极坐标、参数方程与向量入口

前面几章主要用直角坐标描述函数：给一个 $x$，算出一个 $y$，再把点画在平面上。这种语言很适合直线、抛物线、多项式和很多代数函数。

但平面里的对象不总是愿意按“横坐标到纵坐标”的方式出现。一个雷达屏幕上的目标，更自然的信息是“离中心多远、朝哪个方向”。一个运动中的点，更自然的信息是“第 $t$ 秒在哪里”。一段位移或速度，更自然的信息是“大小是多少、方向朝哪里”。

本章整理三种新语言：极坐标、参数方程和向量。它们不是为了取代直角坐标，而是让同一个几何对象、运动对象或变化对象有更多描述方式。

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换一种坐标语言

直角坐标把平面上的点写成 $(x,y)$。这里的两个数字分别回答：

• 从原点向右或向左走多少？
• 再向上或向下走多少？

极坐标把同一个点写成 $(r,\theta)$。这里的两个量回答：

• 从原点出发走多远？
• 朝哪个角度走？

参数方程把点的位置写成随参数变化的两个函数：

$$x=f(t),\quad y=g(t)$$

这里的重点不是先问 $y$ 是不是 $x$ 的函数，而是问：当 $t$ 改变时，点在哪里、沿什么方向走、走得快不快。

向量则把“从一个位置到另一个位置”的变化看成一个整体。向量有长度，也有方向。它可以表示位移、力、速度，也可以表示平面中的一步移动。

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极坐标从哪里来

极坐标平面先选定一个原点，叫极点；再从极点向右画一条参考射线，叫极轴。一个点 $P$ 的极坐标 $(r,\theta)$ 表示：从极点出发，沿着与极轴成角 $\theta$ 的方向走距离 $r$。

通常把 $r$ 理解为距离，所以 $r\ge 0$。但在极坐标中也允许 $r<0$。如果 $r$ 是负数，意思是先找到角 $\theta$ 指向的射线，再朝相反方向走 $|r|$。

这会带来一个和直角坐标很不同的现象：同一个点有多个极坐标表示。例如，只要多转一整圈，点的位置不变：

$$(r,\theta)=(r,\theta+2\pi)$$

如果把半径改成负数，同时把角度加上 $\pi$，点的位置也不变：

$$(r,\theta)=(-r,\theta+\pi)$$

原点更特殊。只要 $r=0$，不管角度是多少，点都在原点。

下面的实验台可以拖动或输入 $r$ 与 $\theta$。重点观察两件事：点的位置怎样随角度旋转；当半径取负时，点为什么会跑到相反方向。

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极坐标与直角坐标转换

极坐标和直角坐标之间的转换来自直角三角形。点 $P$ 到原点的距离是 $r$，它和正 $x$ 轴的夹角是 $\theta$。于是水平分量和竖直分量分别是：

$$x=r\cos\theta$$ $$y=r\sin\theta$$

反过来，从 $(x,y)$ 找 $r$ 和 $\theta$，先用勾股定理求距离：

$$r^2=x^2+y^2$$

如果 $x\ne 0$，角度满足：

$$\tan\theta=\frac{y}{x}$$

这里最容易出错的是角度所在象限。只看 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ 会丢掉象限信息，因为相差 $\pi$ 的两个角正切值相同。实际判断时要把点所在象限一起看进去。

例题：把极坐标转成直角坐标

把点 $(4,\frac{2\pi}{3})$ 写成直角坐标。

例题：把直角坐标转成极坐标

把点 $(-3,3)$ 写成一个极坐标表示。

练习：点 $(-2,-2\sqrt3)$ 的一个极坐标表示是什么？

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极坐标图像

在直角坐标中，方程 $y=f(x)$ 常常表示：横坐标变化时，纵坐标怎样变化。在极坐标中，方程 $r=f(\theta)$ 表示：方向角变化时，从原点到曲线的距离怎样变化。

这让一些围绕原点旋转、对称或向外展开的曲线变得很自然。比如圆、玫瑰线、心形线和螺线，用 $r$ 与 $\theta$ 的关系写出来，往往比用 $x$ 与 $y$ 的关系更直接。

