二阶线性方程的结构

到这里，我们已经会处理不少一阶方程：能分离的、线性的、精确的、自治的，也知道没有解析公式时可以用数值方法看解。接下来课程进入二阶方程。二阶方程第一次让“当前位置”和“当前速度”同时成为状态的一部分。

本章不急着求常系数方程的特征根。我们先把二阶线性方程的骨架看清楚：为什么两个齐次解可以叠加，为什么要找两个基本解，Wronskian 到底在检查什么，非齐次方程的通解为什么总是“齐次通解加一个特解”。

从一阶到二阶：状态多了一维

一阶初值问题通常写成

只要方向场足够规则，一个初始高度 $y_0$ 就能选出一条解曲线。二阶方程不同。它含有 $y''$，也就是速度 $y'$ 的变化率；要预测下一刻，光知道位置还不够，还要知道此刻朝哪里走、走得多快。

本章讨论的二阶线性方程一般写成

在 $a_2(t)\ne0$ 的区间上，把它除以 $a_2(t)$，得到标准形式

对应的初值问题是

这里 $y_0$ 是初始位置，$v_0$ 是初始速度。如果 $p,q,g$ 在同一个区间 $I$ 上连续，且 ，那么这个初值问题在整个区间 上有唯一解。这个结论比一阶存在唯一性定理更贴近本章：二阶线性方程的两个初始数据正好决定一条解。

把二阶方程改写成一阶系统会更直观。令

则

也就是说，二阶方程其实在描述平面中的状态点 $(y,y')$ 如何运动。后面学习线性系统时，我们会把这种想法发展成矩阵方法。

线性算子与叠加原理

先把标准形式左边看成一个作用在函数上的机器：

这个 $L$ 叫线性微分算子。说它“线性”，意思是对任意两个足够可导的函数 $u,v$ 和常数 $\alpha,\beta$，都有

这条式子来自求导的线性性。导数会把和拆成和，把常数保留下来；再加上 $p(t)$、$q(t)$ 乘函数，也不会破坏加法和数乘。

齐次方程是

如果 $y_1$ 和 $y_2$ 都是齐次方程的解，那么

所以

仍是齐次方程的解。这就是叠加原理。

这个区别很重要。自由振动、电路自然响应、没有外部驱动的系统，常由齐次方程描述；外力、输入电压、供给项则出现在非齐次右端。齐次解能自由叠加，非齐次解要看右端是否也一起叠加。

齐次与非齐次：先分清零输入和外部输入

标准二阶线性方程

按右端分成两种情况。

当 $g(t)=0$ 时，方程

叫齐次方程。它描述没有外部输入时，系统凭借自身状态继续运动。机械系统里，这常对应自由振动；电路里，这常对应自然响应。

当 $g(t)\ne0$ 时，方程

叫非齐次方程。右端 $g(t)$ 是外部输入、外力、源项或驱动项。它把系统从“自由运动”推向某种受迫响应。

这两个词容易让人误会。“齐次”不是说解长得整齐，也不是说方程里所有项次数相同。这里的齐次只看右端是否为零。

判断线性时，只看未知函数 $y$ 及其导数是不是以一次幂出现，并且彼此没有相乘。允许系数依赖 $t$，例如

是线性的。下面这些则不是线性的：

基本解组：用两个解张成所有齐次解

二阶齐次线性方程的解集合有一个像二维平面一样的结构。只要找到两个“方向不同”的非零解 $y_1,y_2$，就可以把所有齐次解写成

这样的两个解叫基本解组。这里“方向不同”说得更准确一些，就是它们线性无关：若

在整个区间上恒成立，那么只能有

为什么两个解就够？一个干净的理由来自初值。

设 $y_1,y_2$ 是同一个二阶齐次线性方程的解。如果在某个 $t_0$ 处，初值向量

能张成整个平面，那么任何初始状态 $(y_0,v_0)$ 都能写成它们的线性组合：

于是函数

满足这个初始位置和初始速度。由于二阶线性初值问题唯一，它就是对应初始状态的唯一齐次解。每个齐次解都有某个初始状态，所以都被这两个基本解张成。

下面的交互把这个想法放在最熟悉的例子里。对方程 $y''+y=0$，两个基础解是 $\cos t$ 和 $\sin t$。滑动 $c_1,c_2$ 时，注意它们怎样同时控制曲线和初始数据。

Wronskian：初值平面里的面积

怎样判断两个解是否真的方向不同？二阶方程里最常用的工具是 Wronskian：

这个行列式不是凭空出现的。它就是两个初值向量

在状态平面中张开的有向面积。

如果在某个 $t_0$ 处

那么这两个初值向量不平行，可以张成平面，因此 $y_1,y_2$ 构成基本解组。若 $W(t_0)=0$，这两个解在该点提供的初始信息塌缩到同一条直线上，不能在这里作为基本解组。

