数值方法 I：Euler、改进 Euler 与 Runge-Kutta

前几章我们一直在寻找解析解：分离变量、积分因子、相线、模型方程。可是很多初值问题并不会给出漂亮的公式。方程可能来自混合问题、带阈值的人口模型、速度依赖的阻力，甚至只是实验数据拟合出的右端函数。

数值方法处理的是另一种问题：如果只知道变化规律

y' = f(t,y), \quad y(t_0)=y_0,

怎样从初始点出发，一步一步算出近似的解曲线？

本章只讲第一层入门：Euler 方法、改进 Euler 方法，也叫 Heun 方法，以及四阶 Runge-Kutta 方法。重点不是严格证明误差阶，而是看清每个方法怎样使用斜率、步长怎样改变结果、数值解和方向场怎样对应。

没有解析解时，先学会走一步

把时间轴切成等距网格：

t_n=t_0+nh.

这里的 $h$ 叫步长。我们希望计算一串数

y_0,y_1,y_2,\ldots

使得 $y_n$ 近似真实解在 $t_n$ 处的值：

y_n \approx y(t_n).

数值方法的基本动作是“从已知点走到下一个点”。如果已经有 $(t_n,y_n)$ ，微分方程会告诉我们当前位置的斜率：

f(t_n,y_n).

于是一个最自然的近似是：在短短的一步内，先把曲线看成一条直线。

Euler 方法从方向场中的初值点沿当前斜率生成折线近似

图：Euler 方法把每一步的局部斜率当成短时间内的行进方向。

数值解不是“猜几个点”。每一个新点都由微分方程右端 $f(t,y)$ 算出来。算法的差别，主要在于它怎样估计这一小段上的平均斜率。

本章会反复使用同一个初值问题：

y' = y-t^2+1,\quad y(0)=0.5.

它的好处是右端不太简单，但真实解又可以写出来：

y(t)=(t+1)^2-\frac{1}{2}e^t.

这样我们能把数值解和参考解直接比较。现实问题通常没有这个便利，所以“能和参考解比较”的例子适合训练直觉。

Euler 方法：沿当前斜率前进

Euler 方法的想法很直接。已知 $(t_n,y_n)$ 后，把 $f(t_n,y_n)$ 当成这一小段上的斜率，于是

y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n).

这就是 Euler 公式。它只取一次斜率，所以便宜、好算，也容易画在方向场上。

手算一遍

用步长 $h=0.5$ 近似

y' = y-t^2+1,\quad y(0)=0.5.

从 $t_0=0$ 和 $y_0=0.5$ 开始。当前斜率是，所以第一步给出

把这些数和参考解比较：

$t$	Euler 近似 $y_n$	参考解 $y(t)$	误差 $y_n-y(t_n)$

这里的负误差说明折线落在参考解下方。原因不是最后一步突然错了，而是每一步都只用左端斜率估计整段变化，前面的偏差又会进入后面的斜率计算。

常见错误是把 $f(t_n,y_n)$ 直接当成下一个 $y$ 值。斜率不是高度， $h f(t_n,y_n)$ 才是这一小步内的高度变化量。少乘步长，单位也会错。

误差与步长：折线为什么会偏

数值误差有两个层次。

局部误差说的是：如果某一步从真实点 $y(t_n)$ 出发，只走这一小步，算法会偏多少。全局误差说的是：真正算到 $t_n$ 时， $y_n$ 和差多少。

记

e_n = y(t_n)-y_n.

这就是第 $n$ 个网格点上的全局误差。它会受到两件事影响：这一小步本身的近似误差，以及前面所有步骤留下来的偏差。

局部误差和全局误差的几何区别

图：局部误差只看一步，全局误差会带着前面每一步的偏差继续传播。

步长越小，通常折线越贴近曲线。对足够光滑、不过分敏感的初值问题，Euler 方法的全局误差大致随 $h$ 成比例下降。也就是说，把步长减半，误差常常会接近减半。这个说法是直觉层面的经验，本章不证明。

同一初值问题下不同步长的 Euler 折线比较

图：同一方法下，步长变小会让折线更密，也更贴近参考解。

但步长不是越小越随便。步长小意味着步骤数多，计算成本上升；在很长时间区间里，舍入误差也会积累。对一些刚性方程，步长还会影响稳定性，过大的步长可能让数值解出现真实模型里没有的振荡或爆炸。

不要只看“最后的数值很接近”。数值方法还要看步长、时间区间、右端函数的光滑程度，以及问题是否敏感。一个方法在短区间表现好，不代表它在长时间模拟里一定可靠。

改进 Euler：让终点斜率也说话

Euler 方法只听左端点的斜率。若曲线弯得明显，左端斜率就不能代表整段的平均变化。

改进 Euler 方法的想法是：先用 Euler 预测终点，再在预测终点处算一个斜率，最后取两个斜率的平均值。

设

k_1=f(t_n,y_n).

