三角函数与单位圆

上一章里，指数函数让我们看见了按比例增长和衰减的过程。可生活中还有另一类变化：钟表指针绕了一圈又回来，转盘上的标记一会儿在高处、一会儿在低处。这些变化不朝一个方向走到底。要描述它们，我们需要一种能记录“转到哪里了”的函数。

你可能已经学过直角三角形里的正弦、余弦：对边除以斜边是正弦，邻边除以斜边是余弦。只要角是锐角，这套办法很好用。可如果有人问你 $\sin150^\circ$ 是多少，你就会发现原来的场地不够大了：直角三角形里已经有一个 $90^\circ$，不可能再放进一个 $150^\circ$。

我们不需要推翻之前学过的东西。接下来只做一件事：把那个三角形放进一个圆，让它的斜边绕着圆心转起来。三角形能解释的部分仍然成立，超过直角、顺时针转动、连续转好几圈的情形，也会有统一的说法。

角不只是一个开口，还记录怎么转过来

想象一根指针，固定住一端，另一端可以自由转动。指针出发时所在的射线叫始边，停下来时所在的射线叫终边，固定的端点就是角的顶点。现在，角的大小记录的是从始边到终边的旋转量。

为了让不同人的图可以直接比较，我们约定一个共同的起点：把顶点放在坐标原点，让始边沿正 $x$ 轴。这叫标准位置。逆时针转动记为正，顺时针转动记为负。

于是，$90^\circ$ 是从右边逆时针转到上方，$-90^\circ$ 是从右边顺时针转到下方。$450^\circ$ 也完全有意义：先逆时针转满一圈，再往前转四分之一圈。角没有“只能在 $0^\circ$ 到 $360^\circ$ 之间”的限制。

这里最好分清两个问题：“指针最后指向哪里”和“指针经历了多少旋转”。$90^\circ$ 与 $450^\circ$ 最后都指向上方，但旋转过程不同，角的数值也不同。若我们只画最后两条射线，确实会丢掉转过几圈的信息，所以画旋转角时可以用带箭头的弧线交代方向和圈数。

同终边：位置一样，旋转量不一定一样

$40^\circ$、$400^\circ$ 和 $-320^\circ$ 都停在同一条终边上。它们两两相差整圈，称为同终边角。与角 $\theta$ 同终边的所有角，可以写成

这里 $k\in\mathbb Z$ 表示 $k$ 可以取任意整数，包括零和负整数。加一圈、减两圈，都不会改变最后的方向。

例如，判断 $-510^\circ$ 的终边在哪里，不必沿圆一小段一小段追踪。加上两圈便得到

$210^\circ$ 比半圈多 $30^\circ$，所以终边指向左下方，在第三象限。这里我们找到的是落在 $[0^\circ,360^\circ)$ 内的同终边角，并没有把原角改成另一个相等的数。

标准位置也不等于“角必须小于一圈”。$-510^\circ$ 本身就可以画在标准位置；“标准”说的是顶点和始边如何放置。

弧度：用半径当尺子量一段圆弧

用惯了角度制，再学弧度制，很容易觉得只是多了一套换算题。我们先不换算，试着回答一个更实际的问题：指针转过某个角时，指针尖在圆周上走了多远？

同样转过 $90^\circ$，长指针的尖端走得更远，短指针的尖端走得更近。单看弧长，分不清是角变大了，还是半径变大了。解决办法是把弧长和半径放在一起比较。

设圆的半径为 $r>0$，一个非负旋转角对应的圆弧长度为 $s$。把圆整体放大两倍，$s$ 和 $r$ 都变成原来的两倍，比例不变。这个只由角决定的比例，就用来定义角的弧度数：

如果弧长刚好等于半径，$s/r=1$，这个角就是 $1$ 弧度。如果弧长是半径的 $1.5$ 倍，角就是 $1.5$ 弧度。弧度不一定带 $\pi$，$0.2$、$1$、$2.7$ 都可以是弧度数。

