一个变量。

例如，在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

sin⁡(2x)=1\sin(2x)=1sin(2x)=1

先解

2x=π2+2kπ2x=\frac\pi2+2k\pi2x=2π​+2kπ

再除以 222：

x=π4+kπx=\frac\pi4+k\pix=4π​+kπ

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，k=0k=0k=0 和 k=1k=1k=1 给出

x=π4,5π4x=\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}x=4π​,45π​

多角方程中，不能只在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 里找括号内角的一个解就结束。括号内的角可能走过更长区间，除以系数后会分裂出更多 xxx 的解。

下面的训练器专门练习“先找通解，再筛区间”。每题都要选出所有符合条件的角，漏选和多选都会被标出。

借助恒等式解方程

很多三角方程一开始不是 sin⁡x=a\sin x=asinx=a、cos⁡x=a\cos x=acosx=a 或 tan⁡x=a\tan x=atanx=a。这时要用恒等式把它化回基本方程。

常见策略有三种：

  • 尽量统一成同一种三角函数；
  • 遇到平方项时尝试因式分解或换元；
  • 使用 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2 x+\cos^2 x=1sin2x+cos2x=1、tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​、sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x)=2\sin x\cos xsin(2x)=2sinxcosx 等恒等式。

用恒等式将三角方程转化为代数方程的四步流程图：原方程、统一函数、因式分解、回代检验。

图：借助恒等式统一三角函数后，可将方程化为代数形式，再回到单位圆检验解。

例题：因式分解时不要除掉解

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x2sinxcosx=cosx

把右边移到左边，得到 2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02\sin x\cos x-\cos x=02sinxcosx−cosx=0。

提取公因式 cos⁡x\cos xcosx，得到 cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x(2\sin x-1)=0cosx(2sinx−1)=0。

根据零乘积性质，分别解 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0 和 2sin⁡x−1=02\sin x-1=02sinx−1=0。

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，cos⁡x=0\cos x=0cosx=0 给出 x=π2,3π2x=\frac\pi2,\frac{3\pi}{2}x=2π​,23π​；sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​ 给出 x=π6,5π6x=\frac\pi6,\frac{5\pi}{6}x=6π​,65π​。

所以解集是 {π6,π2,5π6,3π2}\left\{\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}\right\}{6π​,2π​,65π​,23π​}。

如果一开始把方程两边同除以 cos⁡x\cos xcosx，就会直接得到 2sin⁡x=12\sin x=12sinx=1，从而漏掉 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0 的两个解。除法是合法操作，但前提是被除式不为 000；如果被除式可能为 000，就要单独讨论。

三角方程里最常见的漏解来自“除以一个可能为 000 的三角表达式”。能移项因式分解时，通常优先因式分解，不急着相除。

例题：把混合函数统一

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

sin⁡x+cos⁡(2x)=0\sin x+\cos(2x)=0sinx+cos(2x)=0

方程里同时有 sin⁡x\sin xsinx 和 cos⁡(2x)\cos(2x)cos(2x)。为了统一函数，使用倍角恒等式 cos⁡(2x)=1−2sin⁡2x\cos(2x)=1-2\sin^2 xcos(2x)=1−2sin2x。

代入后得到 sin⁡x+1−2sin⁡2x=0\sin x+1-2\sin^2 x=0sinx+1−2sin2x=0，整理为 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2 x-\sin x-1=02sin2x−sinx−1=0。

因式分解得到 (2sin⁡x+1)(sin⁡x−1)=0(2\sin x+1)(\sin x-1)=0(2sinx+1)(sinx−1)=0。

分别解 sin⁡x=−12\sin x=-\frac12sinx=−21​ 和 sin⁡x=1\sin x=1sinx=1。在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，得到 x=7π6,11π6,π2x=\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6},\frac\pi2x=67π​,611π​,2π​。

按从小到大排列，解集是 {π2,7π6,11π6}\left\{\frac\pi2,\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}\right\}{2π​,67π​,611π​}。

这道题的关键不是背出某个特殊技巧，而是看出 cos⁡(2x)\cos(2x)cos(2x) 可以改写成只含 sin⁡x\sin xsinx 的式子。统一函数之后，方程就回到了熟悉的二次方程。

