三角恒等式与三角方程

三角恒等式看起来像一张公式表，但它真正有用的地方不在“表”本身。它让同一个三角量换成另一种表达方式：有时为了合并同类项，有时为了看出周期，有时为了把方程变成已经会解的形式。

在前两章中，我们已经把三角函数看成单位圆上的坐标、周期图像和现实模型。本章把这些表示法重新合在一起：用单位圆理解公式，用代数变形处理表达式，用图像检查方程的解。

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基本恒等式从哪里来

单位圆上角 $\theta$ 对应的点是 $(\cos\theta,\sin\theta)$。因为这个点在半径为 $1$ 的圆上，所以它满足圆的方程。

$$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$$

通常我们把它写成：

$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

这条恒等式叫勾股恒等式。它不是孤立公式，而是许多三角变形的根。把两边除以 $\cos^2\theta$，在 $\cos\theta\ne0$ 时得到：

$$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$$

把两边除以 $\sin^2\theta$，在 $\sin\theta\ne0$ 时得到：

$$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$

商数关系和倒数关系同样来自定义：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$$ $$\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}$$ $$\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$$

定义域不能被公式遮住

每次把式子除以 $\sin\theta$ 或 $\cos\theta$，都在悄悄加入条件。比如 $\tan\theta$ 本身要求 $\cos\theta\ne0$。如果一个题目在求方程解，变形前后必须检查有没有把某些解排除掉，或者把原本无意义的角带进来。

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和差公式：旋转后的坐标关系

和差公式最常见的入口是余弦差角公式：

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$

它可以用单位圆上的两个半径理解。角 $\alpha$ 和角 $\beta$ 各对应一个单位向量。两个单位向量的夹角是 $\alpha-\beta$，它们的点积一方面等于 $\cos(\alpha-\beta)$，另一方面等于坐标乘积相加。

由差角公式可以推出一组常用公式：

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ $$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$$

正切的和差公式来自把正弦和余弦公式相除：

$$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$$ $$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$$

这些公式的用处不是把简单问题变复杂，而是让“特殊角 + 特殊角”变得可计算。例如 $75^\circ=45^\circ+30^\circ$，所以 $\sin75^\circ$ 可以用已知特殊角求出。

交互：拖动角度验证差角公式

例题：求 $\sin 75^\circ$

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倍角与半角：把角度压缩或展开

把和角公式中的两个角都取成 $\theta$，就得到倍角公式。

$$\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$ $$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$$

再用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 改写 $\cos 2\theta$，可以得到另外两种形式：

$$\cos 2\theta=1-2\sin^2\theta$$ $$\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$$

半角公式来自把倍角公式反过来用。由 $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$，可得：

$$\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}{2}$$

由 $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$，可得：

$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$$

如果把 $\theta$ 换成 $\frac{x}{2}$，就得到常见的半角形式：

$$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$ $$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$

半角公式带平方时不需要正负号；如果要写 $\sin\frac{x}{2}$ 或 $\cos\frac{x}{2}$ 本身，就必须根据 $\frac{x}{2}$ 所在象限判断正负。

例题：把 $1-\cos x$ 改写成平方形式

由半角公式：

$$\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}$$

两边乘以 $2$，得到：

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2}$$

这个变形在处理小角表达式、三角方程和后续微积分极限时都很常见。它把“一个余弦差”改写成“一个平方”，结构更容易估计，也更容易看出非负性。

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积化和差：把相乘的波拆成相加的波

积化和差公式常被学生忽略，因为它不像倍角公式那样常出现在基础题里。但一旦遇到两个三角函数相乘，它就很有用。

常用公式包括：

$$\sin A\sin B=\frac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$$ $$\cos A\cos B=\frac12[\cos(A-B)+\cos(A+B)]$$ $$\sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)]$$

从图像上看，两个波相乘后会出现新的频率组合。积化和差把这种组合写成“频率相加”和“频率相减”的形式。以后学习积分时，这类改写会让某些乘积变得可以直接处理。

和差化积则反过来，把两个三角函数的和或差改成乘积。例如：

$$\sin C+\sin D=2\sin\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$$

当题目要求解方程时，和差化积尤其有用，因为乘积等于零可以转化为几个较简单的方程。

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化简不是越短越好

三角化简没有唯一标准。一个式子是否“更简单”，要看你下一步想做什么。

如果目标是求值，通常把角拆成特殊角，或者把所有函数化成 $\sin$ 和 $\cos$。如果目标是证明恒等式，常从较复杂的一边下手，逐步变成另一边。若目标是解方程，就要优先制造可因式分解、可平方处理、可使用基本方程的结构。

