可分离变量方程

上一章我们用方向场看解曲线的走向。本章开始求第一类能真正“算出来”的一阶方程：可分离变量方程。

它的核心问题很朴素：如果斜率可以写成一个只依赖自变量的因子，乘上一个只依赖未知函数的因子，我们能不能把两种变量分别放到积分号两边？

答案通常是可以，但有两个前提不能省：先确认哪些地方允许除法，再记住被除掉的常数解。

可分离方程标准形与变量分组示意图 — 可分离方程的标准形与变量分离：分组来自链式法则，不是随便移项。

从斜率可拆开说起

一阶方程

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

一般不容易直接积分，因为右边同时混着 $x$ 和 $y$ 。可分离变量方程是其中比较友好的一类，它的右边可以分解成

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).

这里 $g(x)$ 只看当前位置 $x$ ， $h(y)$ 只看当前高度 $y$ 。例如

\frac{dy}{dx}=xy

是可分离的，因为它等于 $g(x)=x$ 和 $h(y)=y$ 的乘积。方程

\frac{dy}{dx}=x+y

通常不是可分离的，因为 $x+y$ 没有自然拆成“只含 $x$ 的因子乘只含 $y$ 的因子”。

为了看清分离变量的合法性，先假设在某段解曲线上 $h(y)\ne0$ 。把方程两边除以 $h(y)$ ，得到

\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}=g(x).

如果取一个函数 $H$ ，满足

H'(y)=\frac{1}{h(y)},

那么左边正是复合函数 $H(y(x))$ 对 $x$ 的导数：

\frac{d}{dx}H(y(x))=H'(y)y'=\frac{1}{h(y)}\frac{dy}{dx}.

所以两边对 $x$ 积分，得到

H(y)=\int g(x)\,dx+C.

平时写成

\int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx

只是这种链式法则计算的简写。

微分记号 $\frac{dy}{dx}$ 很像一个分数，但本章更稳妥的理解是：先把方程改写成 $\frac{1}{h(y)}y'=g(x)$ ，再用链式法则确认左边确实是某个关于的函数对的导数。

标准形式与合法分离

判断一个方程能否分离时，不要急着动手积分。先做三件事：找标准形，找可能被除掉的常数解，确定当前解曲线所在的区间。

分离变量的六步检查流程图 — 求解可分离变量方程时，从识别标准形式到检查定义域的六步流程。

设方程已经写成

y'=g(x)h(y).

如果存在数值 $a$ 使得 $h(a)=0$ ，那么

y(x)\equiv a

就是一个常数解。因为此时 $y'=0$ ，右边也等于 $g(x)h(a)=0$ 。

在非平衡的解曲线上，只要 $h(y)\ne0$ ，就可以分离：

\frac{dy}{h(y)}=g(x)\,dx.

接着分别积分：

\int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx+C.

这里两边积分常数只需要合并成一个 $C$ 。如果你在左边写 $C_1$ ，右边写 $C_2$ ，最后也只会留下差 $C_2-C_1$ 。

如果你把 $h(y)$ 除掉，却没有先检查 $h(y)=0$ ，就可能丢掉水平直线解。这个错误在 $y'=xy$ 、 $y^{}$ 、这类题里很常见。

来看一个基本例子。

求初值问题

y'=xy,\qquad y(0)=2.

先识别标准形。这里 $g(x)=x$ ， $h(y)=y$ ，所以方程可分离。由于 $h(0)=0$ ，是一个常数解，但它不满足初值。

这个例子里，常数解 $y=0$ 与初值解分属不同曲线。分离变量法没有把它们混在一起，但我们必须主动把它们记下来。

隐式解、显式解与常数

分离变量以后，不一定总能把 $y$ 解成 $x$ 的显式函数。很多时候，积分给出的关系本身就已经描述了解曲线。

例如

y'=\frac{x}{1+y^2},\qquad y(0)=1.

分离变量得到

(1+y^2)\,dy=x\,dx.

积分后

y+\frac{y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+C.

代入初值：

1+\frac{1}{3}=C,

所以

y+\frac{y^3}{3}=\frac{x^2}{2}+\frac{4}{3}.