在半径为 $1$ 的圆上，弧度数恰好等于对应弧长的数值。这里说的是数值相等：角在量旋转，弧长在量长度，我们没有把两种对象混为一谈。

转满一圈，弧长是周长 $2\pi r$。除以半径，我们得到

所以一圈是 $2\pi$ 弧度，半圈是 $\pi$ 弧度，四分之一圈是 $\pi/2$ 弧度。它们都是从圆周长算出来的。

度与弧度怎样换算

同一个半圈，可以叫 $180^\circ$，也可以叫 $\pi$ 弧度。因此若角的度数是 $d$，弧度数是 $\theta$，两种数值之间满足

比如 $75^\circ$ 对应 $75\pi/180=5\pi/12$ 弧度；$-7\pi/4$ 弧度对应 $-315^\circ$。负号在换算中保留下来，因为转动方向没有变。

$1$ 弧度约为 $57.3^\circ$，所以 $1$ 弧度和 $1^\circ$ 相差很大。在三角函数公式中，没有度数符号时，角通常按弧度理解。$\sin1$ 的输入是 $1$ 弧度，不是 $1^\circ$。

弧度来自两个长度的比，长度单位会约掉。不过讨论旋转速度时，保留“弧度/秒”很有帮助，它能提醒我们量的是转角，免得与“圈/秒”混淆。

弧度下的同终边角

一圈现在写成 $2\pi$，所以同终边角改写为

例如，要把 $17\pi/6$ 对应的终边放回一圈内，减去 $2\pi=12\pi/6$，得到 $5\pi/6$。它在 $\pi/2$ 与 $\pi$ 之间，终边在第二象限。若角是 $-13\pi/4$，加上 $4\pi$ 得到 $3\pi/4$，终边也在第二象限。

这两种单位只是给同一个旋转量贴了不同的数字。换算后，终边所在象限不会改变。

弧长、扇形面积和转动速度从同一个比例来

弧度定义稍微整理一下，就得到

这个公式中的 $\theta$ 必须用弧度。若物体沿一个方向转动，$\theta$ 取它转过的角的大小，$s$ 就是沿圆周走过的路程。对于带正负号的旋转角，普通弧长应写成 $s=r|\theta|$；负号表示方向，不表示“负的长度”。若中途来回转动，计算总路程还要把各段路程相加，不能只看最后的净转角。

注意，弧长沿圆周量，弦长沿两个端点之间的直线量。转半圈时，弧长是 $\pi r$，两个端点之间的距离却只是直径 $2r$。

扇形面积也不需要单独死记。圆心角为 $\theta$ 的扇形占整圆的比例是 $\theta/(2\pi)$。让 $0\leq\theta\leq2\pi$，乘上整圆面积即可：

这里讨论的是一次覆盖的普通扇形。一个指针转了两圈，扫到的区域仍是同一个圆，不能据此说那个圆的面积变成了两倍。

例题：一块扇形玻璃要用多少材料

一块扇形玻璃的半径是 $6$ 厘米，圆心角是 $135^\circ$。求弧形边的长度、玻璃的面积，以及整块玻璃的周长。

同一张转盘，外侧的点为什么跑得更快

假设一个转盘匀速转动，经过时间 $t>0$ 转过角度大小 $\theta$。每单位时间转过多少角，叫角速率；每单位时间沿圆周走多远，叫线速率。这里先只讨论速率大小，用 $\omega$ 和 $v$ 表示：

把 $s=r\theta$ 代进去，得到

当我们把带方向的转动叫作“角速度”时，逆时针可以取正、顺时针可以取负；对应的线速率大小是 $r|\omega|$。本节的数值例题统一用非负的速率，以免把方向与快慢混在一起。

假设转盘每分钟转 $12$ 圈。先换成每秒的弧度数：

离圆心 $0.25$ 米的点，线速率为 $0.25\times2\pi/5=\pi/10$ 米/秒；离圆心 $0.50$ 米的点，线速率为 $\pi/5$ 米/秒。后者恰好是前者的两倍。

两个点每秒转过同样的角，也同时完成一圈。但外侧那一圈更长，外侧的点必须走得更快。这就是 $v=r\omega$ 在说的事。公式里若直接塞进“每分钟 $12$ 圈”的 $12$，忘了每圈有 $2\pi$ 弧度，答案就会少一个 $2\pi$。