二次型三角方程

如果一个三角方程长得像二次方程，可以先换元。形式大致是

A(sin⁡x)2+Bsin⁡x+C=0A(\sin x)^2+B\sin x+C=0A(sinx)2+Bsinx+C=0

或

A(cos⁡x)2+Bcos⁡x+C=0A(\cos x)^2+B\cos x+C=0A(cosx)2+Bcosx+C=0

这时可以设 u=sin⁡xu=\sin xu=sinx 或 u=cos⁡xu=\cos xu=cosx，先解关于 uuu 的二次方程，再把每个允许的 uuu 值回代为三角方程。

二次型三角方程换元、因式分解、回代到单位圆列角的中文板书式图解。

图：通过设 u=sin⁡xu=\sin xu=sinx，将 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=02sin2x−sinx−1=0 化为二次方程，因式分解后回代并在单位圆上列出对应角。

例题：先筛掉不可能的换元值

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x-3\cos x+1=02cos2x−3cosx+1=0

设 u=cos⁡xu=\cos xu=cosx，原方程变成 2u2−3u+1=02u^2-3u+1=02u2−3u+1=0。

因式分解得到 (2u−1)(u−1)=0(2u-1)(u-1)=0(2u−1)(u−1)=0，所以 u=12u=\frac12u=21​ 或 u=1u=1u=1。

回代为 cos⁡x=12\cos x=\frac12cosx=21​ 或 cos⁡x=1\cos x=1cosx=1。这两个值都在余弦的值域 [−1,1][-1,1][−1,1] 内，所以都可能产生解。

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，cos⁡x=12\cos x=\frac12cosx=21​ 给出 x=π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{5\pi}{3}x=3π​,35π​；cos⁡x=1\cos x=1cosx=1 给出 x=0x=0x=0。注意 2π2\pi2π 不在区间内。

所以解集是 {0,π3,5π3}\left\{0,\frac\pi3,\frac{5\pi}{3}\right\}{0,3π​,35π​}。

如果换元后得到 u=2u=2u=2，而 u=sin⁡xu=\sin xu=sinx 或 u=cos⁡xu=\cos xu=cosx，就可以直接舍去，因为正弦和余弦不会取到 222。这一步能减少很多无效回代。

二次型三角方程的流程是：换元，解代数方程，检查换元值是否在三角函数值域内，回代为基本三角方程，最后按区间筛选。

限制、漏解与增根

三角方程的代数变形和普通方程一样，需要保留等价性。尤其要注意三类操作：

操作可能问题检查方式
除以含 xxx 的三角表达式可能漏掉使被除式为 000 的解先移项因式分解，或单独讨论被除式为 000
平方两边可能引入增根把候选解代回原方程
使用 tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}tanx=cosxsinx​引入 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0 的限制检查原式定义域

三角方程变形中的限制条件与增根检查表，左侧展示除以 cos x 或平方两边等风险步骤，右侧列出定义域、被除式不为零、平方引入候选、代回原式等检验项。

图：候选解必须经过限制条件与原式代回检验，候选解不等于最终解。

平方带来的增根

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内解 cos⁡x=−12\cos x=-\frac12cosx=−21​，直接用单位圆可得

x=2π3,4π3x=\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}x=32π​,34π​

如果先平方两边，会得到

cos⁡2x=14\cos^2 x=\frac14cos2x=41​

于是候选方程变成

cos⁡x=12或cos⁡x=−12\cos x=\frac12 \quad \text{或} \quad \cos x=-\frac12cosx=21​或cosx=−21​

候选角包括

π3,5π3,2π3,4π3\frac\pi3,\frac{5\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}3π​,35π​,32π​,34π​

其中 π3\frac\pi33π​ 和 5π3\frac{5\pi}{3}35π​ 代回原方程时给出 cos⁡x=12\cos x=\frac12cosx=21​，不满足 cos⁡x=−12\cos x=-\frac12cosx=−21​，所以是平方引入的增根。