常用化简策略

1. 先看定义域。分母、根号、反三角函数和正切类函数都可能限制角的取值。
2. 把 $\tan x$、$\sec x$、$\csc x$、$\cot x$ 改写成 $\sin x$ 和 $\cos x$，往往能看出共同因子。
3. 看到 ，优先想到 ；看到 或 ，留意半角。

例题：化简 $\frac{1-\cos^2x}{\sin x}$

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三角方程为什么常有无穷多个解

三角函数有周期。只要一个角是解，把它加上完整周期后通常还是解。例如 $\sin x=\frac12$ 在一圈内有两个解：

$$x=\frac{\pi}{6}$$ $$x=\frac{5\pi}{6}$$

因为正弦的周期是 $2\pi$，所以全部解是：

$$x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$$ $$x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$$

其中 $k\in\mathbb Z$。

基本方程的通解模板

若 $\sin x=a$，先在一圈内找出所有角，再加 $2k\pi$。常见写法是：

$$x=\arcsin a+2k\pi$$ $$x=\pi-\arcsin a+2k\pi$$

这里要注意 $\arcsin a$ 只给出主值，不自动给出所有解。

若 $\cos x=a$，可以写成：

$$x=\pm\arccos a+2k\pi$$

若 $\tan x=a$，因为正切周期是 $\pi$，可以写成：

$$x=\arctan a+k\pi$$

交互：限制区间与通解

例题：解 $2\sin^2x-\sin x=0$

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限制区间会改变答案的样子

许多三角方程题不会要求全部实数解，而会给出区间，例如 $0\le x<2\pi$ 或 $-\pi\le x\le\pi$。这时答案不再写通解，而是列出区间内的具体角。

例如求解：

$$\cos x=-\frac{\sqrt2}{2},\quad 0\le x<2\pi$$

余弦为负，角在第二、第三象限；参考角是 $\frac{\pi}{4}$。所以：

$$x=\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$$

如果同一个方程要求全部实数解，则可以写成：

$$x=\frac{3\pi}{4}+2k\pi$$ $$x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi$$

其中 $k\in\mathbb Z$。

常见误区

反三角函数只返回主值。例如 $\arcsin\frac12=\frac{\pi}{6}$，但 $\sin x=\frac12$ 在 内还有 。计算器给出的主值是起点，不是完整答案。

平方两边也要小心。若把 $\sin x=\cos x$ 平方成 $\sin^2x=\cos^2x$，新方程会允许 $\sin x=-\cos x$ 的情况，可能多出解。平方后必须代回原方程检查。

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用图像检查解集

代数求解给出候选解，图像能帮助我们检查三个问题：解的个数是否合理，解的位置是否在正确象限，周期是否漏掉。

对于 $\sin x=\frac12$，图像方法就是观察 $y=\sin x$ 和水平线 $y=\frac12$ 的交点。在 内有两个交点，位置分别在第一象限和第二象限。这与单位圆和代数结果一致。

交互：图像检验三角方程

图像检查不能代替代数证明，但它能尽早发现漏解和多解。尤其是含倍角、平方、分式的方程，图像往往会提醒我们重新检查定义域和变形过程。

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综合例题：从恒等变形到方程求解

求解：

$$\cos 2x=\sin x,\quad 0\le x<2\pi$$

这道题的关键不是“记住某个套路”，而是先观察右边已经是 $\sin x$，再选择能把左边也改写成 $\sin x$ 的倍角形式。恒等式在这里像工具箱：同一个工具有几种用法，选哪一种取决于下一步要做什么。

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练习

基础恒等变形

1. 化简 $\frac{\tan x}{\sec x}$。
2. 证明 $\frac{1-\sin^2x}{\cos x}=\cos x$，并说明共同定义域。

方程求解

1. 解 $\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}$，其中 $0\le x<$。

需要检查的方程

解：

$$\sin x=\cos x,\quad 0\le x<2\pi$$

先用代数方法求解，再用图像或单位圆检查答案数量。

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通向微积分

微积分会频繁遇到三角表达式。求极限时，$1-\cos x$ 常被改写成 $2\sin^2\frac{x}{2}$；求导和积分时，倍角、半角、积化和差会把复杂表达式变成可处理的形式；研究振动和波时，和差公式帮助我们理解相位、频率和叠加。

本章要留下的核心习惯是：先问“我下一步需要什么结构”，再选择恒等式。恒等变形不是为了把公式背得更多，而是为了把同一个数学对象换成更适合当前任务的表达方式。