指数函数、对数函数与增长模型 | 预备微积分：函数、三角与极限前奏 | 自在学

指数函数、对数函数与增长模型

很多变化不是“每过一段时间加同样多”，而是“每过一段时间乘同一个数”。银行存款按百分比增加，药物浓度按比例降低，细菌在适合环境中按倍数增长，声音强弱和地震能量常用对数刻度描述。指数函数和对数函数就是为这些问题准备的语言。

本章的主线很短：指数函数描述按比例变化，对数函数反过来回答“需要多少次”“需要多久”“指数是多少”。如果能把这两句话抓稳，公式就不再像一串孤立规则。

线性增长与指数增长的对比图，左侧表示每次加同样多，右侧表示每次乘同样倍数。

从加法变化到乘法变化

线性模型的特点是相同时间间隔内增加同样的量。如果一个水箱每分钟注入 3 升水，那么 0 分钟、1 分钟、2 分钟、3 分钟后的水量每次都加 3。图像是一条直线。

指数模型的特点是相同时间间隔内乘同样的因子。如果一种数量每小时增加 20%，那么下一小时不是加固定数，而是乘 $1.2$ 。数量越大，下一次增加的绝对量也越大。

最常见的离散指数模型写成：

y=a\cdot b^t

这里 $a$ 是初始量， $b$ 是每过一个单位时间乘上的因子， $t$ 是经过的时间单位数。若 $b>1$ ，模型表示增长；若 $0<b<1$ ，模型表示衰减。

也可以把乘法因子写成 $1+r$ ：

y=a(1+r)^t

其中 $r$ 是每个时间单位的增长率或衰减率。增长 8% 对应 $r=0.08$ ，所以因子是 $1.08$ ；衰减 8% 对应 $r=-0.08$ ，所以因子是 $0.92$ 。

“增加 20%”不是“加 20”。百分比变化一定要先找到基准量。若一件商品从 100 元涨 20%，涨价是 20 元；若从 300 元涨 20%，涨价是 60 元。指数模型关心的是这种按比例变化，而不是固定差值。

下面的交互可以直接改变初值、增长率和时间范围。观察图像和表格时，重点看每相邻两项的比值，而不是差值。

用表格识别指数模型

判断一组数据是否适合指数模型，先不要急着套公式。把相邻时间点的比值算出来，比值接近固定时，指数模型才有可能合适。

例如，某种细菌数量每小时记录一次：

时间（小时）	0	1	2	3	4
数量	50	75	112.5	168.75	253.125

相邻两项的比值都是 $1.5$ ，因此模型可以写成：

N(t)=50(1.5)^t

如果相邻差值接近固定，更像线性模型；如果相邻比值接近固定，更像指数模型。真实数据通常有噪声，所以“接近”比“完全相等”更常见。

倍增时间与半衰期

指数增长常用倍增时间描述。倍增时间是数量变为原来 2 倍所需的时间。指数衰减常用半衰期描述。半衰期是数量变为原来一半所需的时间。

指数衰减曲线展示每过一个半衰期剩余量减半，旁边的增长时间轴展示每过一个倍增时间数量乘 2。

如果某个量每 6 小时翻倍，初始量是 10，那么经过 $t$ 小时后的模型可以写成：

Q(t)=10\cdot 2^{t/6}

这里指数 $t/6$ 表示“经过了多少个 6 小时”。当 $t=6$ 时，指数是 1，数量乘 $2$ ；当 $t=12$ 时，指数是 2，数量乘 $2^2$ 。

如果某种药物在体内的半衰期是 4 小时，初始含量是 80 毫克，那么经过 $t$ 小时后的模型是：

A(t)=80\left(\frac12\right)^{t/4}

当 $t=4$ 时，剩余 $40$ 毫克；当 $t=8$ 时，剩余 $20$ 毫克。这里不是每 4 小时减少 40 毫克，而是每 4 小时剩下一半。

半衰期问题里最常见的错误，是把“每过一个半衰期减半”误读成“每过一个半衰期减少同样多”。如果药物从 80 毫克到 40 毫克减少了 40 毫克，下一段不是再减少 40 毫克，而是从 40 毫克减少到 20 毫克。

