三角恒等式与三角方程
三角恒等式看起来像一张公式表,但它真正有用的地方不在“表”本身。它让同一个三角量换成另一种表达方式:有时为了合并同类项,有时为了看出周期,有时为了把方程变成已经会解的形式。
在前两章中,我们已经把三角函数看成单位圆上的坐标、周期图像和现实模型。本章把这些表示法重新合在一起:用单位圆理解公式,用代数变形处理表达式,用图像检查方程的解。

恒等式说的是“在共同定义域内,两边总相等”。方程说的是“在哪些输入值上,两边相等”。这两个词只差一个字,但解题方式完全不同。
基本恒等式从哪里来
单位圆上角 θ 对应的点是 (cosθ,sinθ)。因为这个点在半径为 1 的圆上,所以它满足圆的方程。
cos2θ+sin2θ=1
通常我们把它写成:
sin2θ+cos2θ=1
这条恒等式叫勾股恒等式。它不是孤立公式,而是许多三角变形的根。把两边除以 cos2θ,在 cosθ=0 时得到:
tan2θ+1=sec2θ
把两边除以 sin2θ,在 sinθ=0 时得到:
1+cot2θ=csc2θ
商数关系和倒数关系同样来自定义:
tanθ=cosθsinθ
cotθ=sinθcosθ
secθ=cosθ1
cscθ=sinθ1
定义域不能被公式遮住
每次把式子除以 sinθ 或 cosθ,都在悄悄加入条件。比如 tanθ 本身要求 cosθ=0。如果一个题目在求方程解,变形前后必须检查有没有把某些解排除掉,或者把原本无意义的角带进来。
把 sin2x+cos2x=1 两边除以 cos2x 时,不能忘记 。在恒等式证明中这叫共同定义域;在方程求解中它可能直接影响答案。
和差公式:旋转后的坐标关系
和差公式最常见的入口是余弦差角公式:
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
它可以用单位圆上的两个半径理解。角 α 和角 β 各对应一个单位向量。两个单位向量的夹角是 α−β,它们的点积一方面等于 cos(α−β),另一方面等于坐标乘积相加。

由差角公式可以推出一组常用公式:
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
正切的和差公式来自把正弦和余弦公式相除:
tan(α+β)=1−tanαtanβtanα+tanβ
tan(α−β)=1+tanαtanβtanα−tanβ
这些公式的用处不是把简单问题变复杂,而是让“特殊角 + 特殊角”变得可计算。例如 75∘=45∘+30∘,所以 sin75∘ 可以用已知特殊角求出。
交互:拖动角度验证差角公式
例题:求 sin75∘
先把 75∘ 拆成两个熟悉的角:75∘=45∘。这样可以使用正弦和角公式。
倍角与半角:把角度压缩或展开
把和角公式中的两个角都取成 θ,就得到倍角公式。
sin2θ=2sinθcosθ
cos2θ=cos2θ−sin2θ
再用 sin2θ+cos2θ=1 改写 cos2θ,可以得到另外两种形式:
cos2θ=1−2sin2θ
cos2θ=2cos2θ−1

半角公式来自把倍角公式反过来用。由 cos2θ=1−2sin2θ,可得:
sin2θ=21−cos2θ
由 cos2θ=2cos2θ−1,可得:
cos2θ=21+cos2θ
如果把 θ 换成 2x,就得到常见的半角形式:
sin22x=21−cosx
cos22x=21+cosx
半角公式带平方时不需要正负号;如果要写 sin2x 或 cos2x 本身,就必须根据 所在象限判断正负。
半角公式中最容易错的是正负号。21−cosx 只是非负平方根,而 可以正也可以负。先判断半角所在象限,再决定符号。
例题:把 1−cosx 改写成平方形式
由半角公式:
sin22x=21−cosx
两边乘以 2,得到:
1−cosx=2sin22x
这个变形在处理小角表达式、三角方程和后续微积分极限时都很常见。它把“一个余弦差”改写成“一个平方”,结构更容易估计,也更容易看出非负性。
积化和差:把相乘的波拆成相加的波
积化和差公式常被学生忽略,因为它不像倍角公式那样常出现在基础题里。但一旦遇到两个三角函数相乘,它就很有用。
常用公式包括:
sinAsinB=21[cos(A−B)−cos(A+
cosAcosB=21[cos(A−B)+cos(A+
sinAcosB=21[sin(A+B)+sin(A−

