一阶模型：从真实情境到方程

前几章里，我们已经见过可分离方程、线性方程、精确方程、自治方程和相线。那些方法回答的是“方程给出来以后怎样分析”。本章换一个方向：如果题目给的是一杯热水、一只混合槽、一段电路、一个种群或一个追踪过程，方程从哪里来？

一阶模型通常从一句关于变化率的话开始。某个量在时间中变化，它的变化率由当前状态、外部输入、流入流出或阻力决定。只要把这句话写得足够精确，就有机会得到一个一阶微分方程。

从真实情境到一阶微分方程的建模流程图

从情境到方程，关键不是先猜公式，而是把变量、单位、假设和变化率逐一说清楚。

建模从哪里开始

真实问题里的对象往往很多：温度、体积、浓度、速度、电压、时间、环境条件、测量误差。建模的第一步不是把所有东西都写进方程，而是决定哪一个量是我们要跟踪的状态变量。

如果用 $y(t)$ 表示状态变量，那么一阶模型的基本形状是

\frac{dy}{dt}=F(t,y)

这里的 $F(t,y)$ 不是随便选出来的函数。它应该来自问题中的一句变化规律：水槽里的盐量等于流入盐量减去流出盐量；物体温度的变化率与它和环境的温差成正比；电容上的电荷变化率就是电流；种群的净增长率会被资源限制削弱。

建模要素	要问的问题	典型写法
变量	哪个量随时间改变？	$A(t)$ 表示盐量，单位 kg
单位	每个参数的单位是什么？	$q$ 是 L/min， $c$ 是 kg/L
假设	哪些现实细节先被简化？	槽内充分混合，环境温度恒定
变化率	当前量怎样增加或减少？	$A'=$ 流入速率 $-$ 流出速率

建模时最有用的句式是“某量的变化率等于……”。它迫使我们把等号左边的对象和右边的机制对应起来。等号两边的单位也会立刻暴露许多错误。

下面是一套可以反复使用的建模步骤。不同模型的公式不一样，但这套检查顺序很稳定。

先选状态变量，并写出它的单位。不要急着用题目里最显眼的量。混合问题中常跟踪的是溶质量 $A(t)$ ，而不是浓度；电路中常跟踪的是电荷 $q(t)$ ，再由 $i(t)=q'(t)$ 得到电流。

不要把“会变化”直接翻译成“导数等于这个量”。比如浓度会变化，不代表一定要写 $C'=\cdots$ 。如果体积也在变，先跟踪总溶质量往往更可靠。

增长与衰减：比例假设

最常见的一阶模型来自比例假设：变化率与当前量成正比。若 $P(t)$ 表示某个种群、细菌数量、放射性样品质量或账户余额，且单位时间内每个个体贡献相同的净增长，那么

\frac{dP}{dt}=rP

这里 $r$ 的单位是“每单位时间”。当 $r>0$ 时，解是指数增长；当 $r<0$ 时，解是指数衰减。若把衰减常数写成 $k>0$ ，常见写法是

\frac{dP}{dt}=-kP

这个模型的假设很强。它假设每一单位的量都独立地以同样比例增长或衰减，并且外部环境不会因为 $P$ 变大而改变。早期细菌繁殖、短时间人口估计、放射性衰变都适合这个想法；资源有限的生态系统则通常不适合一直使用指数增长。

指数增长指数衰减与 logistic 增长曲线对比

比例假设给出指数曲线；当资源限制开始明显时，logistic 模型会让增长逐渐变慢。

logistic 模型把“每个个体的净增长率”从常数改成随 $P$ 减小的量：

\frac{1}{P}\frac{dP}{dt}=r\left(1-\frac{P}{K}\right)

等价地，

\frac{dP}{dt}=rP\left(1-\frac{P}{K}\right)

其中 $K$ 称为环境容量。若 $0<P<K$ ，增长率为正；若 $P>K$ ，增长率为负，模型会把 $P(t)$ 拉回 $K$ 附近。第 6 章用相线看过平衡点，这里可以把 logistic 看成“建模假设改变后得到的自治方程”。

不要把 $K$ 理解成“任何情况下都不能超过的硬上限”。在 logistic 方程里， $K$ 是稳定平衡值。如果初值 $P(0)>K$ ，解会从上方向 $K$ 下降。

