周期函数图像与三角建模 | 预备微积分：函数、三角与极限前奏 | 自在学

周期函数图像与三角建模

很多变化不是一路上升或一路下降，而是在重复：潮水涨落，钟表指针转动，琴弦振动，电流在正负之间来回变化。三角函数的价值在这里变得很清楚：它们把“重复”写成可计算、可画图、可预测的函数。

本章的目标不是背下一堆图像形状，而是学会从图像和情境中读出几个参数：中线、振幅、周期和相位平移。只要这些信息读对了，一个真实问题往往就能写成一个可用的三角模型。

周期函数的基本语言

如果一个函数每隔固定的输入长度就重复一次，我们说它是周期函数。用公式写，就是存在某个正数 $P$ ，使得对定义域中合适的 $x$ 都有

f(x+P)=f(x)

这样的 $P$ 叫做周期。通常我们说“周期”时，指的是最小的正周期。正弦和余弦的基本周期是 $2\pi$ ，正切的基本周期是 $\pi$ 。

周期函数图像中的一个完整重复片段叫一个周期。观察周期函数时，不必从左到右把每一点都算出来；先抓住一个周期里的关键点，再让这一段向左右重复，图像的大结构就出来了。

周期描述的是输入方向上的重复长度，不是输出的高度。振幅描述的是输出离中线有多远，周期描述的是图像多久重复一次。把这两个量混在一起，是学习三角图像时最常见的误读之一。

正弦与余弦图像

从单位圆到波形

在单位圆上，角 $t$ 对应点 $P(\cos t,\sin t)$ 。当点沿圆周匀速转动时，横坐标 $\cos t$ 和纵坐标 $\sin t$ 都在 $-1$ 与 $1$ 之间来回变化。把角放到横轴上，把坐标值放到纵轴上，就得到余弦和正弦图像。

单位圆生成正弦与余弦图像的中文教学示意图

左侧单位圆给出点 $P(\cos t,\sin t)$ ，右侧波形展示横坐标形成余弦曲线、纵坐标形成正弦曲线的对应关系。

正弦和余弦很像，差别主要在起点。 $y=\sin x$ 从原点出发，先上升； $y=\cos x$ 从最高点 $1$ 出发，先下降。它们的图像相差一个水平平移：

\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)

这句话的意思是：正弦和余弦不是两种毫无关系的波，而是同一种圆周运动从不同坐标方向观察到的结果。

基本特征

函数	周期	值域	零点	最大值	最小值
$y=\sin x$	$2\pi$	$[-1,1]$	$x=k\pi$

这里的 $k$ 表示任意整数。三角函数图像会反复出现同类点，所以用 $k$ 表示“所有重复位置”比逐个列举更自然。

振幅、周期、相位平移与中线

正弦模型常写成

y=A\sin(B(x-C))+D

这个式子里的四个参数各管一件事：

参数	图像意义	读图方法
$A$	控制上下伸缩与翻折，振幅是 $\lvert A\rvert$	最高值与最低值差的一半
$B$	控制水平压缩或拉伸	周期是 $\frac{2\pi}{\lvert B\rvert}$

正弦函数 y = A sin(B(x-C)) + D 的参数示意图，标注振幅、周期、相位平移和中线

图中用不同颜色标出振幅 $\lvert A\rvert$ 、周期 $\frac{2\pi}{\lvert B\rvert}$ 、相位平移 $C$ 和中线 $y=D$ ，展示四个参数对正弦曲线的影响。

最高值记作 $M$ ，最低值记作 $m$ 。振幅和中线可以直接由这两个数得到：

\text{振幅}=\frac{M-m}{2}

\text{中线}=\frac{M+m}{2}

周期要从横向重复读出。相邻两个最高点的横向距离、相邻两个最低点的横向距离，或者相邻两段完全相同形状的横向距离，都可以用来读周期。

相位平移最容易被符号迷惑。模型 $A\sin(B(x-C))+D$ 中， $C$ 表示向右平移 $C$ ；如果写成 $A\sin(Bx+\varphi)+D$ ，相位平移是。先把括号整理成的样子，再读平移，会少出很多错。