从图像上看,两个波相乘后会出现新的频率组合。积化和差把这种组合写成“频率相加”和“频率相减”的形式。以后学习积分时,这类改写会让某些乘积变得可以直接处理。
和差化积则反过来,把两个三角函数的和或差改成乘积。例如:
sinC+sinD=2sin2C+Dcos2
当题目要求解方程时,和差化积尤其有用,因为乘积等于零可以转化为几个较简单的方程。
化简不是越短越好
三角化简没有唯一标准。一个式子是否“更简单”,要看你下一步想做什么。
如果目标是求值,通常把角拆成特殊角,或者把所有函数化成 sin 和 cos。如果目标是证明恒等式,常从较复杂的一边下手,逐步变成另一边。若目标是解方程,就要优先制造可因式分解、可平方处理、可使用基本方程的结构。
常用化简策略
- 先看定义域。分母、根号、反三角函数和正切类函数都可能限制角的取值。
- 把 tanx、secx、cscx、cotx 改写成 sinx 和 cosx,往往能看出共同因子。
- 看到 ,优先想到 ;看到 或 ,留意半角。
例题:化简 sinx1−cos2x
先看定义域。原式分母是 sinx,所以要求 sinx=0。
化简三角分式时,最危险的错误是约掉可能为零的因子后忘记原式的限制。表达式变短了,不代表定义域自动扩大了。
三角方程为什么常有无穷多个解
三角函数有周期。只要一个角是解,把它加上完整周期后通常还是解。例如 sinx=21 在一圈内有两个解:
x=6π
x=65π
因为正弦的周期是 2π,所以全部解是:
x=6π+2kπ
x=65π+2kπ
其中 k∈Z。

基本方程的通解模板
若 sinx=a,先在一圈内找出所有角,再加 2kπ。常见写法是:
x=arcsina+2kπ
x=π−arcsina+2kπ
这里要注意 arcsina 只给出主值,不自动给出所有解。
若 cosx=a,可以写成:
x=±arccosa+2kπ
若 tanx=a,因为正切周期是 π,可以写成:
x=arctana+kπ
交互:限制区间与通解
例题:解 2sin2x−sinx=0
先因式分解,把方程写成 sinx(2sinx−1)=0。这样方程被拆成两个基本三角方程。
限制区间会改变答案的样子
许多三角方程题不会要求全部实数解,而会给出区间,例如 0≤x<2π 或 −π≤x≤π。这时答案不再写通解,而是列出区间内的具体角。
例如求解:
cosx=−22,0
余弦为负,角在第二、第三象限;参考角是 4π。所以:
x=43π,45π
如果同一个方程要求全部实数解,则可以写成:
x=43π+2kπ
x=45π+2kπ
其中 k∈Z。
常见误区
反三角函数只返回主值。例如 arcsin21=6π,但 sin 在 内还有 。计算器给出的主值是起点,不是完整答案。
平方两边也要小心。若把 sinx=cosx 平方成 sin2x=cos2x,新方程会允许 sin 的情况,可能多出解。平方后必须代回原方程检查。
用图像检查解集
代数求解给出候选解,图像能帮助我们检查三个问题:解的个数是否合理,解的位置是否在正确象限,周期是否漏掉。

对于 sinx=21,图像方法就是观察 y=sinx 和水平线 y= 的交点。在 内有两个交点,位置分别在第一象限和第二象限。这与单位圆和代数结果一致。
交互:图像检验三角方程
图像检查不能代替代数证明,但它能尽早发现漏解和多解。尤其是含倍角、平方、分式的方程,图像往往会提醒我们重新检查定义域和变形过程。
综合例题:从恒等变形到方程求解
求解:
cos2x=sinx,0≤x<2π
先决定把 cos2x 写成哪一种形式。因为右边是 sinx,把 cos2x 改写成 1−2 能把方程变成只含 的代数方程。
这道题的关键不是“记住某个套路”,而是先观察右边已经是 sinx,再选择能把左边也改写成 sinx 的倍角形式。恒等式在这里像工具箱:同一个工具有几种用法,选哪一种取决于下一步要做什么。
练习
基础恒等变形
- 化简 secxtanx。
- 证明 cosx,并说明共同定义域。
- secxtanx=1/cosx,共同定义域要求 。2. 因为 ,所以原式等于 ,共同定义域要求 。3. 。
方程求解
- 解 sinx=−23,其中 。
- x=34π,35π。2. 。3. 等价于 ,所以 ;在 内,。
需要检查的方程
解:
sinx=cosx,0≤x<2π
先用代数方法求解,再用图像或单位圆检查答案数量。
因为 cosx=0 时可以两边除以 cosx,得到 tanx=1,所以 x= 或 。若 ,原方程左边为 、右边为 ,不满足。因此区间内只有这两个解。
通向微积分
微积分会频繁遇到三角表达式。求极限时,1−cosx 常被改写成 2sin22x;求导和积分时,倍角、半角、积化和差会把复杂表达式变成可处理的形式;研究振动和波时,和差公式帮助我们理解相位、频率和叠加。
本章要留下的核心习惯是:先问“我下一步需要什么结构”,再选择恒等式。恒等变形不是为了把公式背得更多,而是为了把同一个数学对象换成更适合当前任务的表达方式。