Laplace 变换 I：把微分方程变成代数方程

前面几章求二阶线性方程时，我们一直在时间域里工作：先找齐次解，再找特解，最后代入初始条件。这个流程很自然，但遇到复杂输入时会变得笨重。Laplace 变换提供另一条路线：把关于 $t$ 的微分方程变成关于 $s$ 的代数方程，先在代数层面解出 $Y(s)$ ，再把它变回 $y(t)$ 。

本章只做 Laplace 变换的第一步：定义、基本表、逆变换、导数公式，以及用它解初值问题。下一章再处理阶跃、冲击和分段输入。

Laplace 变换把时间域问题送到 s 域再送回解函数的路线图

Laplace 变换的核心路线：微分方程先变成代数方程，初始条件在变换导数时进入方程，最后用逆变换回到 $y(t)$ 。

为什么要换到 s 域

设想一个受迫振动方程：

my''+cy'+ky=g(t), \qquad y(0)=y_0,\qquad y'(0)=v_0

如果 $g(t)$ 是简单的正弦或指数函数，待定系数法通常够用。如果 $g(t)$ 由多个开关、短促脉冲或分段信号组成，直接在时间域里拼接解会很繁琐。Laplace 变换的想法是把整个方程投影到一个新的变量 $s$ 上。微分在这个新世界里主要变成乘以 $s$ ，所以微分方程会变成代数方程。

这里有一个很重要的差别：Laplace 变换特别适合初值问题。变换 $y'$ 和 $y''$ 时， $y(0)$ 和 $y'(0)$ 会自动出现。也就是说，初始条件不是最后补上的常数约束，而是在第一步就进入了代数方程。

可以把 Laplace 变换看成一种为初值问题设计的坐标变换。它不一定让每道题都更短，但它把“求函数”改写为“先求一个有理函数”，这对线性常系数方程尤其有用。

定义：带指数权重的面积

对定义在 $t\ge 0$ 上的函数 $f(t)$ ，它的 Laplace 变换记作 $F(s)$ 或 $\mathcal{L}\{f(t)\}$ ，定义为

F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_0^\infty e^{-st}f(t)\,dt

这个积分从 $0$ 开始，因为初值问题通常从某个起始时刻开始追踪系统。因子 $e^{-st}$ 是指数衰减权重。当 $s$ 较大时，远离 $0$ 的函数值被压得更轻；当 $s$ 较小时，较远时间的贡献会保留得更多。

Laplace 变换定义中原函数、指数权重和加权面积的关系

Laplace 变换不是单点取值，而是把整条半直线上的函数用指数权重汇总成一个关于 $s$ 的函数。

为了让积分收敛，我们通常假设 $f$ 在每个有限区间上分段连续，并且增长不快于某个指数函数。也就是说，存在常数 $M,a,T$ ，使得当 $t\ge T$ 时有

|f(t)|\le Me^{at}

在这种情况下，只要 $s>a$ ，指数权重 $e^{-st}$ 就能压住 $f(t)$ 的增长，Laplace 变换存在。本课程里常见的多项式、指数、正弦、余弦及它们的有限线性组合都属于这类函数。

从定义算几个基本例子

先看常数函数：

\mathcal{L}\{1\}=\int_0^\infty e^{-st}\,dt=\frac{1}{s},\qquad s>0

指数函数也很直接：

\mathcal{L}\{e^{at}\}=\int_0^\infty e^{-st}e^{at}\,dt =\int_0^\infty e^{-(s-a)t}\,dt =\frac{1}{s-a},\qquad s>a

对 $f(t)=t$ ，分部积分给出

\mathcal{L}\{t\}=\frac{1}{s^2},\qquad s>0

这些结果看起来只是积分表，但它们马上会变成解微分方程的积木。

常用变换和逆变换

Laplace 变换是线性的。如果 $\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$ ， $\mathcal{L}\{g(t)\}=G(s)$ ，那么

\mathcal{L}\{af(t)+bg(t)\}=aF(s)+bG(s)

因此做实际计算时，很少每次都回到定义积分。我们更多是把函数拆成常见部件，再查表和整理。

常见函数的 Laplace 变换速览卡片

常用变换表应当和函数形状一起记：常数、指数、多项式、三角函数都会变成关于 $s$ 的简单有理表达式。

下面这张表列出本章最常用的几项。表里的条件没有逐项写全，默认取使积分收敛的 $s$ 范围。

$f(t)$	$F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$
$1$	$\dfrac{1}{s}$

逆 Laplace 变换记作 $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ 。它不是把 $s$ 当成普通变量做代数反函数，而是问：哪个时间函数的 Laplace 变换等于这个 $F(s)$ ？