这就是一个隐式解。它没有把 $y$ 单独放在等号左边，但已经给出了一条经过 $(0,1)$ 的积分曲线。

隐式解曲线族与初值点选择特解示意图 — 隐式解族 $F(x,y)=C$ 中，通过初值点的曲线就是对应的特解。

能写成显式解当然方便，但不是每道题都值得硬解。只要隐式关系能确定经过初值点的解曲线，并且能用于判断趋势、代入检查或数值计算，它就是有效的答案形式。

积分常数的位置也要自然。比如

\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C

可以指数化为

|y|=e^C e^{x^2/2}.

通常把符号和正数常数合并，写成

y=Ae^{x^2/2},

其中 $A$ 可以是正数、负数，也可以由常数解补上 $A=0$ 。但如果前面除以过 $y$ ，就不要忘记说明 $A=0$ 对应的是额外检查得到的常数解，而不是除法步骤本身推出来的。

下面这个交互可以把标准形、初值和解曲线放在一起看。拖动初值时，注意同一个方程会怎样选出不同的积分曲线。

初值问题中的定义域

求出公式后，还要回答一个经常被忽略的问题：这个公式在哪个区间上代表同一条初值解？

一阶初值问题的解通常只要求在包含初始点 $x_0$ 的某个区间上成立。如果公式在某处出现分母为零、对数无意义或函数爆破，就不能把解曲线硬跨过去。

看方程

y'=y^2,\qquad y(0)=1.

分离变量：

\frac{dy}{y^2}=dx.

积分得到

-\frac{1}{y}=x+C.

代入 $y(0)=1$ ，得到 $C=-1$ ，所以

y=\frac{1}{1-x}.

这个公式在 $x=1$ 爆破。因为初始点在 $0$ ，这条初值解的最大有效区间是

(-\infty,1).

不能把同一个初值解说成在 $x>1$ 也继续成立。虽然公式右侧在 $x>1$ 也有数值，但那已经隔着竖直渐近线，不是从 $(0,1)$ 连续延伸过去的同一条解曲线。

方程 y'=y^2 的有限时间爆破与最大有效区间示意图 — 解出显式公式后仍要检查定义域；初值问题的有效区间不能跨过爆破点。

初值解的定义域不是“公式哪里有字面表达就算哪里”。它必须是一个包含初始点的区间，并且解函数和方程右端在这个区间上都保持有意义。

常数解、奇异解与丢解风险

许多可分离方程来自自治因子 $h(y)$ 。只要 $h(y)$ 有零点，就有水平的常数解。它们在方向场里通常是分界线，其他解曲线可能靠近它、远离它，或者永远不能穿过它。

以

y'=2xy^2

为例。因为 $h(y)=y^2$ ，所以 $y\equiv0$ 是常数解。

如果只看非零解，可以分离：

\frac{dy}{y^2}=2x\,dx.

积分得到

-\frac{1}{y}=x^2+C.

这给出一族非零解

y=-\frac{1}{x^2+C}.

但这族公式永远不能产生 $y=0$ 。原因不是 $y=0$ 不存在，而是分离时除以了 $y^2$ 。

分离变量时除以 y 平方导致常数解可能被丢掉的示意图 — 分离变量前先检查 $h(y)=0$ ；若直接除以 $y^2$ ，会把常数解 $y=0$ 从求解过程中排除。

有些教材会把这种额外的水平解称为奇异解，也有教材把“不能由通解某个常数取值得到的解”才叫奇异解。本课程在一阶方程前半部分更关心实际操作：只要分离时除掉了某个因子，就必须回头检查它的零点是否给出额外解。

下面的检查器专门展示这个问题。切换 $h(y)$ 后，先看水平解，再看分离积分得到的非水平解。

指数增长、指数衰减与半衰期

最常见的可分离模型是“变化率与当前量成正比”：

\frac{dy}{dt}=ky.

如果 $k>0$ ，量会指数增长；如果写成

\frac{dy}{dt}=-\lambda y,\qquad \lambda>0,

就是指数衰减。放射性衰变、理想化的药物清除、某些无补充资源的数量减少，都可以用这个模型作第一近似。

求解衰减模型：

\frac{dy}{dt}=-\lambda y.

