存在唯一性、自治方程与相线

一阶微分方程常被写成

这个式子看起来只是在给曲线规定斜率，但它背后问的是一个更直接的问题：如果现在的状态是 $y_0$，变化规律是 $f$，那么从这一刻往后，系统会不会只有一个可能的未来？

前几章我们已经学过不少求解方法。可分离变量、积分因子、精确方程和替换法都在回答“怎样把解算出来”。本章换一个角度：即使暂时算不出显式公式，我们也要判断解是否存在、是否唯一，以及它会向哪里走。

同一个初值如果能走出多条曲线，模型就没有给出唯一未来；存在唯一性定理正是在排除这种分叉。

从“有解”到“唯一未来”

初值问题有两个层次。

第一层是存在性：是否至少有一条函数 $y(x)$ 满足方程和初始条件。若没有解，模型在给定初值处就不能启动。

第二层是唯一性：满足同一个初值问题的解是否只有一条。若不唯一，方程没有告诉我们系统应选择哪一条未来。对物理、工程和建模来说，这比“算不出漂亮公式”更严重。

一个典型的非唯一例子是

恒等于零的函数当然是一个解。可是对任意 $a\ge 0$，下面这个函数也是解：

它先在 $y=0$ 上“等待”到 $x=a$，再沿着抛物线离开。不同的等待时间给出不同的解。所有这些解都从同一个初值 $(0,0)$ 出发。

这里的 $f(y)=\sqrt{|y|}$ 在 $y=0$ 附近太尖。它连续，却不能在 $$ 附近用一个固定斜率上界控制 的变化，所以解可以“贴着平衡解停一段时间再离开”。

为了把这个现象看得更清楚，可以动一动下面的演示。把方程换成 $y'=y$ 时，同一个初值只产生一条曲线；换成 $y'=\sqrt{|y|}$ 且初值为 时，会出现多条从同一点出发的曲线。

存在唯一性定理怎样读

第一门常微分方程课中常用的存在唯一性结论可以这样读：

更一般地说，$\partial f/\partial y$ 连续不是唯一性最根本的条件；它只是一个好检查的充分条件。真正起作用的是 $f$ 对 $y$ 的局部 Lipschitz 控制。为了本课程的使用，记住下面三句话就够了。

定理只要求在初始点附近的小区域检查条件，结论也先保证一个局部区间上的解。

连续性负责“能不能开始”

若 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 附近连续，方向场在初始点附近没有突然断开，通常可以从初始点出发画出至少一条解曲线。它回答的是“有路可走吗”。

局部 Lipschitz 负责“会不会分叉”

若 $f$ 对 $y$ 的变化被适当控制，两条从同一个点出发的解曲线不能先重合又分开。它回答的是“路是否唯一”。

结论是局部的

定理说的是在 $x_0$ 附近存在唯一解，不是说解一定能延伸到所有 $x$。

例如

满足常见的存在唯一性条件，解也确实唯一。它的显式解是

这个解在 $x=1$ 处爆掉，所以不能延伸成全实轴上的普通函数。唯一性没有失败，失败的是“全局存在”。

自治方程把横轴藏起来

自治方程是一类右端不显含自变量的方程：

这里变化率只由当前状态 $y$ 决定，而不直接由时间 $x$ 决定。若把自变量理解为时间 $t$，自治方程说的是：同一个状态在任何时刻都会有同样的瞬时变化率。

这类方程的几何图像很特别。普通方程 $y'=f(x,y)$ 的方向场可能随着 $x$ 改变；自治方程的方向场在水平方向上重复。也就是说，只要两点有同样的 $y$ 值，它们的斜率就一样。

平衡解来自

如果 $y(t)\equiv y_*$，那么 $y'=0$，曲线一直停在同一高度。这样的常数解就是平衡解。

对自治方程来说，先看 $f(y)$ 在各区间的符号，就能画出相线并判断解的运动方向。

相线的制作步骤

以自治方程 $y'=f(y)$ 为例，画相线时不需要先求出 $y(t)$ 的公式。

下面的交互可以把这个步骤连起来看。选择不同的 $f(y)$，零点、符号区间、相线箭头和稳定性判断会同步变化。

稳定、不稳定与半稳定

平衡点的稳定性描述的是：初值稍微偏离平衡点后，解会不会回到它附近。

稳定性看的是平衡点两侧箭头的组合，而不是只看平衡点本身。

若平衡点两侧箭头都指向它，附近解会被吸过去，这样的平衡点是渐近稳定的。若两侧箭头都背离它，附近解会被推开，这样的平衡点是不稳定的。若一侧吸引、一侧排斥，就称为半稳定。