例题：用半衰期反推剩余量

一种物质的半衰期是 5 年，初始质量为 120 克。15 年后还剩多少克？

先确定经过了几个半衰期。15 年除以 5 年，得到 $15/5=3$ ，所以一共经历了 3 个半衰期。

每经历一个半衰期，剩余量乘 $\frac12$ 。经历 3 个半衰期后，乘上的因子是。

自然底数 e 与连续增长

离散模型 $a(1+r)^t$ 假设每隔一个固定时间更新一次。如果利息一年结算一次、人口一年统计一次，这种写法很自然。可是有些过程更像连续发生：细胞分裂、放射性衰变、温度冷却、药物代谢，都不会等到某个整数时刻才突然改变。

自然底数 $e$ 大约等于 $2.71828$ 。它可以从连续复利的极限直觉中出现：假设本金为 1，年利率为 100%，如果一年只计息一次，年末得到 $2$ ；如果计息次数越来越多，年末金额会越来越接近 $e$ 。

自然底数 e 与连续复利示意图，展示同样本金在一年计息 1 次、4 次、12 次和连续计息时，增长倍数逐渐接近 e 倍。

连续增长或连续衰减常写成：

y=ae^{kt}

这里 $a$ 是初始量， $k$ 是连续增长率参数。若 $k>0$ ，函数增长；若 $k<0$ ，函数衰减。

离散模型和连续模型表达的是同一类“按比例变化”的思想，只是时间处理方式不同。若每单位时间乘的因子是 $b$ ，那么也可以写成：

ab^t=ae^{(\ln b)t}

所以连续模型中的 $k$ 可以理解为 $\ln b$ 。这也是为什么自然对数 $\ln$ 会经常和 $e^x$ 一起出现。

在预备微积分阶段，不必急着证明 $e$ 的所有性质。先记住它的角色： $e^x$ 是连续比例变化最自然的指数函数， $\ln x$ 是它的反函数。进入微积分后， $e^x$ 会因为自己的变化率仍然等于自己而变得特别重要。

对数是指数问题的反向语言

指数表达式回答“已知次数，结果是多少”。对数表达式回答“已知结果，需要多少次”。

若：

2^3=8

那么：

\log_2 8=3

这句话读作“以 2 为底，得到 8 需要指数 3”。对数不是一个新的神秘运算，它是在问指数的位置。

更一般地，若 $b>0$ 且 $b\neq 1$ ，则：

y=\log_b x

等价于：

b^y=x

对数函数的定义域是 $x>0$ ，因为正底数的指数函数 $b^y$ 只会输出正数。它不会输出 0，也不会输出负数。

坐标系中绘制 y=2^x、y=log₂ x 与直线 y=x，展示指数函数和对数函数关于 y=x 对称并互为反函数。

从图像看， $y=b^x$ 和 $y=\log_b x$ 互为反函数，所以它们关于直线 $y=x$ 对称。指数函数通过点，对数函数通过点。指数函数有水平渐近线，对数函数有竖直渐近线。

常用对数与自然对数

常用对数 $\log x$ 通常表示以 10 为底的对数，适合处理数量级问题。自然对数 $\ln x$ 表示以 $e$ 为底的对数，适合处理连续增长和微积分问题。

例如：

\log 1000=3

意思是 $10^3=1000$ 。而：

\ln e^5=5

意思是 $e^5$ 的自然对数回到指数 $5$ 。

对数性质来自指数性质

对数性质不需要死记。它们都来自指数运算的规则。

指数相乘时，指数相加：

b^m\cdot b^n=b^{m+n}

因此，对数把乘法转成加法：

\log_b(MN)=\log_b M+\log_b N

指数相除时，指数相减：

\frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}

因此：

\log_b\left(\frac{M}{N}\right)=\log_b M-\log_b N

指数的幂会把指数相乘：

(b^m)^p=b^{mp}

因此：

\log_b(M^p)=p\log_b M

这些公式成立的前提是 $b>0$ 、 $b\neq 1$ ，并且所有被取对数的量都必须大于 0。

$\log_b(M+N)$ 不能拆成 $\log_b M+\log_b N$ 。对数会把乘法变成加法，不会把加法继续拆开。例如，但显然不是 3。

普通数轴与对数数轴对比，展示 1、10、100、1000 在普通数轴上跨度巨大，而在对数尺度上等间距，说明“乘以 10，对数加 1”。

对数尺度的好处是把“乘同一个倍数”转成“移动同样距离”。在以 10 为底的对数尺度上，从 1 到 10、从 10 到 100、从 100 到 1000，都是乘以 10，所以对数值每次加 1。