平方两边之后，得到的是“候选解”。只要原方程不是平方形式，最后都要代回原方程检查符号。

定义域本身也会删解

看方程

tan⁡x=sin⁡x\tan x=\sin xtanx=sinx

如果写成

sin⁡xcos⁡x=sin⁡x\frac{\sin x}{\cos x}=\sin xcosxsinx​=sinx

就必须附带限制

cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0

在这个限制下，两边乘以 cos⁡x\cos xcosx，得到

sin⁡x=sin⁡xcos⁡x\sin x=\sin x\cos xsinx=sinxcosx

即

sin⁡x(1−cos⁡x)=0\sin x(1-\cos x)=0sinx(1−cosx)=0

候选解来自 sin⁡x=0\sin x=0sinx=0 或 cos⁡x=1\cos x=1cosx=1。在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，候选为 000 和 π\piπ。它们都满足 cos⁡x≠0\cos x\ne0cosx=0，也都满足原方程，所以最终解是 0,π0,\pi0,π。

如果某个候选解让原方程里的 tan⁡x\tan xtanx 无定义，即使它满足变形后的式子，也必须舍去。

用图像交点检验

图像能把三角方程的“解”变成“交点”。例如

sin⁡x=a\sin x=asinx=a

可以看成曲线 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 与水平线 y=ay=ay=a 的交点；更一般地，方程

f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)

的解就是两条图像的交点横坐标。

图像检验特别适合做三件事：

  • 检查是否漏掉周期重复的解；
  • 判断某个区间内大约有几个解；
  • 发现代数变形后产生的候选解是否可疑。

但图像不是代数推理的替代品。图像上的交点可能只给近似值，尤其在交点靠得很近、或正切图像接近渐近线时，仍然需要代回原方程检查。

例题：用图像解释解的个数

在区间 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内，方程

sin⁡x=32\sin x=\frac{\sqrt3}{2}sinx=23​​

有两个解：

x=π3,2π3x=\frac\pi3,\frac{2\pi}{3}x=3π​,32π​

图像上，这是 y=sin⁡xy=\sin xy=sinx 与水平线 y=32y=\frac{\sqrt3}{2}y=23​​ 在一个周期内的两个交点。单位圆上，这是水平线 y=32y=\frac{\sqrt3}{2}y=23​​ 与圆的两个交点。两种图像说的是同一件事：纵坐标相同的点通常不止一个。

如果区间改成 [0,4π)[0,4\pi)[0,4π)，正弦波走过两个完整周期，交点数也翻倍，解变成

π3,2π3,7π3,8π3\frac\pi3,\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{3},\frac{8\pi}{3}3π​,32π​,37π​,38π​

这就是周期性在方程中的直接体现。

解题检查清单

做三角方程时，可以用下面这张清单收尾：

  1. 是否先确认了题目要求通解还是区间解？
  2. 正弦或余弦右边是否落在 [−1,1][-1,1][−1,1] 内？
  3. 反三角函数主值是否已经补成完整解族？
  4. 如果出现 tan⁡x\tan xtanx 或分式，定义域限制是否保留？
  5. 是否除以了可能为 000 的表达式？
  6. 是否平方两边或使用了可能扩大解集的变形？
  7. 区间端点的开闭是否检查清楚？
  8. 最终解是否代回原方程或用图像交点核对过？

一个可靠的答案通常经历四步：代数求候选解，单位圆补全周期，区间筛选，代回或图像检验。只做其中一步，往往只得到答案的一部分。

练习

基础通解

求 sin⁡x=22\sin x=\frac{\sqrt2}{2}sinx=22​​ 的所有实数解。

主值角是 α=π4\alpha=\frac\pi4α=4π​。所以通解是

x=π4+2kπ或x=3π4+2kπ,k∈Zx=\frac\pi4+2k\pi \quad \text{或} \quad x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Zx=4π​+2kπ或x=43π​+2kπ,k∈Z

求 cos⁡x=−12\cos x=-\frac12cosx=−21​ 的所有实数解。

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，解是 2π3\frac{2\pi}{3}32π​ 和 4π3\frac{4\pi}{3}34π​。通解可写成

x=2π3+2kπ或x=4π3+2kπ,k∈Zx=\frac{2\pi}{3}+2k\pi \quad \text{或} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2k\pi,\quad k\in\mathbb Zx=32π​+2kπ或x=34π​+2kπ,k∈Z