让点转起来：余弦记录横坐标，正弦记录纵坐标

现在把圆心放在原点，并把半径选成 $1$。这就是单位圆。半径选 $1$ 的好处是省掉缩放：在这里看到的坐标，可以直接成为三角函数值。

让点 $P$ 从 $(1,0)$ 出发，沿圆周转动。给定角 $\theta$，先按它的正负和大小转过去，再看点落在哪里。若坐标是 $(x,y)$，我们定义

换成更常见的写法，就是

请把这句话读成一个动作：输入一个角，转到对应位置，读取横坐标和纵坐标。 $\cos$ 和 $\sin$ 都是函数名，$\cos\theta$ 并不是几个字母相乘。像 $f(x)$ 一样，它们在根据输入给出输出。

下面把弧度与坐标放在同一页里：左侧用单位半径量圆弧，右侧从圆上的点向坐标轴作投影。两幅图各自选了一个锐角，读角度时要分清它们所表示的旋转。

横向分量对应余弦，竖向分量对应正弦。随着点转动，这两个分量一起改变，半径却始终是 $1$。

点转到第二象限，横坐标是负数，余弦就取负数；点转到下半圆，纵坐标是负数，正弦就取负数。此前直角三角形的边长不能是负数，但坐标本来就可以带正负，这让新定义能处理全部象限。

一整圈转完，点回到 $(1,0)$；接着多转几圈，点仍然能落在某个位置。顺时针转也一样有位置。因此，正弦和余弦的输入可以是任意实数，定义域都是 $\mathbb R$。

输出却有范围。单位圆上的点再怎么转，横坐标、纵坐标都不可能超过 $1$ 或低于 $-1$，并且这两个端点都能取到，所以两者的值域都是 $[-1,1]$。如果一道实数角的题要求 $\sin\theta=1.2$，我们可以直接知道无解。

先走四站，不急着填满一圈

从 $(1,0)$ 出发，逆时针每转四分之一圈停一下：

读表时要保持坐标顺序：先横后纵，也就是先余弦后正弦。$\sin0=0$ 并不需要口诀，因为出发点就在 $x$ 轴上，高度是零。

再看两站之间发生什么。从 $0$ 转到 $\pi/2$，点向左上方移动，横坐标从 $1$ 减到 $0$，纵坐标从 $0$ 增到 $1$。从 $\pi/2$ 转到 $\pi$，点继续向左，却开始往下降，余弦继续减小，正弦则开始减小。这样观察一次，比把五个数看成静止的表格更能解释函数的变化。

下面的旋转器可以用来追踪这个过程。先从 $0$ 慢慢转到 $\pi$，每次先预测点的横、纵坐标是正是负、在增大还是减小，再看读数；接着试试负角，观察转动方向改变后点怎样走。

特殊角的数值，从两个三角形亲手算出来

四个轴点很容易读，但 $30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 呢？这里可以把以前的三角形知识请回来。我们只算第一象限，其他象限稍后靠对称得到。

$45^\circ$：两条直角边一样长

$45^\circ$ 把一个直角分成两半。在单位圆第一象限，终边上的点横、纵坐标相等。把点垂直投影到 $x$ 轴上，得到一个斜边为 $1$ 的等腰直角三角形。

设两条直角边都是 $a$。勾股定理告诉我们

因为 $a$ 是正的长度，取正根。所以这个点是 $(\sqrt2/2,\sqrt2/2)$，从而

根号 $2$ 的来历就是两条相等的边共同凑出斜边平方 $1$，没有额外的新规则。

$30^\circ$ 和 $60^\circ$：把等边三角形切成两半

画一个边长为 $2$ 的等边三角形，从顶点向底边作高。等边三角形的三个角都是 $60^\circ$，这条高把顶角平分成两个 $30^\circ$，也把底边平分成两段长度 $1$。

取其中一半，我们得到斜边为 $2$、短直角边为 $1$ 的直角三角形。剩下的长直角边用勾股定理算：

对于 $30^\circ$，对边是短边 $1$，邻边是长边 $\sqrt3$。把整个三角形缩小到斜边为 $1$，两条直角边就变成 $1/2$ 与 $\sqrt3/2$。把 $30^\circ$ 放在原点、邻边沿正 $x$ 轴，圆上点的坐标便是

因此 $\sin(\pi/6)=1/2$，$\cos(\pi/6)=\sqrt3/2$。改看同一个三角形中的 $60^\circ$，对边和邻边互换，所以

算过之后，才值得把结果放到一张小表里：

表格是刚才推导的记录。如果一时忘了 $30^\circ$ 的正弦和余弦谁大，先想点刚离开右端不远：横坐标应该比较大，纵坐标比较小。再想等边三角形切半的边长，数值就能恢复出来。