指数方程与对数方程

指数方程和对数方程的核心策略是互相转换。指数里有未知数时，常用对数把未知数拉下来；对数里有未知数时，常改写成指数形式。

例题：求达到目标所需时间

某投资账户初始金额为 5000 元，年增长率为 6%，按年复利。多少年后金额达到 9000 元？

先建立指数模型。初始金额是 5000，每年乘 $1.06$ ，所以 $A(t)=5000(1.06)^t$ 。

例题：解对数方程并检查定义域

解方程：

\log_2(x-1)+\log_2(x+3)=3

先检查定义域。必须有 $x-1>0$ 且 $x+3>0$ ，所以 $x>1$ 。

解对数方程时，定义域检查不是可选步骤。代数变形可能产生看似合理的候选解，但只要让某个对数的输入不大于 0，就必须舍去。

增长模型拟合

现实数据很少完全落在一条指数曲线上。建模时，我们关心的是指数模型是否能解释主要趋势，误差是否可接受，以及模型是否符合情境。

一个常用办法是对指数模型取对数。若：

y=ab^x

两边取自然对数，得到：

\ln y=\ln a+x\ln b

这说明如果数据适合指数模型，那么把纵坐标改成 $\ln y$ 后，点应该大致落在一条直线附近。这种方法叫对数线性化，也可以通过半对数图观察。

原始数据呈弯曲上升趋势，取 ln 后散点接近直线，说明适合指数模型。

模型拟合时要注意三件事。

第一，指数模型要求被建模的量为正。因为对数变换需要 $y>0$ ，同时指数模型本身也只输出正值。

第二，指数模型通常只在有限范围内有意义。细菌不能无限增长，投资收益率不会永远固定，疾病传播会受到人口和行为变化影响。一个在短期内很好的模型，长期外推可能很差。

第三，误差也要看结构。如果残差一直同方向偏离，说明模型漏掉了某些重要因素；如果残差在 0 附近无明显模式，模型可能已经抓住主要趋势。

下面的交互把线性拟合、指数拟合和对数线性化放在一起。试着移动数据点，观察哪种模型更稳。

一个简短建模流程

面对指数增长或衰减数据，可以按下面的顺序处理。

先读情境。判断变化是否和当前数量成比例，例如“每年增长 4%”“每小时剩余 92%”“每 3 天翻倍”。

再看表格。计算相邻时间点的比值，判断它们是否比相邻差值更稳定。

建立模型。若初值和固定比例已知，直接写 $y=a(1+r)^t$ 或；若数据来自观测，考虑拟合。

练习

一个数量初始为 200，每小时增长 12%。写出模型，并计算 5 小时后的数量。

模型是 $Q(t)=200(1.12)^t$ 。5 小时后 $Q(5)=200(1.12)^5\approx 352.47$ ，约为 352.47。

某药物初始含量为 60 毫克，半衰期为 3 小时。9 小时后还剩多少？

9 小时是 3 个半衰期，所以剩余量是 $60\left(\frac12\right)^3=7.5$ 毫克。

解方程 $3^{2x-1}=40$ 。

两边取自然对数，得到 $(2x-1)\ln 3=\ln 40$ ，所以 $x=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\ln 40}{\ln 3}\right)\approx 2.18$ 。

判断下面等式是否总成立： $\log_2(x+6)=\log_2 x+\log_2 6$ 。

不总成立。右边等于 $\log_2(6x)$ ，它表示乘法，不表示加法。只有在 $x+6=6x$ 且定义域满足时才会碰巧相等，此时 $x=\frac65$ ，但这不是对数性质。

通向微积分

微积分研究变化率和累积量。指数函数进入微积分，是因为很多过程的瞬时变化率与当前数量成正比。数量越多，增长越快；数量越少，衰减越慢。这正是指数模型的核心。

自然指数函数 $e^x$ 在微积分中最自然，因为它的变化率仍然是 $e^x$ 。更一般地， $e^{kt}$ 的变化率会与 $e^{kt}$ 本身成比例，比例常数是。这使它成为描述连续增长、衰减、冷却、充放电和人口模型的基本工具。

自然对数 $\ln x$ 也会反复出现。它是 $e^x$ 的反函数，可以把指数位置的未知量拉下来；在积分中，它还会和 $\frac1x$ 发生直接联系。进入微积分后，你会看到指数、对数和比例变化率其实是一组互相翻译的语言。

学完本章后，可以把指数和对数的关系压缩成一句话：指数函数把“次数”变成“结果”，对数函数把“结果”反推回“次数”。增长模型只是把这句话放进真实时间和真实数据里。