三角函数与单位圆

三角函数最初看起来像一张需要背诵的表：$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$ 分别对应哪些数，正弦、余弦、正切在哪些象限为正。这样学可以应付一部分计算，却很容易在角超过 $90^\circ$、出现负角、或者需要读图像时失去方向。

本章换一种主线来看三角函数：角表示旋转，单位圆把旋转变成坐标，坐标随旋转重复变化，于是得到周期函数。学完这一章，你应当能从同一幅图里读出角、弧长、坐标、符号、特殊值和周期图像，而不是把它们当成几套互不相干的规则。

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角、旋转与弧度

在坐标平面中，把一个角放在标准位置：顶点在原点，始边沿着正 $x$ 轴，终边由始边旋转得到。逆时针旋转记为正角，顺时针旋转记为负角。

角度制把一整圈分成 $360$ 份，所以一整圈是 $360^\circ$。弧度制的想法更贴近圆本身：角的大小用它在圆上截出的弧长来度量。若圆的半径是 $r$，弧长是 $s$，对应的弧度数为

$$\theta=\frac{s}{r}$$

在单位圆中，半径 $r=1$，于是弧度数就等于弧长。也就是说，$1$ 弧度不是一个神秘单位，它就是“在半径为 $1$ 的圆上走过弧长 $1$ 所转过的角”。

一整圈的弧长是单位圆周长 $2\pi$，所以

$$360^\circ=2\pi \text{ 弧度}$$

由此得到最常用的换算关系：

$$180^\circ=\pi \text{ 弧度}$$

所以把角度换成弧度时乘以 $\frac{\pi}{180}$，把弧度换成角度时乘以 $\frac{180}{\pi}$。

同终边角

同一条终边可以由很多角得到。例如 $30^\circ$、$390^\circ$、$-330^\circ$ 都停在同一条终边上，因为它们之间相差整圈。

用弧度写，同终边角的一般形式是

$$\theta+2k\pi,\quad k \text{ 是整数}$$

这条规则以后会反复出现。三角函数有周期性，正是因为旋转一整圈后又回到同一个位置。

例题：把角放回标准位置

求 $\frac{17\pi}{6}$ 的标准位置角，并判断它落在哪个象限或坐标轴上。

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单位圆生成正弦和余弦

单位圆是以原点为圆心、半径为 $1$ 的圆。它的方程是

$$x^2+y^2=1$$

让角 $\theta$ 从正 $x$ 轴开始旋转，终边与单位圆交于点 $P$。这个点的坐标定义了余弦和正弦：

$$P=(\cos\theta,\sin\theta)$$

也就是说，$\cos\theta$ 是单位圆上对应点的 $x$ 坐标，$\sin\theta$ 是对应点的 $y$ 坐标。这一定义比“直角三角形中的邻边比斜边、对边比斜边”更宽，因为它可以处理任意角，包括钝角、负角和超过一圈的角。

从这个定义可以立刻读出一些基本值：

$$\cos 0=1,\quad \sin 0=0$$ $$\cos\frac{\pi}{2}=0,\quad \sin\frac{\pi}{2}=1$$ $$\cos\pi=-1,\quad \sin\pi=0$$ $$\cos\frac{3\pi}{2}=0,\quad \sin\frac{3\pi}{2}=-1$$

这些值不是靠记忆硬塞进去的，而是单位圆上四个轴点的坐标。

正切是什么

正切定义为正弦与余弦的比值：

$$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$

在单位圆里，这就是点 $P$ 的纵坐标除以横坐标。只要 $\cos\theta=0$，正切就没有定义。比如 $\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{3\pi}{2}$ 的终边都在 轴上，对应点的横坐标为 ，所以正切未定义。

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特殊角不是孤立表格

第一象限中最常见的特殊角是

$$0,\quad \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{4},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{\pi}{2}$$

它们对应 $0^\circ$、$30^\circ$、$45^\circ$、$60^\circ$、。这些角的正弦和余弦来自两类熟悉的直角三角形：-- 三角形和 -- 三角形。

第一象限特殊角的坐标可以整理为：

一个常用记法是：从 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$，正弦值按

$$0,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \frac{\sqrt{3}}{2},\quad 1$$