对于

如果 $f$ 在平衡点 $y_*$ 附近可导，并且 $f'(y_*)\neq 0$，可以用导数快速判断：

这个规则来自 $f(y)$ 穿过横轴时的斜率。若 $f'(y_*)<0$，左侧通常 $f(y)>0$、右侧通常 ，箭头都指向平衡点。若 ，箭头都远离平衡点。

但当 $f'(y_*)=0$ 时，导数测试不给结论。必须回到符号表和相线。

例如

在 $y=0$ 处有平衡解，且 $f'(0)=0$。因为 $y^2$ 在 $0$ 两侧都为正，相线两侧箭头都向上：左侧箭头指向 ，右侧箭头远离 。所以 是半稳定平衡点。

Logistic 模型是一张相线

logistic 模型把增长和资源限制放在同一个一阶自治方程里：

其中 $P(t)$ 是种群数量，$r>0$ 是低密度时的相对增长率，$K>0$ 是环境容量。

平衡点由

给出，所以 $P=0$ 和 $P=K$ 是两个平衡解。

logistic 方程的相线说明：正初值会趋向环境容量 $K$，而不是无限指数增长。

看符号比套公式更快：

当 $0<P<K$ 时，$P'>0$，种群上升；当 $P>K$ 时，$P^{\mathrm{\prime }}$，种群下降。因此 两侧箭头都指向它，是稳定平衡点。对于 ，右侧箭头向上远离它，所以在非负种群语境下它是不稳定的。

如果初始种群 $P_0$ 满足 $0<P_0<K$，增长会先像指数增长，随后因为 $1-P/K$ 变小而放慢，最后靠近 。如果 ，种群会下降并靠近 。

例题：用相线判断 logistic 的长期趋势

设

判断初值 $P(0)=50$、$P(0)=200$、$P(0)=350$ 时的长期趋势。

阈值模型：多一个临界点

有些种群在数量太小时反而难以增长。原因可能是配偶寻找困难、合作防御不足、局部资源利用效率低，或者个体间互助机制无法形成。一个简单的阈值模型是

其中 $0<A<K$。这里 $A$ 是阈值，$K$ 仍是环境容量。

平衡点变成三个：

阈值 $A$ 是分水岭：低于它会走向灭绝，高于它才会走向容量 $K$。

相线给出的方向是：

• 当 $0<P<A$ 时，$P'<0$，种群下降并趋向 $0$。
• 当 $A<P<K$ 时，，种群上升并趋向 。

所以 $0$ 和 $K$ 是稳定平衡点，$A$ 是不稳定平衡点。它不是一个会自动保持的目标数量，而是一个临界边界。初值略低于 $A$ 会走向 $0$，初值略高于 $A$ 会走向 $K$。

下面的模拟器把 logistic 模型和阈值模型放在一起。调节 $P_0$、$K$、$A$ 和 $r$，观察相线和时间曲线怎样同时变化。

例题：不求公式也能分类

考虑自治方程

找出平衡点，判断它们的稳定性，并说明 $y(0)=0$ 与 $y(0)=2$ 的长期趋势。

这个例子也说明了重根的作用。穿过横轴的零点通常会改变符号，不穿过横轴的偶重零点通常不改变符号。相线比单独记忆“根的重数规则”更可靠，因为它直接看方向。

常见误区与自检

下面几条是本章最常见的误区。

练习

判断初值问题

是否唯一。

判断初值问题

是否唯一。

画出

的相线，并判断平衡点稳定性。

本章小结

存在唯一性定理告诉我们：在初始点附近，如果右端函数足够好，初值问题就给出一条局部唯一的解曲线。这个结论不负责给出显式公式，也不保证解永远存在，但它保证模型不会在同一个现在分出多个未来。

自治方程 $y'=f(y)$ 把分析进一步简化。平衡点来自 $f(y)=0$，区间方向来自 $f(y)$ 的符号，稳定性来自平衡点两侧箭头的组合。logistic 模型和阈值模型说明，相线不只是画图技巧，它能直接解释现实模型的长期趋势和临界现象。

因此从 $y(0)=0$ 出发的解唯一。由于 $y\equiv 0$ 是一个解，唯一解就是零解。