精确方程、替换法与一阶方程工具箱

前几章已经处理了两类最常见的一阶方程：可分离变量方程和一阶线性方程。它们像两把常用工具，遇到增长、衰减、冷却、电路、混合问题时很顺手。可是一个方程摆在面前时，它往往不会主动告诉你“我可以分离”或“我已经是线性标准形”。

本章做两件事。第一件事是学习精确方程，它把一阶方程和多变量微积分中的势函数连起来。第二件事是学习几种替换法，把不熟悉的方程变回可分离或线性方程。最后我们把这些方法整理成一个判断流程，帮助你在新题面前先判断类型，再动手计算。

本章不是技巧清单。真正要练的是识别：先看方程是否已经属于熟悉类型，再看是否能通过一个有理由的替换回到熟悉类型。没有识别，公式越多越容易乱。

从微分形式看解曲线

一阶方程常写成

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

但许多题更自然地写成微分形式：

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

如果 $N(x,y)\neq 0$ ，它等价于

\frac{dy}{dx}=-\frac{M(x,y)}{N(x,y)}

所以它仍然是一阶常微分方程。微分形式的好处是它把 $x$ 和 $y$ 放在更对称的位置，也让我们看见一个新的可能：也许左边其实是某个二元函数 $\Phi(x,y)$ 的全微分。

如果存在函数 $\Phi$ ，使得

d\Phi=\frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx+\frac{\partial \Phi}{\partial y}\,dy=M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy

那么方程就是

d\Phi=0

沿着解曲线走， $\Phi$ 的值不变，因此解曲线落在某条等值线上：

\Phi(x,y)=C

图：精确方程把一阶微分方程转化为寻找势函数。沿解曲线有 $d\Phi=0$ ，所以 $\Phi$ 保持常数。

这就是精确方程的直观来源。它不是凭空多出一种解法，而是在问：这个方程是不是某个隐藏函数的“总变化为零”？

精确方程的答案通常先是隐式解 $\Phi(x,y)=C$ 。不必急着把 $y$ 解成 $x$ 的显式函数；很多时候隐式形式更干净，也更贴近几何意义。

精确条件和势函数

怎样判断

M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0

是否精确？如果 $M=\Phi_x$ 且 $N=\Phi_y$ ，那么在偏导连续的区域内，混合偏导应相等：

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}

这给出精确方程的判别条件。实际做题时通常先检查 $M_y=N_x$ ，成立后再找势函数 $\Phi$ 。

判别条件默认在一个没有断裂的区域内使用。若 $M$ 或 $N$ 含有 $\ln x$ 、 $1/x$ 、 $1/y$ 等表达式，要先看定义域；积分常数和解的有效区间也会受到定义域影响。

例题：求解

(2xy+1)\,dx+(x^2+3y^2)\,dy=0

先识别 $M$ 和 $N$ 。这里 $M(x,y)=2xy+1$ ，。计算偏导得，，所以方程是精确方程。

图：拼装势函数时，先得到主体，再用另一条偏导关系补上遗漏的单变量函数。

这个例题里最容易出错的地方不是积分本身，而是把 $h(y)$ 漏掉。对 $x$ 积分时，任何只含 $y$ 的项都会被 $\partial/\partial x$ 消掉，所以它必须保留到下一步再确定。

