一阶线性方程与积分因子

可分离变量方程要求我们把变量分到两边。一阶线性方程的想法不同：它允许未知函数 $y$ 和变化率 $y'$ 同时出现，但出现方式必须保持线性。

本章研究的标准形式是

y' + p(x)y = q(x)

这里 $p(x)$ 描述系统自身对当前状态的拉回、损耗或放大， $q(x)$ 描述外部输入。积分因子的任务，是把左边整理成一个乘积的导数。这样一来，问题就回到了积分。

一阶线性方程 y' + p(x)y = q(x) 的标准形式、输入项、系数项与解曲线关系示意图

一阶线性方程把“当前状态的影响”和“外部输入”放在同一条变化规律里。

线性方程的识别

一阶方程称为线性方程，是指它能写成

a_1(x)y' + a_0(x)y = b(x)

并且在关注的区间上 $a_1(x) \ne 0$ 。除以 $a_1(x)$ 后得到标准形式

y' + p(x)y = q(x)

其中

p(x)=\frac{a_0(x)}{a_1(x)}, \qquad q(x)=\frac{b(x)}{a_1(x)}

判断线性时，只看未知函数 $y$ 和它的导数怎样出现。 $y$ 和 $y'$ 只能以一次幂出现，不能相乘，不能进入 $\sin y$ 、 $e^y$ 、这类非线性表达式。系数可以是的函数，右边也可以是的函数。

线性不是说图像一定是直线。这里的“线性”说的是方程对未知函数 $y$ 的依赖方式。方程 $y' + x^2 y = \sin x$ 是线性的；方程 $y' + x y^2 = \sin x$ 不是线性的。

标准形式不只是整理格式

把方程写成标准形式有两个作用。第一，它让我们看清 $p(x)$ 和 $q(x)$ 。第二，它提醒我们注意区间。若原方程需要除以 $x$ ，那么 $x=0$ 可能不能包含在同一个解的区间里。

例如

xy' + 3y = x^2

在 $x>0$ 或 $x<0$ 上可以除以 $x$ ，得到

y' + \frac{3}{x}y = x

但这个标准形式在 $x=0$ 处没有定义。初值如果给在 $x_0>0$ ，解应先在包含 $x_0$ 且不跨过 $0$ 的区间上讨论。

齐次方程与外部输入

若 $q(x)=0$ ，方程

y' + p(x)y = 0

称为对应的齐次方程。它描述没有外部输入时，系统自己的衰减、放大或调节。

若 $q(x)\ne 0$ ，右边就是非齐次项。它在模型中常常来自外部热源、电源、输注速率、流入污染物浓度等。后面会看到，通解通常可以理解为“齐次部分加一个特解”。

积分因子从哪里来

积分因子不是一个需要硬背的魔法公式。它来自乘积求导法则。

从标准形式开始：

y' + p(x)y = q(x)

我们想找一个非零函数 $\mu(x)$ ，把整个方程乘上去：

\mu y' + \mu p y = \mu q

如果左边正好是 $(\mu y)'$ ，那么就能直接积分。根据乘积求导法则，

(\mu y)' = \mu y' + \mu' y

比较两式，所需条件是

\mu' = p(x)\mu

这又是一个可分离方程：

\frac{\mu'}{\mu}=p(x)

积分后得到

\ln|\mu|=\int p(x)\,dx

所以可以取

\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}

乘上这个 $\mu$ 后，原方程变为

(\mu y)' = \mu q

再积分，得到

\mu y = \int \mu(x)q(x)\,dx + C

最后除以 $\mu$ ：

y = \frac{1}{\mu(x)}\left(\int \mu(x)q(x)\,dx + C\right)