画极坐标图像时，可以按下面的顺序思考：

1. 先选一些关键角，例如 $0,\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\pi$。

如果 $r$ 出现负值，不要直接把点删掉。负半径表示点落在相反方向，这正是很多玫瑰线花瓣出现的原因。

从方程看图像特征

方程 $r=2$ 表示所有方向上离原点距离都是 $2$ 的点，所以它是以原点为圆心、半径为 $2$ 的圆。

方程 $r=1+\cos\theta$ 在 $\theta=0$ 时半径最大，在 $\theta=\pi$ 时半径为 $0$，图像会在极点处收拢，形成心形线。

方程 $r=2\sin(3\theta)$ 中的 $3\theta$ 让半径在一次旋转中反复增大、减小、变号，于是出现多个花瓣。

方程 $r=0.2\theta$ 表示角度越大，离原点越远。点一边旋转一边离开中心，形成螺线。

例题：把极坐标方程改写成直角坐标方程

把 $r=4\cos\theta$ 改写成直角坐标方程，并判断图像。

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参数方程描述路径

直角坐标中的 $y=f(x)$ 会把 $x$ 当成输入，把 $y$ 当成输出。参数方程换了一个问法：让一个参数 $t$ 同时控制 $x$ 和 $y$。

$$x=f(t),\quad y=g(t)$$

参数 $t$ 常常可以理解为时间，但不一定必须是时间。它可以表示角度、进度、机器运行阶段，或者任何能按顺序变化的量。

例如：

$$x=3\cos t,\quad y=2\sin t$$

当 $t$ 变化时，点沿椭圆运动。消去参数可以得到：

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$

这个直角坐标方程告诉我们轨迹形状是椭圆。但参数方程还告诉我们点从哪里开始、往哪个方向走，以及 $t$ 改变相同幅度时点在不同位置移动的情况。

例题：消参以后还要检查什么

考虑参数方程：

$$x=t^2,\quad y=t,\quad -2\le t\le 2$$

参数方程为什么适合运动

抛物运动可以用参数方程描述：

$$x=v_0\cos\alpha\cdot t$$ $$y=h+v_0\sin\alpha\cdot t-\frac{1}{2}gt^2$$

这里 $t$ 是时间，$v_0$ 是初速度大小，$\alpha$ 是发射角，$h$ 是初始高度，$g$ 是重力加速度。这个模型不要求先把 $y$ 写成 $$ 的函数。它直接记录“第 秒横向在哪里、竖向在哪里”，所以更贴近运动过程。

练习：参数方程 $x=2\cos t,\ y=2\sin t$ 画出的轨迹是什么？当 $t=0$ 时点在哪里？

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向量入口

向量描述的是有大小、有方向的量。平面中的向量可以写成分量形式：

$$\vec v=\langle a,b\rangle$$

这表示从起点出发，水平方向移动 $a$，竖直方向移动 $b$。如果只关心位移，起点放在哪里并不改变这个向量；只要水平分量和竖直分量相同，向量就相同。

向量的长度来自勾股定理：

$$|\vec v|=\sqrt{a^2+b^2}$$

如果向量与正 $x$ 轴的夹角是 $\theta$，那么它的方向满足：

$$\tan\theta=\frac{b}{a}$$

和极坐标一样，求方向角时也要看象限。向量 $\langle -3,3\rangle$ 不应该只因为 $\frac{b}{a}=-1$ 就选 $-\frac{\pi}{4}$；它实际指向第二象限。

位移向量和位置向量

点 $A(x_1,y_1)$ 到点 $B(x_2,y_2)$ 的位移向量是：

$$\overrightarrow{AB}=\langle x_2-x_1,\ y_2-y_1\rangle$$

它回答的是“从 $A$ 到 $B$ 需要移动多少”。如果把起点放在原点，终点放在 $(x,y)$，向量 $\langle x,y\rangle$ 也可以看作点 $(x,y)$ 的位置向量。

速度的直觉

如果一个点沿参数曲线运动，那么某一时刻的速度不是“点在哪里”，而是“此刻正朝哪里走、走得多快”。在图像上，速度向量通常沿着曲线的切线方向。

本章还不需要正式计算导数。你只需要先建立直觉：位置由参数方程给出，位移比较两个位置，速度描述位置随时间改变的瞬时趋势。

练习：点 $A(1,-2)$ 到点 $B(5,1)$ 的位移向量、长度分别是什么？

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三种语言看同一个对象

下面这张表把本章的三种新语言放在一起比较。它们都描述平面对象，但关注点不同。

同一个圆可以写成直角坐标方程：

$$x^2+y^2=4$$

也可以写成极坐标方程：

$$r=2$$

还可以写成参数方程：

$$x=2\cos t,\quad y=2\sin t$$

如果点沿这个圆运动，那么它在某一小段时间里的位移可以用向量描述。四种语言没有谁更“高级”，关键是看当前问题问什么。

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常见误区

把极坐标当成直角坐标

$(3,\frac{\pi}{4})$ 不是“向右走 $3$，向上走 $\frac{\pi}{4}$”。它表示沿 方向走 个单位。

忘记极坐标表示不唯一

如果题目问“一个极坐标表示”，给出一个正确答案即可。如果题目问“所有表示”，就要考虑加上 $2k\pi$，以及负半径的写法。

用反正切时不看象限

从直角坐标转极坐标，$\tan\theta=\frac{y}{x}$ 只提供斜率关系。角度还要和点所在象限一致。

消参后忘记参数范围

参数方程 $x=t^2,\ y=t$ 消参得到 $x=y^2$，但如果 $t$ 被限制在某个区间内，图像也会被限制。方向也要按 增大的顺序标出。

把向量和终点混为一谈

向量 $\langle 3,2\rangle$ 可以从原点画到 $(3,2)$，也可以从 $(5,1)$ 画到 $(8,3)$。只要水平变化和竖直变化相同，它们表示同一个位移向量。

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综合练习

练习一：把极坐标点 $(6,\frac{5\pi}{6})$ 转成直角坐标。

练习二：方程 $r=3\sin\theta$ 表示什么图像？提示：两边同乘 $r$。

练习三：参数方程 $x=t+1,\ y=2t-3$ 表示什么样的路径？当 $t$ 增大时点朝哪个方向走？

练习四：两个向量长度都为 $5$，它们一定相等吗？

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通向微积分

微积分会继续使用本章的三种语言。

参数方程会出现在运动问题中。位置由 $x(t)$ 和 $y(t)$ 给出，速度会描述位置随时间的瞬时变化，加速度会描述速度怎样变化。以后你会看到，参数曲线的切线斜率也可以从 $x(t)$ 与 $y(t)$ 的变化关系中得到。

极坐标会出现在曲线、面积和周期问题中。有些图像在直角坐标里方程很长，在极坐标里却只有一句 $r=f(\theta)$。以后计算极坐标区域面积时，半径随角度变化的直觉会非常重要。

向量会进入速度、加速度、力和多变量函数。它把“变化”从一个数扩展成有方向的量。学习导数时，速度可以是一维数值；学习平面运动时，速度更自然地成为向量。

本章到这里要留下的不是一堆互不相干的新符号，而是一个习惯：看到对象时先问，哪种语言最贴近它的结构。围绕中心旋转，用极坐标；沿路径运动，用参数方程；关心移动和方向，用向量。