逐步增大；余弦值按相反顺序变化。这个记法有用，但不要让它替代图像理解。只要知道点从右端沿单位圆走到上端，横坐标逐渐减小，纵坐标逐渐增大，表格就有了几何来源。

例题：不用计算器求特殊角

求 $\sin\frac{7\pi}{6}$、$\cos\frac{7\pi}{6}$、$$。

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象限符号与参考角

单位圆把符号问题变得很直接：右半平面的 $x$ 坐标为正，左半平面的 $x$ 坐标为负；上半平面的 $y$ 坐标为正，下半平面的 $y$ 坐标为负。

因此：

参考角是终边与 $x$ 轴之间的锐角。它帮助我们把任意象限的角转回第一象限的特殊角，再根据象限决定符号。

例如 $\frac{5\pi}{6}$ 在第二象限，参考角是 $\frac{\pi}{6}$。第一象限中 $\frac{\pi}{6}$ 的坐标绝对值是 。第二象限横坐标为负、纵坐标为正，所以

$$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$$

常见误区

另一个常见错误是把 $x$ 坐标和 $y$ 坐标颠倒。单位圆上点的顺序始终是

$$(\cos\theta,\sin\theta)$$

横坐标是余弦，纵坐标是正弦。写特殊角坐标时，先想点的位置，再写坐标，能减少很多交换错误。

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直角三角形三角比与单位圆

在直角三角形中，对于一个锐角 $\theta$，三角比定义为

$$\sin\theta=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}},\quad \cos\theta=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}},\quad \tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$

这和单位圆定义并不冲突。把任意直角三角形按斜边长度缩放到 $1$，就得到单位圆第一象限中的一个相似三角形。缩放后，斜边是 $1$，邻边长度变成 $\cos\theta$，对边长度变成 $\sin\theta$。

所以直角三角形的三角比可以看成单位圆定义在第一象限锐角上的版本。单位圆把这个版本扩展到了所有角。

例题：从三角形到单位圆

一个直角三角形中，角 $\theta$ 的对边为 $5$，邻边为 $12$。求 $\sin\theta$、$\cos\theta$ 和 $\tan\theta$。

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从旋转到周期图像

当角 $\theta$ 连续增大时，单位圆上的点 $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ 会绕圆旋转。点的横坐标随时间变化就是余弦函数，点的纵坐标随时间变化就是正弦函数。

因为转过一整圈后点回到原处，所以

$$\sin(\theta+2\pi)=\sin\theta$$ $$\cos(\theta+2\pi)=\cos\theta$$

正弦和余弦的周期都是 $2\pi$。这里的周期不是额外背下来的性质，而是“旋转一整圈后坐标重复”的结果。

正弦和余弦的相位关系

从单位圆上看，$\cos\theta$ 记录横坐标，$\sin\theta$ 记录纵坐标。角从 $0$ 开始时，点在 $(1,0)$，所以余弦从 $1$ 开始，正弦从 $0$ 开始。转到 $\frac{\pi}{2}$ 时，点在 ，正弦达到 ，余弦变为 。

这解释了为什么正弦图像和余弦图像形状相同，但水平位置错开。它们描述的是同一个圆周运动的两个投影。

正切的周期

正切是 $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。如果角增加 $\pi$，单位圆上的点变到正对面的点，横坐标和纵坐标同时变号：

$$\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta,\quad \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$$

因此比值不变：

$$\tan(\theta+\pi)=\tan\theta$$

所以正切函数的周期是 $\pi$。不过正切在 $\cos\theta=0$ 的地方未定义，它的图像会出现竖直渐近线。这一点在后续学习周期函数图像时会更系统地展开。

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微积分为什么偏爱弧度制

微积分关心的是“很小的变化会造成多大的函数变化”。对三角函数来说，这个问题会落到小角度附近：当 $\theta$ 很小时，$\sin\theta$、$\tan\theta$ 和 $\theta$ 本身之间有什么关系？

如果 $\theta$ 用弧度表示，单位圆上的弧长就是 $\theta$。在很小的角附近，弧、弦和切线段的长度非常接近，因此有一个重要直觉：

$$\sin\theta \approx \theta,\quad \tan\theta \approx \theta$$

这里的 $\theta$ 必须是弧度。如果用角度制，$1^\circ$ 不是单位圆上的弧长 $1$，而是 $\frac{\pi}{180}$ 弧度。比例关系会被一个额外常数打乱。

在微积分 I 中，你会看到这些结论：

$$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

这些公式默认 $x$ 用弧度。若用角度制，公式右侧会多出常数因子，既不自然，也不便于和单位圆的几何解释连接。

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自检练习

练习

1. 把 $210^\circ$ 写成弧度，并求它的参考角。
2. 求 $\sin\frac{11\pi}{6}$、$\cos\frac{11\pi}{6}$、。

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本章收束

三角函数可以从三个角度同时理解：旋转角 $\theta$ 决定单位圆上的点，点的坐标给出 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$，坐标随角连续变化形成周期图像。正切则是纵坐标和横坐标的比值，因此会继承象限符号，也会在横坐标为 $0$ 时未定义。

本章最该带走的不是一张特殊角表，而是一套读图顺序：先把角放在标准位置，找终边和参考角；再读单位圆坐标，判断符号；最后把旋转一整圈后的重复性理解为周期。下一章学习周期函数图像和三角建模时，这套顺序会变成读振幅、周期、相位平移和现实周期现象的基础。