Newton 冷却定律：温差驱动变化

一杯热水放在室温空气中，温度下降得越来越慢。直观上，热水和环境温差大时散热快，温差小时散热慢。Newton 冷却定律把这句话写成

\frac{dT}{dt}=-k(T-T_m)

这里 $T(t)$ 是物体温度， $T_m$ 是环境温度， $k>0$ 是冷却常数。如果物体比环境热， $T-T_m>0$ ，所以；如果物体比环境冷，，所以。同一个方程既能描述冷却，也能描述升温。

Newton 冷却定律中温差驱动散热的示意图

Newton 冷却定律把“温差越大，变化越快”写成一阶线性方程。

若 $T(0)=T_0$ ，方程的解是

T(t)=T_m+(T_0-T_m)e^{-kt}

它说明温度不是线性下降，而是以指数方式靠近环境温度。这个结论也给了参数估计的方法：只要有一次可靠测量，就能估计 $k$ 。

例题：一杯咖啡初温 $90^\circ\mathrm{C}$ ，室温 $22^\circ\mathrm{C}$ 。10 分钟后咖啡温度为 $65^\circ\mathrm{C}$ 。用 Newton 冷却定律估计 $k$ ，并预测从开始计时起多久降到。

先写变量和初值。令 $T(t)$ 为 $t$ 分钟后的温度，单位是摄氏度。环境温度 $T_m=22$ ，初值，所以模型为。

冷却模型最容易错的是符号。一个稳妥检查是：若 $T>T_m$ ，方程应该给出 $T'<0$ ；若 $T<T_m$ ，方程应该给出。

混合问题：先跟踪总量

混合槽问题看起来在问浓度，但建模时常先跟踪溶质量。设 $A(t)$ 表示槽内溶质质量，单位 kg； $V(t)$ 表示液体体积，单位 L。若流入浓度为 $c_{\text{in}}$ ，流入流量为 $q_{\text{in}}$ ，流出流量为，并假设槽内充分混合，那么流出液浓度就是槽内平均浓度。

于是

A'=\text{流入溶质速率}-\text{流出溶质速率}

也就是

\frac{dA}{dt}=q_{\text{in}}c_{\text{in}}-q_{\text{out}}\frac{A}{V(t)}

体积本身满足

V(t)=V_0+(q_{\text{in}}-q_{\text{out}})t

当 $q_{\text{in}}=q_{\text{out}}$ 时，体积恒定，方程是一阶线性方程。当两者不相等时， $V(t)$ 会改变，模型仍是一阶方程，但系数随时间变。

混合槽问题中流入速率减流出速率的建模示意图

充分混合假设让流出浓度等于槽内平均浓度，从而把流出速率写成 $q_{\text{out}}A/V$ 。

例题：一个 100 L 的槽中起初有 10 kg 盐。浓度为 0.2 kg/L 的盐水以 5 L/min 流入，混合液也以 5 L/min 流出。求盐量模型并解释长期趋势。

选变量。令 $A(t)$ 表示 $t$ 分钟后槽内盐量，单位 kg。由于流入流量等于流出流量，体积保持 $V=100$ L。

混合题中不能把流出盐速率写成“流出流量乘流入浓度”。流出液已经与槽内液体混合，它的浓度应由当前槽内状态决定。

速度模型与追踪问题

速度模型的状态变量常是速度 $v(t)$ ，而不是位置。以竖直下落为例，若把向下方向取为正，重力给出加速，空气阻力与速度成正比并方向向上，那么

m\frac{dv}{dt}=mg-bv

等价地，

\frac{dv}{dt}=g-\frac{b}{m}v

这里 $m$ 是质量， $b$ 是阻力系数。平衡速度满足

g-\frac{b}{m}v=0

因此

v_*=\frac{mg}{b}

这个 $v_*$ 叫终端速度。它不是一开始就达到的速度，而是模型预测长期会接近的速度。

追踪问题看起来像几何题，但变化率同样来自一句话：追踪者每一刻都朝目标的当前位置运动。设目标位置为 $R(t)$ ，追踪者位置为 $P(t)$ ，追踪者速率恒为 $s$ ，那么速度方向是从 $P(t)$ 指向 $R(t)$ 的单位向量：