先预测

\widetilde{y}_{n+1}=y_n+h k_1.

再计算预测终点的斜率

k_2=f(t_n+h,\widetilde{y}_{n+1}).

最后用平均斜率更新：

y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2).

改进 Euler 方法用起点斜率和预测终点斜率做平均

图：改进 Euler 先预测，再用起点和预测终点的斜率做校正。

这个方法也叫 Heun 方法。它仍然很容易手算，但每一步要算两次右端函数。换来的好处是，它对弯曲的响应比 Euler 方法更好。

同一问题的一步比较

还是用

y' = y-t^2+1,\quad y(0)=0.5,

步长取 $h=0.5$ 。第一步中，

k_1=f(0,0.5)=1.5.

Euler 预测点为

\widetilde{y}_1=0.5+0.5\cdot1.5=1.25.

预测终点处的斜率是

k_2=f(0.5,1.25)=2.

所以改进 Euler 给出

y_1=0.5+\frac{0.5}{2}(1.5+2)=1.375.

参考解在 $t=0.5$ 处约为 $1.425639$ 。Euler 第一步得到 $1.25$ ，改进 Euler 得到 $1.375$ ，已经明显靠近参考解。

用 $h=0.5$ 算到 $t=2$ ：

方法	$t=2$ 的近似值	与参考解的绝对误差
Euler	4.437500	0.867972
改进 Euler	4.916260	0.389212

改进 Euler 的核心不是“公式更长”，而是它承认一步之内斜率会变。先预测终点，再用两端斜率估计平均斜率，这是很多高阶方法的共同思想。

四阶 Runge-Kutta：在一步里多看几眼

四阶 Runge-Kutta 方法，常简写为 RK4，是常微分方程入门中最常用的高精度显式方法之一。它仍然只从 $(t_n,y_n)$ 出发走到 $(t_{n+1},y_{n+1})$ ，但在一步内取四次斜率。

定义

k_1=f(t_n,y_n),

k_2=f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_1\right),

k_3=f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}k_2\right),

k_4=f(t_n+h,y_n+h k_3).

然后更新

y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4).

这不是简单地平均四个斜率，而是给两个中点斜率更高权重。权重比是

1:2:2:1.

四阶 Runge-Kutta 在一步内取四个斜率并做加权平均

图：RK4 在一步中多次估计斜率，用加权平均决定最终更新方向。

为什么中点斜率更重要？因为一步的变化更像由区间内部的趋势决定，而不是只由端点决定。RK4 的公式来自 Taylor 展开和斜率采样的精细配合；本课不展开推导，只保留它的使用方式和直觉。

同步长下的差别

对同一个初值问题，用 $h=0.5$ 算到 $t=2$ ：

方法	每步计算 $f$ 的次数	$t=2$ 的近似值	与参考解的绝对误差
Euler	1	4.437500	0.867972
改进 Euler	2	4.916260	0.389212
RK4	4	5.301605	0.003867

这个例子中，RK4 用同样步长给出了很接近的结果。它不是每个问题都“万无一失”，但在光滑、非刚性的普通初值问题上，RK4 往往是很稳的第一选择。

比较方法时要分清“同步长”和“同计算量”。RK4 每步要算四次 $f$ 。如果函数计算很贵，同样的计算预算下未必总能直接使用最小步长的 RK4。

同一个问题的数值比较

把步长也纳入比较，结果会更清楚：

步长 $h$	Euler 末端误差	改进 Euler 末端误差	RK4 末端误差
0.5	0.867972	0.389212	0.003867
0.25	0.525820	0.110547	0.000262
0.1	0.241972	0.018905	0.00000699

