数列、级数前奏与离散极限

前面几章反复研究函数：给一个输入，函数给出一个输出。数列也是函数，只是它的输入通常不是所有实数，而是第 $1$ 项、第 $2$ 项、第 $3$ 项这样的正整数位置。

这一个小差别会带来新的观察方式。函数图像常常是一条连续曲线，数列图像则是一排离散的点。我们关心每一项怎样生成、相邻两项怎样变化、前若干项加起来怎样变化，以及当项数越来越大时，它们是否靠近某个稳定的数。

数列只在整数位置取值，所以图像是一组点，而不是默认连成一条曲线。

---

学习路线

本章不急着进入完整的无穷级数理论。我们先把几个基础问题讲清楚：

• 怎样用下标表示数列中的第 $n$ 项。
• 怎样从显式公式或递推公式生成数列。
• 怎样识别等差数列和等比数列。
• 怎样把数列的前若干项相加，形成部分和。
• 怎样用“越来越接近”理解数列极限。

这些内容看起来离微积分还有一段距离，其实已经在练习同一种思维：不要只看一个孤立数值，要看一个过程在持续推进时表现出什么趋势。

---

数列的表示法

一个数列通常写成

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n,\ \ldots$$

这里的下标表示位置。$a_1$ 是第一项，$a_2$ 是第二项，$a_n$ 是第 $n$ 项，也叫通项。

例如数列

$$3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \ldots$$

可以看成一个规则：第 $n$ 项等于 $2n+1$。于是我们写成

$$a_n=2n+1$$

这条公式让我们不用逐项列到第 $100$ 项，也能直接算出

$$a_{100}=2\cdot 100+1=201$$

有限数列与无限数列

如果只列前 $10$ 项，数列就是有限数列。比如一个为期 $10$ 天的训练计划，每天跑步距离组成的数列只有 $10$ 项。

如果数列一直继续下去，就叫无限数列。数学中常见的数列大多是无限数列，因为我们想观察“当 $n$ 越来越大”时会发生什么。

从表格、图像和公式来回转换

同一个数列可以有多种表示法。以 $a_n=2n+1$ 为例：

表格适合看前几项，公式适合算远处的项，图像适合看整体趋势。学习数列时，要经常在这三种表示之间切换。

---

显式公式与递推公式

描述数列有两种常见方式：显式公式和递推公式。

显式公式直接告诉你第 $n$ 项是多少。例如

$$a_n=4n-1$$

要找第 $20$ 项，只要把 $n=20$ 代入：

$$a_{20}=4\cdot 20-1=79$$

递推公式则告诉你“从已有项怎样生成下一项”。例如

$$a_1=3,\qquad a_{n+1}=0.6a_n+2$$

这里必须先知道第一项，再一步一步算：

$$a_2=0.6\cdot 3+2=3.8$$ $$a_3=0.6\cdot 3.8+2=4.28$$ $$a_4=0.6\cdot 4.28+2=4.568$$

递推公式强调“生成过程”。它常用于人口模型、余额变化、迭代算法和逐步修正的问题。

例题：由递推公式列出前几项

已知

$$b_1=10,\qquad b_{n+1}=b_n-3$$

求前 $5$ 项。

---

等差数列

如果一个数列中，相邻两项的差总是同一个常数，这个数列叫等差数列。这个常数叫公差，通常记作 $d$。

例如

$$5,\ 8,\ 11,\ 14,\ 17,\ \ldots$$

每一项都比前一项多 $3$，所以它是等差数列，公差为 $d=3$。

等差数列的点落在一条直线上，因为它每前进一步，输出都增加同样的量。

等差数列的递推公式

如果第一项是 $a_1$，公差是 $d$，那么递推公式是

$$a_{n+1}=a_n+d$$

它的意思很直接：下一项等于当前项加上同一个差。

等差数列的显式公式

从第一项走到第 $n$ 项，需要加 $n-1$ 次公差，所以

$$a_n=a_1+(n-1)d$$

注意这里是 $n-1$，不是 $n$。从第 $1$ 项到第 $1$ 项不用加公差；从第 $1$ 项到第 $2$ 项才加一次。

例题：写出等差数列的通项

一个等差数列的第一项是 $12$，公差是 $-4$。求通项公式，并求第 $15$ 项。

---

等比数列

如果一个数列中，后一项除以前一项总是同一个非零常数，这个数列叫等比数列。这个常数叫公比，通常记作 $r$。

例如

$$2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \ldots$$

每一项都是前一项乘以 $3$，所以它是等比数列，公比为 $r=3$。

等比数列每一步乘同一个数，因此它和指数变化天然相连。

等比数列的递推公式

如果第一项是 $a_1$，公比是 $r$，那么递推公式是

$$a_{n+1}=ra_n$$

这表示每一步都乘以同一个比例。

等比数列的显式公式

从第一项到第 $n$ 项，需要乘 $n-1$ 次公比，所以

$$a_n=a_1r^{n-1}$$

这和指数函数的结构很接近。区别在于，指数函数通常允许实数输入，而等比数列只在 $n=1,2,3,\ldots$ 这些位置取值。

公比的不同情况

公比决定了等比数列的形状：

例题：识别等差还是等比

判断下面两个数列分别属于哪一类：

$$4,\ 7,\ 10,\ 13,\ \ldots$$ $$81,\ 27,\ 9,\ 3,\ \ldots$$

---

部分和与级数前奏

数列研究的是一项一项的数。级数研究的是把这些项加起来以后得到什么。

如果有数列

$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots$$

它的前 $n$ 项部分和记作

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$$

注意 $S_n$ 本身也是一个数列。它记录的是“前 $n$ 项加到哪里了”。

例如

$$a_n=\frac{1}{2^n}$$

前几项是

$$\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \frac1{16},\ \ldots$$

对应的部分和是

$$S_1=\frac12$$ $$S_2=\frac12+\frac14=\frac34$$ $$S_3=\frac12+\frac14+\frac18=\frac78$$ $$S_4=\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac{15}{16}$$