参考角只管大小，象限决定正负

回到开头那个问题：$150^\circ$ 的正弦是多少？终边在第二象限，与负 $x$ 轴之间还差 $30^\circ$。单位圆上的点，正好是 $30^\circ$ 对应点关于 $y$ 轴的镜像。

镜像后，高度不变，横坐标变号。所以

这里用到的 $30^\circ$ 叫原角的参考角：当终边不在坐标轴上时，它是终边与 $x$ 轴形成的锐角。参考角总是正的，并且小于 $\pi/2$。它告诉我们投影长度有多大，至于投影坐标带什么符号，要回到圆上点所在的象限看。

若先把原角化为 $[0,2\pi)$ 内的同终边角 $\beta$，四个象限的参考角 $\alpha$ 可以这样找：

不要把这又背成四条互不相干的公式。每条都是“终边距离最近的水平轴还差多少”。例如第三象限角 $7\pi/6$ 已经越过 $\pi$，多出来的 $\pi/6$ 就是参考角。

坐标的符号则只看左右、上下：第一象限两者都正；第二象限横负纵正；第三象限两者都负；第四象限横正纵负。余弦跟随横坐标，正弦跟随纵坐标，不必再添一套记忆。

例题：负角、超过一圈的角都按同一条路走

求 $\sin(-11\pi/3)$ 和 $\cos(-11\pi/3)$ 的精确值。

先判断最后停在哪里。加上两圈 $4\pi=12\pi/3$，得到同终边角

所以原角的终边实际在第一象限，参考角就是 $\pi/3$。两个坐标都取正：

原角有负号，正弦却是正的。这并不矛盾：负角表示顺时针旋转，不表示终点一定在下半圆。顺时针转得够远，同样能到达上半圆。

再看 $19\pi/6$。减去一圈得到 $7\pi/6$，在第三象限，参考角为 $\pi/6$。于是

参考角是 $\pi/6$，却不能把答案直接写成 $\sin(\pi/6)$、$\cos(\pi/6)$ 的正值。它与原角不是同终边，保留下来的只是坐标的绝对值。

终边若在坐标轴上，我们就用前面四个轴点的坐标，没必要给它硬配一个锐角参考角。

在下面的练习器中，可以先把角换算到熟悉的单位，再判断象限和参考角。每做一道都说清“为什么在这里”，比只核对数字更有用。

正切和另外三个函数，仍然从同一个点读取

现在我们知道点的横坐标和纵坐标了。如果还想知道这条终边有多陡，就比较“竖直变化”和“水平变化”。经过原点与 $P=(x,y)$ 的直线，在 $x\ne0$ 时斜率为 $y/x$。这就是正切：

对于 $\theta=\pi/4$，两个坐标相等，所以 $\tan(\pi/4)=1$。对于 $\theta=\pi/6$，纵坐标是 $1/2$，横坐标是 $\sqrt3/2$，因此

转到 $\pi/3$ 时，横、纵坐标互换，正切变成 $\sqrt3$。终边越接近竖直方向，横坐标越小，纵坐标与横坐标的比可能越大。正弦、余弦都被限制在 $[-1,1]$ 内，正切却没有这个限制。

竖直方向的正切为什么未定义

当终边在 $y$ 轴上时，横坐标为 $0$，$y/x$ 不能计算。因此正切的定义域要排除

例如 $\tan(\pi/2)$ 未定义。不能把它写成 $0$，也不能把“无穷大”当成这个点的函数值。在这些角附近，比值可能变得很大；在这些角本身，分母仍然是零。这和有理函数遇到零分母时的原则一样。

余切、正割和余割

另外三个名字看着陌生，定义都来自已经有的坐标：

$\cot$ 叫余切，是横坐标除以纵坐标；$\sec$ 叫正割，是余弦的倒数；$\csc$ 叫余割，是正弦的倒数。每次做除法，都要先看分母。

正割与余弦同号，余割与正弦同号；正切和余切的符号由两个坐标是否同号决定。所以第一、第三象限的正切和余切为正，第二、第四象限为负。

在值域上，正割和余割的绝对值至少是 $1$，因为它们在取一个绝对值不超过 $1$、又不为零的数的倒数。两者的值域都是 $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$。正切和余切的值域则都是 $\mathbb R$：改变终边方向，可以得到任意实数的坐标比。