例如

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+4}\right\}=e^{-4t}

再如

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3}{s^2+9}\right\}=\sin(3t)

逆变换前常常需要整理 $F(s)$ 。如果看到 $\frac{s+3}{s^2+6s+13}$ ，不要急着查表；先把分母配方成 $($ ，再判断它对应指数平移后的余弦或正弦。

一个逆变换小例子

求

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s+5}{s^2+4}\right\}

先按表中的两项拆开：

\frac{2s+5}{s^2+4} =2\frac{s}{s^2+4}+\frac{5}{s^2+4} =2\frac{s}{s^2+2^2}+\frac{5}{2}\frac{2}{s^2+2^2}

所以

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2s+5}{s^2+4}\right\} =2\cos(2t)+\frac{5}{2}\sin(2t)

导数公式：初始条件在哪里出现

Laplace 变换能把微分方程变成代数方程，关键在导数公式。设 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$ 。由分部积分可得

\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0)

再对 $y''$ 使用同样的公式：

\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)

更高阶导数也有同样模式：

\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\} =s^nY(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots-y^{(n-1)}(0)

导数变换时初值和初始斜率进入 s 域代数方程

导数公式解释了为什么 Laplace 变换适合初值问题： $y(0)$ 和 $y'(0)$ 在变换导数时已经进入 $s$ 域。

这几条公式值得单独记住。它们告诉我们：

微分主要变成乘以 $s$ 。
每下降一次导数，就会多出现一个初始值项。
初值问题的条件必须给在 $t=0$ ，否则需要先平移时间或另做处理。

最常见的错误是把 $\mathcal{L}\{y'\}$ 直接写成 $sY(s)$ ，漏掉 $-y(0)$ 。这样做等于偷偷把初值设成了 $0$ ，后面的解通常会完全不对。

用 Laplace 变换解初值问题

对线性常系数初值问题，Laplace 方法的基本流程很固定。

对方程两边取 Laplace 变换。每一项都按线性性和导数公式处理，把 $y(t)$ 的变换记作 $Y(s)$ 。

把初始条件代入导数公式。此时方程里只剩 $Y(s)$ 、和已知函数的变换。

用 Laplace 变换解初值问题的四步代数化过程

求解时真正费力的地方通常不是微分，而是把 $Y(s)$ 整理成可以逆变换的形式。

例题：一阶初值问题

求解

y'+2y=3,\qquad y(0)=1

设 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$ 。对方程两边取 Laplace 变换：

\mathcal{L}\{y'\}+2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{3\}

这道题用积分因子也很快。这里选择它，是为了看清 Laplace 方法的结构：初始条件在第二步进入，最后直接得到特解，而不是先得到通解再解常数。

例题：二阶齐次初值问题

求解

y''+3y'+2y=0,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0

对两边取 Laplace 变换：

\left(s^2Y-s\right)+3\left(sY-1\right)+2Y=0

合并同类项：

(s^2+3s+2)Y=s+3

因此

Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}

拆成部分分式：

\frac{s+3}{(s+1)(s+2)} =\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}

逆变换得到

y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

这个解也可以用特征方程得到。Laplace 方法的优势在于同一套步骤还可以处理非齐次项、分段输入和冲击项；这些会在下一章出现。

部分分式：逆变换前的整理

Laplace 解法常把问题带到一个有理函数：

Y(s)=\frac{P(s)}{Q(s)}

如果 $Q(s)$ 能分解成一次因子，逆变换通常依赖部分分式。例如

\frac{3s+5}{(s+1)(s+4)} =\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}

两边同乘 $(s+1)(s+4)$ ：

3s+5=A(s+4)+B(s+1)

令 $s=-1$ 得 $2=3A$ ，所以 $A=\frac{2}{3}$ 。令得，所以。因此

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{3s+5}{(s+1)(s+4)}\right\} =\frac{2}{3}e^{-t}+\frac{7}{3}e^{-4t}

三种常见分母

一次因子最直接：

\frac{A}{s+a}\quad\longleftrightarrow\quad Ae^{-at}

重根需要保留多项：

\frac{A}{s+a}+\frac{B}{(s+a)^2} \quad\longleftrightarrow\quad Ae^{-at}+Bte^{-at}

不可约二次因子通常要配方：

\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2} \quad\longleftrightarrow\quad e^{-at}\cos(bt)

\frac{b}{(s+a)^2+b^2} \quad\longleftrightarrow\quad e^{-at}\sin(bt)

部分分式不是独立于微分方程的附属技巧。它决定你能不能从 $Y(s)$ 回到 $y(t)$ 。在 Laplace 题里，代数整理的干净程度常常直接决定后半题是否顺手。