P'(t)=s\frac{R(t)-P(t)}{\lVert R(t)-P(t)\rVert}

若在平面中写成坐标，这其实是两个一阶方程组成的系统。虽然系统方法会在后面章节系统学习，但这里的建模思想已经出现：先把速度方向写对，再决定是否能求解。

追踪问题中速度向量指向目标当前位置的示意图

追踪模型的关键是“指向目标当前的位置”，而不是指向目标将来的位置或最终终点。

很多现实模型不是为了马上得到显式公式。速度模型和追踪模型常先给出可计算、可模拟、可检查方向的方程；解析解只是后续可能出现的一种奖励。

RC 电路：电压、电荷与时间常数

一阶方程也会出现在电路中。考虑电源电压为 $E$ 的串联 RC 电路。令 $q(t)$ 表示电容上的电荷，电流为

i(t)=\frac{dq}{dt}

电阻上的电压降是 $Ri$ ，电容上的电压是 $q/C$ 。根据电压平衡，

Ri+\frac{q}{C}=E

代入 $i=q'$ ，得到

R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=E

也就是

\frac{dq}{dt}=\frac{CE-q}{RC}

RC 充电电路的一阶微分方程和时间常数示意图

RC 电路中的电荷逐渐接近 $CE$ ，接近速度由时间常数 $\tau=RC$ 控制。

如果电容起初不带电， $q(0)=0$ ，则

q(t)=CE(1-e^{-t/(RC)})

电流为

i(t)=\frac{E}{R}e^{-t/(RC)}

量 $RC$ 的单位是时间，称为时间常数。时间常数越大，充电越慢。这里的模型假设也很具体：电阻和电容参数固定，电源电压恒定，电路元件按理想元件处理。

从方程回到情境：参数与解释

一个模型写出来以后，还要回到问题本身检查。检查的重点不是“这个方程能不能用某个方法解”，而是“每一项是否有现实来源，每个参数是否能从实验、题目或合理估计中得到”。

模型	需要解释的参数	常见数据来源
指数增长或衰减	$r$ 或 $k$	两个时刻的数量观测、半衰期
Newton 冷却	$k$ 、 $T_m$	环境温度和一次或多次温度测量
混合槽	$q_{\text{in}}$ 、、

一个好的初级 ODE 模型应该经得起三个问题：左边跟踪的量是什么，右边每一项从哪里来，解的单位和长期趋势是否符合情境。

常见错误可以集中到几类。第一类是变量选错，例如混合问题直接写浓度方程却忘了体积变化。第二类是单位不一致，例如把 L/min 直接和 kg 相加。第三类是符号没有检查，例如热物体冷却时却得到 $T'>0$ 。第四类是把模型参数当成纯数学常数，却没有说明它们如何测量或估计。

下面的练习不追求复杂计算，重点是把文字翻译成方程。

练习

某细菌培养物从 100 个单位增长到 160 个单位，用时 2 小时。假设指数增长，写出模型、估计 $r$ ，并给出 $P(5)$ 的表达式。

令 $P(t)$ 表示 $t$ 小时后的数量，模型为 $P'=rP$ ， $P(0)=100$ 。由得

一个槽初始体积为 80 L，含盐 4 kg。浓度为 0.1 kg/L 的盐水以 3 L/min 流入，混合液以 2 L/min 流出。写出 $A(t)$ 的初值问题，不必求解。

令 $A(t)$ 为盐量，单位 kg。体积为

V(t)=80+(3-2)t=80+t

流入盐速率为 $3\cdot 0.1=0.3$ kg/min，流出盐速率为

一块冷金属从冰箱中取出，温度低于室温。若用 Newton 冷却定律建模，方程的符号应该怎样体现“它会升温”？

仍可写

T'=-k(T-T_m)

当金属温度低于室温时， $T<T_m$ ，所以，于是。这说明同一个方程在低于环境温度时给出升温。

logistic 方程

P'=0.4P\left(1-\frac{P}{500}\right)

的平衡解是什么？如果 $P(0)=700$ ，解一开始增加还是减少？

平衡点满足右边为零，因此 $P=0$ 和 $P=500$ 都是平衡解。若 $P(0)=700$ ，则

1-\frac{700}{500}<0

建模的熟练感来自反复检查这些小问题。变量选对，单位对齐，假设说清楚，方程通常就不会离现实太远。

T(0)=90

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 7 章：一阶模型：从真实情境到方程 | 自在学