变参数法与解的构造思想

上一章的待定系数法很高效，但它有一个明显的前提：非齐次项必须长得足够规整，通常是多项式、指数、正弦余弦，或者它们的有限组合。若右端是 $\tan x$ 、 $\ln x$ 、分段输入、实验测得的力，或者方程系数本身依赖 $x$ ，靠“猜一个同类型特解”就不稳了。

变参数法回答的是另一个问题：如果齐次方程已经给出了系统的基本运动方式，能不能用这些基本运动方式重新拼出非齐次输入带来的响应？

变参数法概念图，齐次解骨架中的常数 c1、c2 转为函数 u1(x)、u2(x)，构造特解吸收输入 g(x) — 常数变函数，吸收输入：从齐次解骨架到变参数法构造特解。

本章重点不只是记公式。我们要看清楚三件事：为什么可以把常数变成函数，公式里的 Wronskian 在保证什么，以及这个方法怎样自然通向 Green 函数和卷积的想法。

从猜特解到构造特解

考虑标准形式的二阶线性非齐次方程

y''+p(x)y'+q(x)y=g(x).

对应的齐次方程是

y''+p(x)y'+q(x)y=0.

如果 $y_1,y_2$ 是齐次方程在某个区间上的基本解组，那么齐次通解是

y_h=c_1y_1+c_2y_2.

这里 $c_1,c_2$ 是两个常数。它们只负责选择齐次解族里的哪一条曲线，不能主动响应右端输入 $g(x)$ 。变参数法的第一步就是把它们放松成函数：

y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).

这个式子看起来只改了两个字母，意义却变了。 $y_1,y_2$ 仍然提供系统本身的两种基本运动方式； $u_1,u_2$ 则随调整，把外部输入一点点吸收到特解里。

“变参数”里的参数，指的是齐次解中的任意常数。方法不是重新猜一个函数类型，而是让这些常数变成函数，再由方程本身决定这些函数该怎么变。

这和待定系数法的思路不同。待定系数法先看 $g(x)$ 的形状，再猜一个有限参数的模板。变参数法先看齐次方程的基本解组，再把特解放进由 $y_1,y_2$ 张成的移动坐标中。只要基本解组已知，它对右端 $g(x)$ 的形状没有那么挑剔。

基本解 y1、基本解 y2 构成坐标基底，移动坐标 u1(x)、u2(x) 沿曲线构造特解 — 先有基本解组，再谈变参数。 $u_1(x),u_2(x)$ 可以理解为特解在齐次解基底上的移动坐标。

基本解组是方法的入口

变参数法并没有省掉齐次方程。它甚至比待定系数法更依赖齐次方程，因为公式中每一步都要使用 $y_1,y_2$ 。

二阶线性方程里，基本解组的意思是： $y_1,y_2$ 都满足齐次方程，并且它们线性无关。常用检查量是 Wronskian：

W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\ y_1' & y_2' \end{vmatrix} =y_1y_2'-y_1'y_2.

在我们工作的区间上，基本解组对应 $W(x)\ne0$ 。这个条件不是装饰，它保证两个基底方向没有塌成同一条方向。若 $W=0$ ，用 $y_1,y_2$ 当坐标就会失效，后面求的线性方程组也不能唯一解出。

变参数法通常要先把方程化成 $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ 。如果原方程是，应先除以，右端变成。忘记标准化会让公式里的右端多一个因子错误。

下面这个公式检查器把 Wronskian、右端和可用条件放在一起。选一组“看起来像两个解”的函数时，先看它们是否真的能形成基本解组。

公式从哪里来

设

y_p=u_1y_1+u_2y_2.

直接求导会出现 $u_1'',u_2''$ ，计算会变得混乱。变参数法的一个巧妙选择是给 $u_1,u_2$ 加一个辅助约束：

u_1'y_1+u_2'y_2=0.

这个约束不是从天上掉下来的。因为我们有两个未知函数 $u_1,u_2$ ，但只需要构造一个 $y_p$ ，中间有一个自由度可以用来简化计算。让上式等于 $0$ 后，一阶导数变成

y_p'=u_1y_1'+u_2y_2'.

再求一次导数：

y_p''=u_1'y_1'+u_1y_1''+u_2'y_2'+u_2y_2''.

把 $y_p,y_p',y_p''$ 代回非齐次方程。由于本身满足齐次方程，含的部分会互相抵消，只剩下

u_1'y_1'+u_2'y_2'=g(x).

于是 $u_1',u_2'$ 由下面的二元线性方程组决定：

\begin{cases} u_1'y_1+u_2'y_2=0,\\ u_1'y_1'+u_2'y_2'=g(x). \end{cases}

变参数法推导示意图，辅助约束与 Wronskian 不为零决定 u1' 和 u2' — 辅助约束把变参数法中的两个未知导数组织成线性方程组，Wronskian 不为零保证可唯一解出 $u_1'$ 、 $u_2'$ 。

用 Cramer 法则解这个方程组，得到

u_1'=-\frac{y_2g}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1g}{W}.

因此可以取

u_1=-\int \frac{y_2g}{W}\,dx,\qquad u_2=\int \frac{y_1g}{W}\,dx.

代回 $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ ，得到常见公式：

y_p =-y_1\int \frac{y_2g}{W}\,dx +y_2\int \frac{y_1g}{W}\,dx.