积分因子来源示意图：通过选择 μ 使 μ' = p(x)μ，将一阶线性方程左边化为乘积求导

积分因子的关键条件是 $\mu'=p\mu$ ，它让 $\mu y' + \mu p y$ 正好等于 $(\mu y)'$ 。

解题时可以记住流程，但更应记住目标：选出 $\mu$ ，让左边变成 $(\mu y)'$ 。只要这个目标清楚，公式中的指数、积分常数和乘法步骤都不会显得孤立。

为什么积分因子里的常数可以省略

在

\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}

中，不定积分本来可以带一个常数 $K$ 。这会把 $\mu$ 变成

e^{\int p(x)\,dx+K}=e^K e^{\int p(x)\,dx}

也就是把原来的积分因子乘上一个非零常数。方程每一项都会乘上同一个常数，最后求解时会被消掉。因此为了简洁，通常取 $K=0$ 。

标准求解流程

用积分因子解一阶线性方程，可以按下面的顺序进行。

先把方程化为标准形式 $y' + p(x)y = q(x)$ 。如果需要除以某个函数，要同时说明当前讨论的区间，避免把不连续点跨过去。

一个完整例题

求解初值问题

y' + 2y = e^{-x}, \qquad y(0)=1

这里已经是标准形式， $p(x)=2$ ， $q(x)=e^{-x}$ 。积分因子是

\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}

两边乘以 $e^{2x}$ ：

e^{2x}y' + 2e^{2x}y = e^x

左边正好是乘积导数：

(e^{2x}y)' = e^x

积分得

e^{2x}y = e^x + C

所以

y=e^{-x}+Ce^{-2x}

代入 $y(0)=1$ ：

1=1+C

因此 $C=0$ ，解为

y=e^{-x}

一阶线性方程 y' + 2y = e^-x, y(0)=1 的积分因子求解步骤和解曲线示意图

这个例题展示了标准形式、积分因子、乘积求导和初值代入的完整链条。

带初值的定积分写法

如果初值是 $y(x_0)=y_0$ ，可以把积分因子直接写成

\mu(x)=\exp\left(\int_{x_0}^{x} p(s)\,ds\right)

这样 $\mu(x_0)=1$ 。从 $(\mu y)'=\mu q$ 出发，在 $x_0$ 到上积分：

\mu(x)y(x)-y_0=\int_{x_0}^{x}\mu(s)q(s)\,ds

于是

y(x)=\frac{1}{\mu(x)}\left(y_0+\int_{x_0}^{x}\mu(s)q(s)\,ds\right)

这个形式在建模中很有用，因为它把初始状态和外部输入分开了： $y_0$ 是起点，积分项是从 $x_0$ 到 $x$ 期间累积进来的影响。

解的结构：齐次、特解、暂态与稳态

一阶线性方程的通解常写成

y = y_p + C y_h

其中 $y_h$ 是齐次方程的一个非零解， $y_p$ 是非齐次方程的一个特解。

对

y' + p(x)y = q(x)

对应齐次方程是

y' + p(x)y = 0

它的解为

y_h=e^{-\int p(x)\,dx}

所以所有初始条件的差异，都会落在 $C y_h$ 这一项里。若 $y_h$ 随 $x$ 增大而衰减，这部分就是暂态；若它增长，初始偏差会被放大，不能称为会消失的暂态。

一阶线性方程响应分解示意图：齐次部分暂态衰减、特解部分跟随输入、总解为两者叠加

齐次部分携带初始偏差；特解反映外部输入；总响应是两者的叠加。

常系数情形最容易看清暂态

考虑

y' + ay = b, \qquad a>0

稳态常数解满足

ay=b

所以

y_s=\frac{b}{a}

完整解是

y(t)=\frac{b}{a}+\left(y_0-\frac{b}{a}\right)e^{-at}

第二项会随着 $t$ 增大而衰减。它描述初始状态和稳态之间的偏差。 $a$ 越大，衰减越快；时间尺度大约是 $1/a$ 。

“稳态”不是说解从一开始就不变。它说的是在输入保持同样模式、齐次部分又会衰减时，长期剩下的响应。若 $p(x)$ 的符号让齐次部分增长，初始误差不会自动消失。

周期输入下的稳态

若方程是

y' + ay = b + A\sin(\omega t), \qquad a>0

长期响应通常由一个常数平均值和一个同频率振荡组成。初始条件仍然只影响齐次项 $Ce^{-at}$ 。这就是很多工程模型中“暂态响应”和“稳态响应”的基本来源。

冷却、电路与药物模型

一阶线性方程有一个统一的建模语言：

\text{状态变化}+\text{损耗或拉回}=\text{外部输入}

这个结构在热学、电路、药物浓度、混合槽等模型中反复出现。

Newton 冷却定律

设 $T(t)$ 是物体温度， $A(t)$ 是环境温度。若温度变化率与物体温度和环境温度的差成正比，可写成

T'=-k(T-A(t)), \qquad k>0

整理为标准形式：

T' + kT = kA(t)

当环境温度为常数 $A$ 时，

T(t)=A+(T_0-A)e^{-kt}

物体温度不是突然跳到环境温度，而是以时间尺度 $1/k$ 逐渐靠近。若环境温度 $A(t)$ 随时间变化，方程仍然是一阶线性的，只是右边变成随时间变化的输入。

牛顿冷却定律教学图，展示物体温度 T(t) 滞后追随变化的环境温度 A(t)，并给出一阶线性方程 T' + kT = kA(t)

环境温度是输入，温度差决定变化方向，参数 $k$ 控制追随速度。

RC 电路

在串联 RC 电路中，设 $q(t)$ 是电容上的电荷， $E(t)$ 是外加电压。由电阻压降 $Ri$ 、电容压降 $q/C$ 和 $i=q'$ 得到

Rq' + \frac{q}{C}=E(t)