常见错误是写出 $\Phi=x^2y+x$ 后立刻令它等于 $C$ 。这样会丢掉 $N$ 中的 $3y^2$ 信息，得到的曲线一般不满足原方程。

下面的交互可以用几个小例子反复练“判别”和“拼装”。你可以先猜从 $M$ 积分还是从 $N$ 积分更省事，再展开步骤核对。

简单积分因子

有些方程一开始不精确，但乘上一个非零函数后会变精确。这个函数叫积分因子。上一章一阶线性方程里的积分因子，其实就是这里的一个特例。

对一般微分形式

M\,dx+N\,dy=0

若尝试只依赖 $x$ 的积分因子 $\mu(x)$ ，需要

\frac{M_y-N_x}{N}

只含 $x$ 。此时可取

\mu(x)=e^{\int \frac{M_y-N_x}{N}\,dx}

若尝试只依赖 $y$ 的积分因子 $\mu(y)$ ，需要

\frac{M_y-N_x}{M}

只含 $y$ 。此时可取

\mu(y)=e^{-\int \frac{M_y-N_x}{M}\,dy}

图：简单积分因子不是随便猜出来的；它来自乘上 $\mu$ 后重新满足精确条件。

例题：求解

\frac{x^2+y^2}{x+1}\,dx+2y\,dy=0

这里先取 $x>-1$ ，避免分母和对数的区间问题。

设 $M=\dfrac{x^2+y^2}{x+1}$ ，。计算得

积分因子方法很有用，但不要把它当成万能钥匙。若上面两个比值都同时含 $x$ 和 $y$ ，只说明简单的 $\mu(x)$ 或 $\mu(y)$ 路线不通；更复杂的积分因子可能存在，但通常不属于第一门 ODE 课程的主线。

齐次型方程：让比值成为变量

这里的“齐次型”容易和上一章的一阶线性齐次方程混淆。现在说的是另一件事：方程能写成

\frac{dy}{dx}=F\left(\frac{y}{x}\right)

也就是斜率只依赖比值 $y/x$ 。在几何上，同一条从原点出发的射线上， $y/x$ 保持不变，所以方程给出的斜率规则沿射线相同。

图：齐次型方程的核心变量不是 $x$ 或 $y$ 单独一个，而是比值 $v=y/x$ 。

令

y=vx

其中 $v$ 是 $x$ 的函数。由乘积求导，

\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}

代回 $y'=F(y/x)$ 后得到

v+x\frac{dv}{dx}=F(v)

于是

x\frac{dv}{dx}=F(v)-v

这通常是可分离变量方程。

例题：求解

\frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}

其中 $x\neq 0$ 。

右边只依赖 $y/x$ ，所以令 $y=vx$ 。此时 $y'=v+xv'$ 。

不要把 $v$ 当常数。写 $y=vx$ 以后， $v=v(x)$ ，所以 $y'=v+xv'$ 。漏掉是替换法中最常见的错误。

下面的交互用同一个方程展示 $y/x$ 、射线和替换后的方程之间的关系。拖动初始点时，注意同一射线上 $v$ 如何保持不变。

Bernoulli 方程和 Riccati 入口

Bernoulli 方程的标准形式是

y'+p(x)y=q(x)y^n

当 $n=0$ 或 $n=1$ 时，它已经是一阶线性方程。真正需要新方法的是 $n\neq 0,1$ 的情况。若先除以 $y^n$ ，得到

y^{-n}y'+p(x)y^{1-n}=q(x)

令

z=y^{1-n}

则

z'=(1-n)y^{-n}y'

于是方程化为线性方程

z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)

Bernoulli 方程通过 z 等于 y 的 1-n 次方转化为一阶线性方程的流程图

图：Bernoulli 方程看起来非线性，但合适的幂替换会把它送回一阶线性方程。

例题：求解

y'+y=xy^2

这是 Bernoulli 方程， $p(x)=1$ ， $q(x)=x$ ， $n=2$ 。先单独检查，它满足原方程，所以是一个解。

Riccati 方程一般写成

y'=q_0(x)+q_1(x)y+q_2(x)y^2

它比 Bernoulli 更宽，也更难。若 $q_0=0$ ，它会退化为 Bernoulli 型；若 $q_2=0$ ，它会退化为线性方程。一般 Riccati 方程不能靠一个固定套路轻松解决，但有一个入门结论值得记住：如果已知一个特解 $y_1$ ，令

y=y_1+u

就能把剩下的 $u$ 方程化为 Bernoulli 方程，再用 $z=1/u$ 化为线性方程。

比如

y'=1-y^2

有特解 $y_1=1$ 。令 $y=1+u$ ，则

u'=1-(1+u)^2=-2u-u^2

这是 Bernoulli 型，也可以直接分离。用这个例子不是为了把简单题做复杂，而是为了看见 Riccati 的结构：一旦找到一个特解，原本的二次非线性会降到熟悉的一阶线性路线。