对同一个二阶齐次线性方程的两个解，还有一个特别方便的结论：只要系数 $p,q$ 在区间 $I$ 上连续，Wronskian 在 $I$ 上要么处处为零，要么处处不为零。它不会在区间中间偶尔变成零又恢复。

这个结论可以从 Abel 公式看出。对

的任意两个解 $y_1,y_2$，Wronskian 满足

于是

指数因子永远不为零，所以 $W(t)$ 是否为零完全由 $W(t_0)$ 决定。

下面的交互把 Wronskian 当作面积来看。拖动两个向量，观察行列式如何随着平行或张开而变化。

非齐次通解：一个特解加所有自由响应

现在回到非齐次方程

假设我们已经找到一个特解 $y_p$，满足

再设 $y_h$ 是齐次方程 $L[y]=0$ 的任意解。那么

所以 $y_p+y_h$ 仍是非齐次方程的解。

反过来，如果 $Y$ 也是非齐次方程的一个解，那么

也就是说，任意两个非齐次解的差都是齐次解。因此所有非齐次解恰好是

若 $y_1,y_2$ 是对应齐次方程的基本解组，那么非齐次通解写成

这个结构比具体求法更重要。下一章会讲常系数齐次方程怎样找 $y_1,y_2$，再下一章会讲待定系数法怎样找 $y_p$。不管具体方法怎么变，解的结构始终是同一个：

下面的交互用

做例子。一个特解是 $y_p=1$，齐次解是 $c_1\cos t+c_2\sin t$。改变 时，右端输入没有变，改变的只是叠加在特解上的自由响应。

例题：先看结构，再算常数

设方程

已知对应齐次方程 $y''-y=0$ 的两个解是

又知道非齐次方程的一个特解是

求满足

的解。

这个例子有一个小陷阱：右端 $e^t$ 恰好也是齐次解之一，所以特解不能简单猜成 $Ae^t$。本章暂时不展开待定系数法的规则，只要先记住：特解 $y_p$ 负责右端输入，齐次部分负责初始条件留下的自由度。

结构来自模型

二阶线性方程不是只为解题而设计的格式。很多模型自然会长成

在弹簧-质量-阻尼系统中，$y(t)$ 表示位移，$m y''$ 是惯性项，$b y'$ 是阻尼项，$k y$ 是回复力项， 是外力。把力平衡整理后，就得到这样的二阶线性方程。

如果 $F(t)=0$，系统做自由运动；若还有阻尼，运动会逐渐衰减。若 $F(t)\ne0$，外力持续输入能量，系统的响应由“外力造成的部分”和“初始状态留下的部分”共同组成。

电路里也会出现同样的结构。串联 RLC 电路中，电荷 $q(t)$ 常满足

其中 $L$ 是电感，$R$ 是电阻，$C$ 是电容，$E(t)$ 是外加电压。形式和弹簧系统很像：

这些模型会在后续章节反复出现。本章要留下的不是具体物理细节，而是同一个结构判断：

常见误区与练习

本章的公式并不多，真正容易出错的是判断范围和结构。

误区一：两个解只要不同就能组成基本解组

不同不等于线性无关。例如 $e^t$ 和 $2e^t$ 是两个写法不同的解，但它们只差一个常数倍，张不开二维解空间。它们的 Wronskian 为零。

误区二：忘记所有结论都在同一个区间上说

二阶线性方程的标准理论要求系数在同一个区间上连续，并且最高阶系数不为零。若方程写成

就不能在跨过 $t=0$ 的区间上直接把它当作标准二阶线性方程使用，因为最高阶系数 $t^2$ 在 $0$ 处为零。

误区三：把一个特解当成通解

非齐次方程的一个特解只回答“外部输入至少造成一种响应”。通解还要加上所有齐次解：

如果题目给了两个初始条件，却你的答案里没有两个可调常数，通常说明你还没有写出通解。

练习

1. 判断下面方程是否为二阶线性方程，并说明是否齐次：

2. 已知 $y_1=1$、$y_2=t$ 是 $y''=0$ 的两个解。求它们的 Wronskian，并说明它们是否构成基本解组。

3. 设 $L[y]=y''+y$。若 $y_p=1$ 是 $$ 的一个特解，而 是齐次方程的基本解组，写出 的通解。

4. 若 $Y_1$ 和 $Y_2$ 都满足 $L[y]=g(t)$，证明 $$ 满足对应齐次方程。

本章的结论可以压缩成一句话：二阶线性方程的齐次解空间是二维的，两个线性无关解构成基本解组；非齐次方程的全部解，是这个二维齐次解空间加上任意一个特解后的平移。下一章要做的事，就是在常系数情形下具体把那两个基本解找出来。

Wronskian 处处不为零，所以 $1$ 和 $t$ 构成 $y''=0$ 的基本解组。任意解都可写成 $c_1+c_2t$。

因此两个非齐次解的差一定是齐次解。这也是非齐次通解可以写成“一个特解加齐次通解”的原因。