下面的互动可以把四个参数同时拖动。观察时不要只盯着公式变化，试着说出图像发生了什么：变高了、变密了、整体上移了，还是关键点向右推迟了。

从图像写出正弦模型

从图像或情境写模型时，可以按固定顺序来。先读最高值和最低值，再读周期，最后用一个具体点确定相位。

例题：某水池中的浮标高度每 $10$ 秒重复一次，最高高度是 $7$ 米，最低高度是 $1$ 米。若 $t=2$ 秒时浮标达到最高点，写出一个余弦模型。

先读振幅。最高值是 $7$ ，最低值是 $1$ ，所以振幅是 $\frac{7-1}{2}=3$ 。这说明浮标离中线最远时相差米。

因此一个合适模型是

h(t)=3\cos\left(\frac{\pi}{5}(t-2)\right)+4

这个模型不是“唯一写法”。如果改用正弦，也能写出等价模型。选择正弦还是余弦，主要看情境中给出的关键点更像哪一种起点：从中线向上穿过时常用正弦，从最高点或最低点开始时常用余弦。

读图建模的顺序可以记成：先竖直，后水平，再定位。先用最大值和最小值确定振幅与中线，再用重复间隔确定周期，最后用一个实际点确定相位平移。

正切图像与渐近线

正切函数来自

\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}

所以当 $\cos x=0$ 时，正切没有定义。这些位置在图像上表现为竖直渐近线：

x=\frac{\pi}{2}+k\pi

正切的零点在

x=k\pi

它的周期是 $\pi$ ，不是 $2\pi$ 。这是因为角增加 $\pi$ 后，正弦和余弦都变号，二者的比值不变。

正切函数 y=tan x 的两周期图像，标出竖直渐近线、零点和周期 π

图中展示正切函数两个周期，竖直渐近线为 $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ ，零点为 $x=k\pi$ ，相邻零点与相邻渐近线的距离均为 $\pi$ 。

正切函数没有振幅。它在每个分支上从负无穷增长到正无穷，不会被固定在某条中线附近上下摆动。因此，看到正切模型时，重点应放在周期、渐近线和某个已知点，而不是寻找最高点和最低点。

不要把所有三角图像都当成“波浪线”。正弦和余弦有最大值、最小值和振幅；正切有竖直渐近线，没有最大值、最小值，也没有振幅。

反三角函数

反函数要“一个输入对应一个输出”。可是正弦、余弦、正切本身在完整定义域上会重复，同一个函数值对应许多角。例如

\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}

如果直接说 $\arcsin\frac{1}{2}$ ，函数必须只返回一个角。为此，我们人为限制原三角函数的一段定义域，让这一段上一一对应，再定义反三角函数的主值范围。

反三角函数	输入范围	输出范围
$y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$

反三角函数限制范围示意图，对比 arcsin、arccos、arctan 的原函数选定单调区间与反函数输出范围

三栏对比说明反三角函数需要限制原三角函数的范围，分别标出 $\arcsin$ 、 $\arccos$ 、 $\arctan$ 的主值输出范围。

例如

\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right)=\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6}

这里结果不是 $\frac{5\pi}{6}$ ，因为 $\frac{5\pi}{6}$ 不在 $\arcsin$ 的主值范围内。反三角函数不是“把原来的角原封不动拿回来”，它返回的是约定范围内的那个角。

下面的互动可以切换 $\arcsin$ 、 $\arccos$ 、 $\arctan$ ，观察输入值、输出主值和单位圆位置之间的关系。

周期模型的真实场景

潮汐水位

很多海岸一天会出现两次高潮和两次低潮。相邻高潮之间常约为 $12$ 小时 $25$ 分钟。真实潮汐受海岸形状、风、气压和海底地形影响，不会完全等于一个正弦函数，但正弦模型能抓住最基本的重复结构。