本课只把 Riccati 当作“工具箱边界”的入口。遇到 Riccati 方程时，先看它是否退化为线性或 Bernoulli，再看题目是否给出或暗示一个特解；没有这些线索时，不要硬套公式。

一阶方程类型判断流程

一阶方程解法很多，但判断顺序可以很朴素。先把方程整理清楚，再从低成本检查开始：

能不能直接分离变量？
能不能写成 $y'+p(x)y=q(x)$ ？
写成 $Mdx+Ndy=0$ 后是否满足？

一阶方程工具箱流程图：按可分离、线性、精确、积分因子、齐次型、Bernoulli、Riccati 和数值方法判断

图：判断流程的目的不是限制思路，而是减少无意义试错。每一步都先问“形式是否匹配”。

方法	典型信号	第一动作	特别检查
可分离变量	$y'=a(x)b(y)$	把 $y$ 项和 $x$ 项分开	分母为零处是否丢解
一阶线性	$y^{'} + p (x) y = q$

下面的交互把这张表变成一个小型决策器。先选方程，再按问题一步步判断；它不会替你求完整答案，但会训练“先分类”的习惯。

综合判断示范

下面几道题不急着算完整解，先判断该用哪种工具。

例一

(2xy+1)\,dx+(x^2+3y^2)\,dy=0

它已经是微分形式。计算 $M_y=2x$ ， $N_x=2x$ ，所以优先用精确方程，找势函数。

例二

y'=\frac{x+y}{x}

右边可写成 $1+y/x$ ，所以是齐次型。令 $y=vx$ 后会变成可分离方程。

例三

y'+2y=e^x y^3

这是 Bernoulli 方程， $n=3$ 。先检查 $y=0$ ，再对非零解令 $z=y^{-2}$ 。

例四

y'=y^2+xy+1

它是 Riccati 型，但没有明显退化，也没有给出特解。第一门课程中不应把时间花在盲猜特解上；可以先画方向场、做数值近似，或等待后续章节的定性工具。

一个成熟的解题过程往往从“不做什么”开始。发现某条路不匹配，就尽早换工具；这比在错误类型上多算三页更有价值。

练习

练习一：判断并求解

(3x^2y+2)\,dx+(x^3+4y)\,dy=0

这是精确方程，因为 $M_y=3x^2$ ， $N_x=3x^2$ 。由得

练习二：判断并求解

y'=\frac{x^2+y^2}{xy}

其中 $xy\neq 0$ 。

右边可化为

\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}

练习三：判断并求解非零解，同时说明是否有零解。

y'-\frac{2}{x}y=x^2y^2

其中 $x\neq 0$ 。

这是 Bernoulli 方程， $n=2$ 。先检查 $y=0$ ，它满足原方程，所以零解存在。对非零解，除以 $y^2$ 得

y^{-2}y'-\frac{2}{x}y^{-1}=x^2

练习四：下面的方程该优先用哪种方法？先说明判断理由。

(y^2+2xy)\,dx+x^2\,dy=0

先检查精确性： $M_y=2y+2x$ ， $N_x=2x$ ，不精确。再看和都是二次齐次函数，所以可用齐次型替换。把方程写成

小结

精确方程把一阶 ODE 看成势函数的等值线问题，核心检查是 $M_y=N_x$ ，核心计算是拼装 $\Phi$ 。简单积分因子把一部分非精确方程拉回精确方程，但它有清楚的适用边界。

替换法的共同目标是降级：齐次型用 $y=vx$ 降到可分离，Bernoulli 用 $z=y^{1-n}$ 降到线性，Riccati 在已知特解时也能降到 Bernoulli 或线性。做题时先判断类型，再选择工具。遇到不匹配的方程，方向场、数值近似和定性分析不是退路，而是 ODE 的另一条主线。

(

x

)

y'+p(x)y=q(x)

M

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 5 章：精确方程、替换法与一阶方程工具箱 | 自在学