例题：知道终边上的一点，求六个函数值

某角的终边经过 $Q=(-8,-15)$。这个点不在单位圆上，求这个角的六个三角函数值。

先别直接写 $\cos\theta=-8$。余弦是单位圆上点的横坐标，$Q$ 到原点的距离为

沿着同一条射线把距离缩小到原来的 $1/17$，我们才来到单位圆。对应点是 $P=(-8/17,-15/17)$，因此

剩下四个函数只需要求比值或倒数：

检查一次符号：终边在第三象限，正弦、余弦都应为负，正切应为正，答案一致。一般来说，终边上任意非原点的点 $(x,y)$ 都可以这样用：先算 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$，再用 $x/r$ 求余弦、$y/r$ 求正弦。这也解释了为什么把图放大，不会改变角的三角函数值。

勾股恒等式：圆上坐标必须一起满足的条件

单位圆上所有点到原点的距离都是 $1$。用勾股定理把这句话写成坐标语言，就是

把 $x=\cos\theta$、$y=\sin\theta$ 代进去，我们得到

这就是勾股恒等式。它不是一个只在某些特殊角碰巧成立的方程；任意实数角对应的点都在单位圆上，所以它对每个实数角都成立。即使点在第二或第三象限，坐标有负号，平方后也仍然满足圆的方程。

这里 $\sin^2\theta$ 是 $(\sin\theta)^2$ 的简写：先算正弦，再把结果平方。它不是 $\sin(\theta^2)$，也不是 $\sin(2\theta)$。

知道一个坐标，另一个坐标还差一个方向信息

已知 $\sin\theta=5/13$，并且终边在第二象限，求 $\cos\theta$。

先代入恒等式，得到

开平方时，暂时有两种可能：$\cos\theta=12/13$ 或 $\cos\theta=-12/13$。这个“正负不确定”不是计算出了问题，而是同一条水平线 $y=5/13$ 与单位圆相交于左右两个点，它们的正弦相同，余弦却相反。

题目说第二象限，点在左边，所以必须取

如果删掉象限条件，仅凭正弦为 $5/13$，我们就不能断言余弦是哪一个。也不要直接写 $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}$：平方根符号给的是非负结果，只有确定余弦非负时才能这样写。

另外两种形式，也只是同一条式子变形

若 $\cos\theta\ne0$，把勾股恒等式的每一项都除以 $\cos^2\theta$，便得到

若 $\sin\theta\ne0$，改为除以 $\sin^2\theta$，则得到

暂时只要知道它们从哪里来，以及除法要求什么条件。后面学习恒等变形时，我们会用这些关系把复杂表达式逐步换成能处理的形式。

反着转、转半圈、转整圈：对称性让计算变短

我们在函数图像中见过奇函数和偶函数。现在不用重新猜，看看单位圆上的点怎么变即可。

角变成相反数，点关于 $x$ 轴对称

从正 $x$ 轴出发，一个角逆时针转 $\theta$，另一个顺时针转同样多，两个点关于 $x$ 轴对称：横坐标一样，纵坐标相反。因此

余弦是偶函数，正弦是奇函数。再取纵坐标与横坐标的比，就有 $\tan(-\theta)=-\tan\theta$，正切也是奇函数。按倒数、比值定义继续判断，正割是偶函数，余割和余切是奇函数。这些等式都在相应函数的定义域内使用。

举个例子，$\cos(-\pi/3)=1/2$，但 $\sin(-\pi/3)=-\sqrt3/2$。把所有负角都机械地“提出一个负号”，会把余弦算错。

多转整圈，两个坐标都恢复

转过 $2\pi$ 后，点回到出发位置，所以

这就是周期性。周期说的是：输入整体增加同样的长度后，函数在所有相应位置都重复。不能只凭两个角的函数值相等，就认定它们之差是周期；比如 $\sin0=\sin\pi=0$，但 $\sin(\pi/2)=1$、$\sin(3\pi/2)=-1$，说明 $\pi$ 并不是正弦的周期。