建模角度：输入、系统和响应

在物理和工程模型里，线性常系数方程常写成

P(D)y=g(t)

这里 $D$ 表示对 $t$ 求导， $P(D)$ 是由 $D$ 组成的多项式算子， $g(t)$ 是外部输入。Laplace 变换把 $D$ 大体替换为 $s$ ，把问题变成

P(s)Y(s)=G(s)+\text{初始条件项}

如果系统从静止状态开始，也就是相关初值都为 $0$ ，那么形式会更清楚：

Y(s)=\frac{G(s)}{P(s)}

这里 $\frac{1}{P(s)}$ 描述系统如何改造输入。下一章会把这个想法和阶跃函数、冲击函数、卷积联系起来。

弹簧阻尼系统和电路中输入信号经过系统产生响应

Laplace 变换把“输入经过系统产生响应”的问题转成 $s$ 域中的乘除关系。

以质量-弹簧-阻尼模型为例：

my''+cy'+ky=g(t)

取 Laplace 变换后会出现

(ms^2+cs+k)Y(s)-m\bigl(sy(0)+y'(0)\bigr)-cy(0)=G(s)

如果 $y(0)=0$ 且 $y'(0)=0$ ，就有

Y(s)=\frac{G(s)}{ms^2+cs+k}

这说明同一个输入 $G(s)$ 经过不同的 $m,c,k$ 会产生不同的响应。代数分母的根，也就是后面系统课里会反复出现的“极点”，控制着响应的衰减、振荡和稳定性。

常见误区

不要把 Laplace 变换当成“把 $t$ 换成 $s$ ”。它是一个从函数到函数的积分变换。 $f(t)$ 和 $F(s)$ 不是同一个表达式换了字母，而是包含关系完全不同的两个对象。

忘记收敛范围

初学时常把

\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}

只当成代数公式。它的积分需要 $s>a$ 才收敛。做常微分方程时，我们通常不在每一步强调收敛范围，但理解它能避免把所有形式都当成无条件成立。

漏掉初始条件项

正确公式是

\mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)

而不是 $sY$ 。二阶导数也不能写成 $s^2Y$ ，除非 $y(0)=0$ 且 $y'(0)=0$ 。

逆变换前没有整理

看到

\frac{s+3}{s^2+4s+5}

应先配方：

s^2+4s+5=(s+2)^2+1

并把分子写成

s+3=(s+2)+1

这样才能识别为 $e^{-2t}\cos t+e^{-2t}\sin t$ 。

把初值问题和边值问题混在一起

Laplace 变换天然处理的是从 $t=0$ 出发的初值问题。若条件给在两个不同点，例如 $y(0)$ 和 $y(1)$ ，它就不再像本章例题那样直接。

小结

本章的主线可以压缩成一句话：Laplace 变换用积分把 $f(t)$ 变成 $F(s)$ ，用导数公式把初值问题变成代数方程，再用逆变换回到时间域。

本章最需要记牢的公式是

\mathcal{L}\{y'\}=sY-y(0)

和

\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y-sy(0)-y'(0)

只要这两条公式不丢，初值问题的 Laplace 解法就有了骨架。下一章会把输入 $g(t)$ 换成更现实的阶跃、脉冲和分段函数，那时 Laplace 变换的便利会更加明显。

练习

练习 1

用定义计算 $\mathcal{L}\{e^{-3t}\}$ 。

由定义

\mathcal{L}\{e^{-3t}\} =\int_0^\infty e^{-st}e^{-3t}\,dt =\int_0^\infty e^{-(s+3)t}\,dt

练习 2

求

\mathcal{L}\{4t^2-3\cos(5t)\}

利用线性性和表：

\mathcal{L}\{t^2\}=\frac{2}{s^3}

且

\mathcal{L}\{\cos(5t)\}=\frac{s}{s^2+25}

练习 3

求

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{5}{s^2+16}\right\}

因为

\mathcal{L}\{\sin(4t)\}=\frac{4}{s^2+16}

所以

\frac{5}{s^2+16}=\frac{5}{4}\frac{4}{s^2+16}

练习 4

用 Laplace 变换求解

y'+4y=8,\qquad y(0)=0

取 Laplace 变换：

sY-0+4Y=\frac{8}{s}

所以

Y=\frac{8}{s(s+4)}

练习 5

用 Laplace 变换求解

y''+4y=0,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=6

取 Laplace 变换：

(s^2Y-sy(0)-y'(0))+4Y=0

代入初值：

s

+

3

)^{2}

+

4

(s+3)^2+4

s = - 4

s=-4

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 13 章：Laplace 变换 I：把微分方程变成代数方程 | 自在学

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\frac{1}{2}

B=-\frac{1}{2}