同一个表里能读出三件事。

第一，步长变小会让三种方法都变好。第二，高阶方法通常能用较大的步长达到更小误差。第三，误差不是唯一指标，方法需要的函数计算次数也要算进去。

Euler、改进 Euler 与 RK4 的方法比较信息图

图：三种方法都在估计平均斜率，只是花费的斜率信息不同。

在实际建模里，可以把这张表转化为一个工作流程：

先用较粗步长试算，观察解的数量级和图像趋势是否合理。不要一开始就追求很多小数位。

把步长减半，再算一次。如果两次结果差异很大，说明当前步长还不可靠，或者模型本身对初值和参数很敏感。

换一种更高阶的方法交叉检查。若 Euler、改进 Euler 和 RK4 在较小步长下给出相近趋势，可信度会高很多。

回到模型语境解释结果。数值解只是近似轨迹，最后还要看单位、参数、初值和现实假设是否合理。

数值解、方向场与建模判断

方向场告诉我们每个点附近的“应该往哪里走”。数值方法把这种局部方向变成一串点。两者不是分开的工具，而是同一件事的几何面和计算面。

方向场、数值折线和近似数据表之间的对应关系

图：方向场给出局部方向，数值算法给出下一点，表格记录近似轨迹。

有了方向场，很多数值错误会更容易被发现。比如方程的方向场显示解应该单调上升，但数值折线突然剧烈下降，这通常说明步长太大、公式用错，或者右端函数输入点写错。相反，如果方向场本身已经显示不同初值附近的解会快速分离，那么数值结果对步长和初值敏感就不是意外。

在模型问题中，建议同时保留三样东西：方程、图像和表格。

视角	看什么	常见检查
方程	$f(t,y)$ 的符号、单位和参数	增减方向是否符合模型假设
图像	数值轨迹和方向场	是否出现不合理振荡、穿越或爆炸
表格	每一步的 $t_n,y_n$ 和误差估计	步长减半后结果是否稳定

数值方法给出的不是解析公式，而是一条可检查的近似轨迹。它的可靠性来自多重核对：换步长、换方法、看方向场、回到模型单位。

练习

练习一

对初值问题

y'=t+y,\quad y(0)=1,

用 Euler 方法和步长 $h=0.25$ 计算到 $t=0.5$ 。

先算 $f(0,1)=1$ ，所以

y_1=1+0.25\cdot1=1.25.

练习二

同样的初值问题

y'=t+y,\quad y(0)=1,

用改进 Euler 方法和步长 $h=0.5$ 做一步，近似 $y(0.5)$ 。

起点斜率为

k_1=f(0,1)=1.

Euler 预测点是

\widetilde{y}_1=1+0.5\cdot1=1.5.

练习三

解释下面这句话为什么不完整：“RK4 一定比 Euler 好，所以总是直接用 RK4。”

RK4 在许多光滑、非刚性的初值问题中精度很好，但它每步要计算四次 $f$ 。如果右端函数计算很贵，计算预算需要一起考虑。某些刚性问题中，显式 RK4 也可能受步长稳定性限制。更稳妥的说法是：RK4 是常用的高精度显式方法，但仍要配合步长检查、模型判断和必要的稳定性分析。

练习四

某模型的方向场显示，在 $0 \lt y \lt 10$ 时解应该缓慢上升并趋近 $10$ 。你用 Euler 方法算出的轨迹却在 $y=10$ 附近上下大幅震荡。最可能先检查什么？

先检查步长是否太大。Euler 方法只用当前斜率外推，靠近平衡值时如果步长过大，可能越过平衡点太多，再被反向斜率拉回来，形成真实解没有的数值振荡。还要检查右端函数和初值是否输入正确，但从现象看，步长过大是最直接的嫌疑。

小结

Euler 方法把当前斜率当成整步斜率，所以简单，但误差容易积累。改进 Euler 先预测再校正，用两端斜率的平均值改善一步内的斜率估计。RK4 在一步内取四次斜率，用 $1:2:2:1$ 的权重形成更准确的更新方向。

学到这里，数值方法不应只是三条公式。你应该能看着方向场解释数值折线怎样走，能用步长减半检查结果是否稳定，也能在模型语境里判断一个近似值是否可信。下一次遇到没有解析解的初值问题，我们至少已经知道怎样把“变化规律”变成一条可计算、可检查的轨迹。

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 8 章：数值方法 I：Euler、改进 Euler 与 Runge-Kutta | 自在学

0	0.500000	0.500000	0.000000
0.5	1.250000	1.425639	-0.175639
1.0	2.250000	2.640859	-0.390859
1.5	3.375000	4.009155	-0.634155
2.0	4.437500	5.305472	-0.867972