潮汐水位的周期模型示意图，左侧为海堤水位观测场景，右侧为时间与水位的正弦曲线，标出高潮、低潮、中线和约 12 小时 25 分钟的高潮间隔

图中用中线、振幅、高潮与低潮展示水位随时间周期变化的模型，并标明相邻高潮之间约 $12$ 小时 $25$ 分钟。

设某港口一天内最高水位约为 $5.8$ 米，最低水位约为 $1.4$ 米，相邻高潮间隔约为 $12.42$ 小时。若 $t=0$ 表示某次高潮时刻，一个余弦模型可以写成

h(t)=2.2\cos\left(\frac{2\pi}{12.42}t\right)+3.6

这里 $2.2$ 是振幅， $3.6$ 是中线， $12.42$ 是周期。用余弦是因为我们把 $t=0$ 放在高潮处，余弦正好从最大值开始。

下面的互动提供一组模拟潮汐数据。拖动参数时，注意误差指标如何变化：模型不是只要看起来像就行，它还要尽量贴近实际数据点。

声波与振动

声波也常用周期图像描述。振幅与响度有关，频率与音高有关。频率 $f$ 和周期 $T$ 的关系是

f=\frac{1}{T}

如果周期变短，单位时间内重复次数变多，频率就变高；如果振幅变大，波形离中线更远。

声波振幅与频率对比示意图，展示低振幅、高振幅、低频和高频波形，并标注周期 T 与频率 f=1/T

振幅影响声音响度，频率影响声音音高；周期越短，频率越高，音高越高。

这类模型常写成

s(t)=A\sin(2\pi ft+\varphi)

这里 $A$ 是振幅， $f$ 是频率， $\varphi$ 是初相位。和前面的 $B$ 写法相比， $B=2\pi f$ 。物理和工程中常用频率，是因为它直接表示“每秒重复多少次”。

旋转与高度

摩天轮、车轮上的标记点、曲柄滑块机构，都可以用正弦或余弦近似描述高度随时间的变化。若半径是 $R$ ，中心离地高度是 $D$ ，一圈用时 $P$ ，从最高点开始计时，乘客高度可以写成

h(t)=R\cos\left(\frac{2\pi}{P}t\right)+D

如果从最低点开始计时，可以写成

h(t)=-R\cos\left(\frac{2\pi}{P}t\right)+D

这两种写法描述的是同一种圆周运动，只是计时起点不同。

常见误区与检查方法

把角度制和弧度制混用

三角图像和微积分通常使用弧度。若公式中出现 $2\pi$ ，输入单位默认是弧度。把 $360$ 和 $2\pi$ 混在同一个公式里，会让周期直接出错。

把 $B$ 当成周期

在 $A\sin(B(x-C))+D$ 中， $B$ 不是周期。真正周期是

P=\frac{2\pi}{\lvert B\rvert}

$B$ 越大，图像越密，周期越短。

忘记中线

很多现实量不会围绕 $0$ 上下摆动。潮汐围绕平均水位，温度围绕季节平均，声压围绕平衡位置。建模前先找中线，才能正确放置整个图像。

反三角函数返回主值

看到 $\arcsin(\sin x)$ 或 $\arccos(\cos x)$ 时，不要急着把它们约掉。只有当 $x$ 已经在对应反三角函数的主值范围内时，才可以直接返回 $x$ 。

练习：判断下列说法是否正确，并说明理由。

函数 $y=4\sin(3x)+2$ 的振幅是 $4$ ，周期是 $3$ 。
若某正弦图像最高值为 $9$ 、最低值为 $1$ ，中线是 $y=5$ 。

第一句错误。振幅是 $4$ ，但周期是 $\frac{2\pi}{3}$ ，不是 $3$ 。第二句正确，中线为 $\frac{9+1}{2}=5$ 。第三句错误，的输出范围是，而不在这个范围内；因为，所以结果是。

通向微积分

微积分会继续研究这些周期函数，只是问题会更细。导数会描述波形在某一刻上升或下降得多快；积分会描述一个周期内的累积量；极限会解释正弦函数在 $0$ 附近为什么几乎像一条直线。

本章最重要的准备是把三角函数看成函数，而不只是角度计算。你现在已经能从图像读出参数，从场景写出模型，也能解释反三角函数为什么要限制输出范围。进入微积分后，这些图像直觉会直接变成变化率、速度、振动和周期累积的语言。

x

=

\frac{π}{2}

+

2

k

π

x=\frac{\pi}{2}+2k\pi