正弦和余弦的最小正周期都是 $2\pi$。在存在最大值、最小值和过零点的整段变化中，都必须转满一圈才会完整重来。正割和余割取相应坐标的倒数，最小正周期也都是 $2\pi$。

只转半圈，为什么正切已经重复

转过 $\pi$，圆上点来到正对面，$(x,y)$ 变成 $(-x,-y)$。正弦和余弦各自变号，正切的比值却不变：

因此正切的最小正周期是 $\pi$，余切也一样。几何上很好理解：一条经过原点的斜线，朝右上方的射线和朝左下方的射线终边不同，却有相同的斜率。

回到直角三角形：把坐标关系用于长度

单位圆解释了所有角，我们再回过头来看熟悉的锐角三角形，会更清楚为什么那些边长比只依赖角。

设一个直角三角形斜边长为 $c$，锐角 $\theta$ 的邻直角边长为 $a$，对边长为 $b$。把整个三角形缩放到原来的 $1/c$，斜边变成 $1$，另两条边变成 $a/c$ 和 $b/c$。角没有变，把它摆在第一象限，就能读到单位圆上的坐标：

这正是原来的“邻边比斜边、对边比斜边、对边比邻边”。不管三角形放大多少倍，这些比值都不变，因为相似三角形的对应边同比例缩放。

“对边”和“邻边”必须相对于题目所指的角来认。斜边永远是直角的对边，也是三角形最长的边；另两条直角边中，不接触 $\theta$ 的是对边，与它相邻的是邻直角边。不能把“图上横着的边”永远叫邻边，三角形旋转以后，三角比不会改变。

余角为什么交换正弦和余弦

同一个直角三角形中的两个锐角 $\alpha$、$\beta$ 满足 $\alpha+\beta=\pi/2$。对着 $\alpha$ 的那条直角边，恰好挨着 $\beta$；斜边却始终是同一条边。因此

也就是对于这里的锐角，

对边和邻边交换后，正切与余切交换；再看斜边比邻边或对边，正割与余割也交换：

所以 $\sin23^\circ=\cos67^\circ$，不是一个需要另外记住的巧合。它们在同一个直角三角形里，就是同一组边的比值。这些关系还可以通过单位圆推广到双方都有定义的角；这里先把三角形里的原因看清楚。

例题：知道斜边和一个角，怎样找另外两条边

一个直角三角形的斜边为 $18$ 厘米，其中一个锐角为 $40^\circ$。求这个角的对边、邻边及另一个锐角。

先认量：已知的是斜边，未知的是两条直角边。设对边为 $b$、邻边为 $a$，直接写出

因此

另一个锐角为 $90^\circ-40^\circ=50^\circ$。用勾股关系检查时，最好使用没有提前舍入的数：$a^2+b^2=18^2$。两个求出的长度都小于斜边，也符合直角三角形的形状。

计算器要设为度数模式。若只有弧度模式，就把输入改为 $40\pi/180$。同样输入数字 $40$，两种模式算的不是同一个角。正弦、余弦并不只在特殊角才有值；普通角同样有值，只是通常用计算器给出近似数。

例题：测到的仰角，从哪里算起

在平坦地面上，测量者距一根竖直旗杆的底部水平距离为 $24$ 米，眼睛离地 $1.6$ 米。他看向旗杆顶端，视线与水平线的夹角为 $35^\circ$。求旗杆高度。

先画出经过眼睛的水平线。视线与这条水平线之间的角，才是仰角；不是视线与旗杆之间的角。设旗杆总高度为 $H$，直角三角形中真正的竖直边是 $H-1.6$，水平边是 $24$，所以

解得

如果只算 $24\tan35^\circ$，得到的是旗杆顶部比眼睛高多少，少了眼睛到地面的那一段。写公式之前把实际长度对应好，比事后背“测高要加身高”可靠。

俯角也从观察者处的水平线向下量。若地面水平，两条水平线平行，俯角与对面看回来的仰角相等；这来自平行线的角关系。地面若倾斜或旗杆不竖直，就不能原样套用上面的模型，必须按实际几何关系重新画图。

从旋转走向波形，也看清弧度为什么会留下来

假设每次把转过的角 $\theta$ 记在一条横轴上，再把点的纵坐标记在纵轴上。$\theta$ 从 $0$ 走到 $2\pi$，纵坐标依次经过 $0,1,0,-1,0$。把中间连续变化的值也画出来，就会出现熟悉的正弦波形。