部分和不是看单项大小，而是看前若干项累计后的结果。

求和符号

为了少写很多加号，数学中用求和符号表示部分和：

$$\sum_{k=1}^{n}a_k$$

它的意思是让 $k$ 从 $1$ 依次取到 $n$，把每个 $a_k$ 加起来。比如

$$\sum_{k=1}^{5}(2k+1)$$

表示

$$3+5+7+9+11=35$$

求和符号里的字母 $k$ 只是一个临时计数器。写成 $i$、$j$ 也可以，只要上下限和表达式对应清楚。

等差数列的前 n 项和

等差数列的部分和有一个很自然的配对想法。第一项和最后一项相加，第二项和倒数第二项相加，结果相同。

因此前 $n$ 项和为

$$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

如果用 $a_n=a_1+(n-1)d$ 代入，也可以写成

$$S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$$

等比数列的前 n 项和

等比数列前 $n$ 项和满足

$$S_n=a_1+a_1r+a_1r^2+\cdots+a_1r^{n-1}$$

当 $r\ne 1$ 时，

$$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$$

这个公式来自一个简单的相减技巧。把 $S_n$ 乘以 $r$，再与原式相减，中间大多数项会抵消。

---

有限过程与无限过程

有限过程可以一步一步完成。例如求

$$\sum_{k=1}^{20}k$$

虽然项数不少，但它仍然是有限求和。只要愿意，总能算完。

无限过程不同。比如

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots$$

这里没有“最后一项”。我们不能真的把所有项逐个加完，只能观察部分和 $S_n$ 在 $n$ 越来越大时是否靠近某个数。

当 $|r|<1$ 时，等比部分和

$$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$$

中的 $r^n$ 会越来越接近 $0$，于是部分和会靠近

$$\frac{a_1}{1-r}$$

对于

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac1{16}+\cdots$$

这里 $a_1=\frac12$，$r=\frac12$，所以无限过程的目标值是

$$\frac{\frac12}{1-\frac12}=1$$

---

数列极限的直觉

数列极限描述的是：当 $n$ 越来越大时，$a_n$ 是否越来越接近某个固定数。

例如

$$a_n=1+\frac1n$$

前几项是

$$2,\ 1.5,\ 1.333\ldots,\ 1.25,\ 1.2,\ \ldots$$

这些项一直大于 $1$，但离 $1$ 越来越近。我们说这个数列的极限是 $1$，记作

$$\lim_{n\to\infty}a_n=1$$

极限不是说数列某一项等于目标值，而是说项数足够大以后，数列项可以离目标值任意近。

不是所有数列都有极限

数列

$$1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ \ldots$$

不会靠近某一个固定数，它一直在 $1$ 和 $-1$ 之间跳动，所以没有极限。

数列

$$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$$

越来越大，也不会靠近某个有限数，所以它没有有限极限。

例题：用直觉判断极限

判断下面数列是否有极限：

$$c_n=\frac{3n+1}{n}$$

---

常见误区

把下标当成乘法

$a_5$ 表示第 $5$ 项，不表示 $a\cdot 5$。下标是位置标签，不是乘号。

把数列图像连成曲线

数列只在整数位置取值。为了看趋势，有时会想象点附近有一条辅助曲线，但原本的数列图像是一组离散点。

把递推公式当成通项公式

$a_{n+1}=a_n+2$ 不能直接代入 $n=100$ 得到第 $100$ 项。它只告诉你如何从上一项走到下一项。若要直接算第 项，需要先推出通项，或从初始项递推到目标项。

把级数和数列混为一谈

数列看的是 $a_n$，级数看的是部分和 $S_n$。例如 $a_n=\frac1n$ 会趋近 ，但这并不自动说明

$$\sum_{k=1}^{n}\frac1k$$

会靠近某个有限数。

---

通向微积分

数列和级数让我们第一次比较认真地面对“无限过程”。这正是微积分的核心语言之一。

在极限中，我们会问函数值在输入靠近某个位置时是否稳定。数列极限问的是，当位置编号 $n$ 越来越大时，数列项是否稳定。两者形式不同，但都在训练同一个判断：不要只看当前一步，要看不断推进后的趋势。

部分和也会在积分学习中重新出现。以后用小矩形面积逼近曲线下面积时，本质上也是把许多小量加起来，观察加得越来越细、越来越多时是否靠近一个稳定值。

所以，本章不是微积分之外的插曲。它是在离散世界里提前练习极限、累加和逼近。

---

练习

练习一

写出数列 $a_n=3n-2$ 的前 $5$ 项，并求 $a_{20}$。

练习二

已知递推数列 $b_1=4$，$b_{n+1}=2b_n-1$。写出前 项。

练习三

判断数列 $18,\ 14,\ 10,\ 6,\ \ldots$ 是否为等差数列。如果是，写出公差和通项公式。

练习四

判断数列 $5,\ 15,\ 45,\ 135,\ \ldots$ 是否为等比数列。如果是，写出公比和通项公式。

练习五

求

$$\sum_{k=1}^{4}(2k+3)$$

练习六

判断数列 $a_n=2+\frac{5}{n}$ 的极限。