除以 $R$ ：

q' + \frac{1}{RC}q=\frac{E(t)}{R}

若用电容电压 $v=q/C$ 表示，则

v' + \frac{1}{RC}v=\frac{1}{RC}E(t)

常值输入 $E(t)=E_0$ 时，

v(t)=E_0+(v_0-E_0)e^{-t/(RC)}

这里 $RC$ 是时间常数。电阻或电容越大，充放电越慢。

恒速输注的药物浓度

一个最简的一室模型把身体看成混合均匀的容器。设 $C(t)$ 是血药浓度， $V$ 是表观分布体积， $R_{\mathrm{in}}$ 是恒定输入速率， $k$ 是一阶清除率。则

C' + kC = \frac{R_{\mathrm{in}}}{V}

若 $C(0)=C_0$ ，解为

C(t)=\frac{R_{\mathrm{in}}}{kV}+\left(C_0-\frac{R_{\mathrm{in}}}{kV}\right)e^{-kt}

稳态浓度是

C_s=\frac{R_{\mathrm{in}}}{kV}

这个模型只说明数学结构。真实用药还涉及吸收、分布、代谢、个体差异和安全范围，不能直接用作剂量建议。

中文教学信息图，对比 RC 电路与恒速输注药物浓度模型，说明二者都满足状态变化加损耗等于输入的一阶线性结构

电路中的电荷、电容电压，和药物模型中的浓度，都可以放入“状态变化 + 损耗 = 输入”的框架。

常见误区与检查

一阶线性方程的计算通常不长，但容易在前两步出错。下面这些检查很实用。

误区一：没有先化标准形式

方程

xy' + 2y = x^3

的 $p(x)$ 不是 $2$ ，因为它还没有除以 $x$ 。在 $x\ne 0$ 的区间上，标准形式是

y' + \frac{2}{x}y = x^2

所以

p(x)=\frac{2}{x}

误区二：把积分因子乘漏

乘上 $\mu$ 后，每一项都要乘：

\mu y' + \mu p y = \mu q

右边也要乘 $\mu$ 。很多错误解法只把左边乘了积分因子，导致后续积分完全变成另一个问题。

误区三：忘记区间和绝对值

若

p(x)=\frac{3}{x}

则

\mu(x)=e^{\int 3/x\,dx}=e^{3\ln|x|}=|x|^3

在 $x>0$ 上可写成 $x^3$ ，在 $x<0$ 上也可取与 $x^3$ 只差常数倍的积分因子。重点是不能把经过 $0$ 的整个区间当成一个普通区间。

误区四：把所有特解都叫稳态

特解 $y_p$ 只是非齐次方程的某一个解。它不一定是常数，也不一定表示长期稳定状态。只有在齐次部分衰减，并且输入有稳定模式时，特解才自然承担“稳态响应”的角色。

每次做完积分因子题，都可以反代检查：先计算 $y'$ ，再代回 $y' + p(x)y$ ，看是否等于 $q(x)$ 。这一步比单纯检查代数外观可靠。

练习

练习时先判断是否已经是标准形式，再写积分因子。不要急着把公式套上去。

练习一

求通解：

y' - 3y = e^{2x}

这里 $p(x)=-3$ ，所以

\mu(x)=e^{-3x}

乘上积分因子：

(e^{-3x}y)'=e^{-x}

练习二

求初值问题：

y' + \frac{2}{x}y = x, \qquad y(1)=0

在 $x>0$ 上求解。

积分因子为

\mu(x)=e^{\int 2/x\,dx}=x^2

于是

(x^2y)'=x^3

练习三

设一杯水的温度 $T(t)$ 满足

T' + 0.2T = 0.2A

其中环境温度 $A=20$ ，初始温度 $T(0)=80$ 。求 $T(t)$ ，并说明长期温度。

稳态温度满足 $0.2T=0.2A$ ，所以 $T_s=20$ 。也可以用积分因子 $e^{0.2t}$ 求解，得到

练习四

一个 RC 电路的电容电压满足

v' + 5v = 50, \qquad v(0)=0

求 $v(t)$ ，并写出稳态电压。

这是常系数线性方程。稳态满足 $5v=50$ ，所以 $v_s=10$ 。通解为

v(t)=10+Ce^{-5t}

练习五

判断下列方程是否是一阶线性方程。若是，写出 $p(x)$ 和 $q(x)$ 。

\text{(a)}\quad y' + \sin x\, y = x^2

\text{(b)}\quad y' + y^2 = x

\text{(c)}\quad x y' - y = e^x

(a) 是线性的，已经是标准形式：

p(x)=\sin x, \qquad q(x)=x^2

(b) 不是线性的，因为出现了 $y^2$ 。

T(t)=20+(80-20)e^{-0.2t}

x\ne 0

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 4 章：一阶线性方程与积分因子 | 自在学