这幅函数图像中的横轴是角，已经不是单位圆平面中的横坐标了。单位圆上的点是 $(\cos\theta,\sin\theta)$；正弦函数图像上的点则是 $(\theta,\sin\theta)$。这两个有序数对说的是两张不同的图，读图时要分清。

若改为记录圆上点的横坐标，就得到余弦图像。它在 $\theta=0$ 时从 $1$ 出发，到了 $\pi/2$ 变成 $0$。两条波形来自同一个点的两个方向的投影，这也是下一章比较正弦、余弦图像的起点。

还有一件事，我们现在可以提前看一眼。点从 $(1,0)$ 刚出发时，圆周在局部接近竖直方向。若转过一个很小的弧度角 $\theta$，沿单位圆走过的弧长数值是 $\theta$，上升的高度是 $\sin\theta$，二者非常接近。

例如使用弧度计算时，$\sin0.1\approx0.0998334$，$\sin0.01\approx0.00999983$。角越靠近零，高度与弧度数的比越接近 $1$。这让我们得到一个小角近似：

它不是对所有角都成立的等式。$\theta=\pi/2$ 时，正弦是 $1$，角的弧度数约为 $1.571$，两者已经有明显差别。正切在零附近也有 $\tan\theta\approx\theta$，可以结合 $\tan\theta=\sin\theta/\cos\theta$ 和此时余弦接近 $1$ 来理解。

换成度数，同样小的 $1^\circ$ 对应的弧长数值是 $\pi/180$，正弦约为 $0.01745$，当然不会接近数字 $1$。于是，用度数研究“输入增加一点，输出增加多少”时，就总会带着换算因子 $\pi/180$。

微积分里，正弦函数的变化率会与余弦联系起来。使用弧度时，我们会学到简洁的 $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$。此处只提前说明弧度为何方便，并不要求你现在会求导；严格说明小角近似以及变化率，需要后面极限的语言。

下一章的问题也已经在眼前了：单位圆的投影只能在 $-1$ 和 $1$ 之间摆动，可现实中的高度有半径和基准位置，一次循环也可能花几秒或几小时。我们会把以前学过的平移、伸缩用到这些波形上，让圆上的变化对应到实际测量值。

自检练习：把位置、坐标和条件一起说清楚

转了多少，停在哪里

把 $-750^\circ$ 换成弧度，找出它在 $[0,2\pi)$ 内的同终边角，判断象限和参考角，再求正弦、余弦、正切的精确值。

同一个旋转，长度和面积各是多少

一个半径为 $8$ 厘米的圆，取圆心角 $150^\circ$ 所对的扇形。求弧长、面积、周长。若把半径加倍而角不变，这三个量分别怎样变？

一张转盘上的两个点

一个转盘匀速转动，每 $8$ 秒转一圈。甲点距圆心 $0.20$ 米，乙点距圆心 $0.60$ 米。求两点的角速率和线速率；从某一时刻起经过 $2$ 秒，各走过多少路程？

用恒等式找到缺失的坐标

已知 $\cos\theta=-7/25$，且终边在第二象限，求其他五个三角函数值。若只删掉“第二象限”这个条件，哪些答案不能唯一确定？

零与未定义，不能互相替代

分别求 $\tan\pi$、$\cot\pi$、$\tan(3\pi/2)$、$\cot(3\pi/2)$、$\sec(3\pi/2)$ 和 $\csc(3\pi/2)$。再解释为什么不能根据 $\sin0=\sin\pi$ 就说正弦的周期是 $\pi$。

从一条视线算回实际高度

在平坦地面上，观察点与一堵竖直墙的水平距离为 $12$ 米，眼睛离地 $1.5$ 米。看向墙顶的仰角为 $30^\circ$。求墙高及眼睛到墙顶的直线距离。

做完这些题，再让单位圆上的点转一圈：角告诉我们转到哪里，正弦记录高度，余弦记录左右位置。接下来，我们把每个角和对应高度记到一张新的坐标纸上，沿着这条连续的记录看波形怎样起伏。圆的半径变大，波形会有多高；转完一圈花的时间改变，波形又会有多宽——下一章就从这两个具体问题开始。