求 tan⁡x=−3\tan x=-\sqrt3tanx=−3​ 在 (−π,π](-\pi,\pi](−π,π] 内的解。

主值角是 −π3-\frac\pi3−3π​，通解是 x=−π3+kπx=-\frac\pi3+k\pix=−3π​+kπ。在 (−π,π](-\pi,\pi](−π,π] 中，取 k=0k=0k=0 和 k=1k=1k=1，得到

x=−π3,2π3x=-\frac\pi3,\frac{2\pi}{3}x=−3π​,32π​

区间与恒等式

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

2sin⁡xcos⁡x=cos⁡x2\sin x\cos x=\cos x2sinxcosx=cosx

移项并因式分解：

cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x(2\sin x-1)=0cosx(2sinx−1)=0

所以 cos⁡x=0\cos x=0cosx=0 或 sin⁡x=12\sin x=\frac12sinx=21​。在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，解是

x=π6,π2,5π6,3π2x=\frac\pi6,\frac\pi2,\frac{5\pi}{6},\frac{3\pi}{2}x=6π​,2π​,65π​,23π​

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

2cos⁡2x−3cos⁡x+1=02\cos^2 x-3\cos x+1=02cos2x−3cosx+1=0

设 u=cos⁡xu=\cos xu=cosx，得到 (2u−1)(u−1)=0(2u-1)(u-1)=0(2u−1)(u−1)=0，所以 u=12u=\frac12u=21​ 或 u=1u=1u=1。回代后解为

x=0,π3,5π3x=0,\frac\pi3,\frac{5\pi}{3}x=0,3π​,35π​

这里 2π2\pi2π 不在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，所以不写 2π2\pi2π。

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 内求解

sin⁡(2x)=1\sin(2x)=1sin(2x)=1

先解整体角：

2x=π2+2kπ2x=\frac\pi2+2k\pi2x=2π​+2kπ

所以

x=π4+kπx=\frac\pi4+k\pix=4π​+kπ

在 [0,2π)[0,2\pi)[0,2π) 中，解是

x=π4,5π4x=\frac\pi4,\frac{5\pi}{4}x=4π​,45π​

检查与判断

方程 sin⁡x=32\sin x=\frac32sinx=23​ 有没有实数解？为什么？

没有实数解。因为 sin⁡x\sin xsinx 的值域是 [−1,1][-1,1][−1,1]，不可能等于 32\frac3223​。

某同学把 cos⁡x=−12\cos x=-\frac12cosx=−21​ 平方成 cos⁡2x=14\cos^2 x=\frac14cos2x=41​，得到 x=π3,2π3,4π3,5π3x=\frac\pi3,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}x=3π​,32π​,34π​,35π​。哪些是增根？

代回原方程 cos⁡x=−12\cos x=-\frac12cosx=−21​。2π3\frac{2\pi}{3}32π​ 和 4π3\frac{4\pi}{3}34π​ 成立；π3\frac\pi33π​ 和 5π3\frac{5\pi}{3}35π​ 的余弦值是 12\frac1221​，不是 −12-\frac12−21​，所以它们是平方引入的增根。

  • 先判断解的范围
  • 三类基本方程
    • 正弦方程
    • 例题：求正弦方程的通解
    • 余弦方程
    • 正切方程
  • 在指定区间内筛选解
    • 例题：区间不是一个完整周期时
    • 多角方程的区间筛选
  • 借助恒等式解方程
    • 例题：因式分解时不要除掉解
    • 例题：把混合函数统一
  • 二次型三角方程
    • 例题：先筛掉不可能的换元值
  • 限制、漏解与增根
    • 平方带来的增根
    • 定义域本身也会删解
  • 用图像交点检验
    • 例题：用图像解释解的个数
  • 解题检查清单
  • 练习
    • 基础通解
    • 区间与恒等式
    • 检查与判断

目录

  • 先判断解的范围
  • 三类基本方程
    • 正弦方程
    • 例题：求正弦方程的通解
    • 余弦方程
    • 正切方程
  • 在指定区间内筛选解
    • 例题：区间不是一个完整周期时
    • 多角方程的区间筛选
  • 借助恒等式解方程
    • 例题：因式分解时不要除掉解
    • 例题：把混合函数统一
  • 二次型三角方程
    • 例题：先筛掉不可能的换元值
  • 限制、漏解与增根
    • 平方带来的增根
    • 定义域本身也会删解
  • 用图像交点检验
    • 例题：用图像解释解的个数
  • 解题检查清单
  • 练习
    • 基础通解
    • 区间与恒等式
    • 检查与判断