当 $y\ne0$ 时，

\frac{1}{y}\,dy=-\lambda\,dt.

积分得到

\ln|y|=-\lambda t+C.

如果初始量 $y(0)=y_0>0$ ，那么

y(t)=y_0e^{-\lambda t}.

半衰期 $T_{1/2}$ 是使剩余量变成一半的时间：

y_0e^{-\lambda T_{1/2}}=\frac{y_0}{2}.

消去 $y_0$ 后，

T_{1/2}=\frac{\ln2}{\lambda}.

这个模型有一个很有用的尺度性质：无论一开始是 $100$ 克还是 $1$ 克，每过一个半衰期，剩余量都乘以 $\frac12$ 。这也是指数模型和线性减少模型最不一样的地方。

指数模型的比例参数有单位。若 $t$ 用天计， $\lambda$ 的单位就是“每天”；若 $t$ 用年计， $\lambda$ 的数值会随单位改变。写模型时先定清楚时间单位，后面的半衰期才有明确意义。

常见误区

第一类误区是把所有一阶方程都当成可分离方程。判断时必须看右端能不能写成 $g(x)h(y)$ 。例如 $y'=x+y$ 通常不能直接分离，而 $y'=e^x(1+y^2)$ 可以。

第二类误区是把 $dx$ 和 $dy$ 当成普通数字随便消去。计算上可以使用微分记号，但解释上要能回到链式法则。只要你能指出左边是某个 $H(y(x))$ 的导数，分离步骤就有了根据。

第三类误区是忘记绝对值。积分

\int \frac{1}{y}\,dy

给出的是

\ln|y|.

在代入初值以后，如果已知解保持正或保持负，才把绝对值转化为对应的常数符号。

第四类误区是只写公式，不写区间。像 $y'=y^2$ 这样的例子会在有限时间爆破；像含有 $\ln|y|$ 的解会自然分成正、负两个区域。初值解应写在包含初始点的有效区间上。

分离变量的答案要经得起代回原方程。特别是经过除法、取对数、开方、指数化之后，最好用原方程和初值各检查一次。能通过这两项检查的，才是当前初值问题的解。

练习

判断下列方程哪些可分离，并写出 $g(x)$ 与 $h(y)$ ： $y'=x(1-y)$ ， $y^{'}$ ，，。

可分离的是 $y'=x(1-y)$ ，其中 $g(x)=x$ ， $h(y)=1-y$ ；，其中，；，其中，，但要注意处右端无意义，不是可直接补上的常数解。通常不能写成两因子的乘积，所以不按可分离方程处理。

求解初值问题

y'=(1+x)y^2,\qquad y(0)=-1.

当 $y\ne0$ 时，分离变量：

\frac{dy}{y^2}=(1+x)\,dx.

方程

y'=t(4-y^2)

有哪些常数解？若 $y(0)=0$ ，求对应的非平衡解。

由 $4-y^2=0$ 得到常数解 $y\equiv2$ 和 $y\equiv-2$ 。对满足 $y (0) =$ 的解，在内分离变量：

一个放射性样本满足 $N'=-\lambda N$ ，半衰期为 $8$ 天。若初始量为 $N_0$ ，写出 $N(t)$ ，并求天后剩余比例。

半衰期公式给出

8=\frac{\ln2}{\lambda},

因此

\lambda=\frac{\ln2}{8}.

小结

可分离变量方程的主要计算式是

y'=g(x)h(y) \quad\Longrightarrow\quad \int \frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx+C.

但真正稳定的做法不是背这行公式，而是形成一个检查顺序：先找 $h(y)=0$ 的常数解，再在 $h(y)\ne0$ 的区间分离积分，接着用初值确定常数，最后检查解的有效区间和代回原方程是否成立。

下一章的一阶线性方程会处理另一类常见模型。那时我们会看到，有些方程不能把变量完全分开，但仍然可以通过“把左边凑成乘积求导”来积分。

'

=

y

(

1

-

y

)

y'=y(1-y)

=

x

+

y

y'=x+y

0

y(0)=0

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 3 章：可分离变量方程 | 自在学