公式里的积分常数可以先取为 $0$ 。若给 $u_1,u_2$ 的积分各加常数，最后只会多出 $C_1y_1+C_2y_2$ ，它属于齐次解部分，不会改变“一个特解”的本质。

把这一段压缩成可执行流程，就是下面几步。

先把方程写成标准形式 $y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)$ ，确认右端是标准化后的右端。

下面的交互把最简单的齐次骨架 $y_1=\cos x$ 、 $y_2=\sin x$ 固定住。改变右端输入 $g(x)$ 时，注意是怎样从输入累计出来的。

例题中的完整计算

求方程

y''+y=\tan x

在不穿过 $\cos x=0$ 的区间上的通解。

这道题适合用变参数法，因为右端 $\tan x$ 不是待定系数法最喜欢的那类输入。齐次方程

y''+y=0

有基本解组

y_1=\cos x,\qquad y_2=\sin x.

Wronskian 为

W= \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\ -\sin x & \cos x \end{vmatrix} =1.

这里 $g(x)=\tan x$ ，所以

u_1'=-\frac{y_2g}{W}=-\sin x\tan x,

u_2'=\frac{y_1g}{W}=\cos x\tan x=\sin x.

分别积分：

u_1=\int -\sin x\tan x\,dx.

把被积函数改写为

-\sin x\tan x=-\frac{\sin^2 x}{\cos x} =\cos x-\sec x,

所以

u_1=\sin x-\ln|\sec x+\tan x|.

同时

u_2=\int \sin x\,dx=-\cos x.

代回特解形式：

\begin{aligned} y_p &=u_1\cos x+u_2\sin x\\ &=\left(\sin x-\ln|\sec x+\tan x|\right)\cos x-\cos x\sin x\\ &=-\cos x\ln|\sec x+\tan x|. \end{aligned}

因此通解为

y=C_1\cos x+C_2\sin x-\cos x\ln|\sec x+\tan x|.

这道题的解不是在全实轴上一口气成立，因为 $\tan x$ 和 $\sec x$ 在 $\cos x=0$ 的地方没有定义。变参数法给出的公式要放在一个不跨过奇点的区间里理解。

再看一个能说明“多出来的齐次项可以吸收”的例子。求

y''-y=e^x.

齐次解为 $y_h=C_1e^x+C_2e^{-x}$ 。取、，则

W= \begin{vmatrix} e^x & e^{-x}\\ e^x & -e^{-x} \end{vmatrix} =-2.

由公式，

u_1'=-\frac{e^{-x}e^x}{-2}=\frac{1}{2}, \qquad u_2'=\frac{e^xe^x}{-2}=-\frac{e^{2x}}{2}.

可以取

u_1=\frac{x}{2},\qquad u_2=-\frac{e^{2x}}{4}.

于是

y_p=\frac{x}{2}e^x-\frac{1}{4}e^x.

第二项 $-\frac14e^x$ 本来就是齐次解的一部分，所以一个更干净的特解可以写成

y_p=\frac{x}{2}e^x.

变参数法经常给出“一个特解加上一点齐次解”的表达。整理答案时，可以把属于 $y_h$ 的项并入 $C_1y_1+C_2y_2$ ，留下更简洁的特解。

模型中的输入与响应

变参数法不只是代数技巧。在线性模型里，它表达了一个很自然的结构：系统先有自由运动方式，外部输入再沿这些方式不断改变坐标。

以受迫振动为例：

my''+cy'+ky=F(t).

若除以 $m$ ，它变成

y''+\frac{c}{m}y'+\frac{k}{m}y=\frac{F(t)}{m}.

齐次方程描述没有外力时的自由振动。右端 $\frac{F(t)}{m}$ 描述外力输入。变参数法把总响应写成

y=y_h+y_p.

这里 $y_h$ 承载初始位置和初始速度造成的自由响应， $y_p$ 承载外力在运动过程中不断累积出来的受迫响应。

弹簧质量阻尼受迫振动示意图，展示外部输入产生自由响应、受迫响应和总响应 — 在受迫振动中，变参数法把“系统本身会怎样动”和“外力怎样推动系统”分开看。

如果外力是简单正弦，待定系数法常常更快。如果外力是实验曲线、短时脉冲、分段函数，变参数法虽然不一定把积分化成初等函数，却仍然给出可计算、可近似、可解释的特解表达。

在线性方程里，“齐次响应 + 一个特解”不是解题口号，而是模型结构。齐次部分记住初始状态，特解部分记录外部输入。

Green 函数的直觉入口

把变参数公式稍微改写，就能看见 Green 函数的影子。

仍考虑

y''+p(t)y'+q(t)y=g(t).

取基本解组 $y_1,y_2$ ，并把积分下限固定为 $a$ 。由变参数公式，一个特解可写成

y_p(t) =-y_1(t)\int_a^t \frac{y_2(s)g(s)}{W(s)}\,ds +y_2(t)\int_a^t \frac{y_1(s)g(s)}{W(s)}\,ds.

把两个积分合并：

y_p(t)=\int_a^t \frac{y_1(s)y_2(t)-y_2(s)y_1(t)}{W(s)}g(s)\,ds.

令

G(t,s)= \frac{y_1(s)y_2(t)-y_2(s)y_1(t)}{W(s)} \qquad (a\le s\le t),

就得到

y_p(t)=\int_a^t G(t,s)g(s)\,ds.

这就是 Green 函数直觉的入口。 $G(t,s)$ 可以理解为：在时刻 $s$ 给系统一个很小的输入，它到时刻 $t$ 留下多少响应。整个特解就是把所有时刻的小输入响应加起来。

Green 函数直觉示意图，左侧输入脉冲，中间单次响应，右侧叠加形成特解 — 从变参数公式到连续叠加。Green 函数把输入拆成许多小段，每一段都产生后续响应，最后连续叠加成特解。

如果方程系数不随时间变，系统对“晚来一秒的同样输入”只会晚一秒响应。这时 $G(t,s)$ 常常只依赖差 $t-s$ ，可写成脉冲响应 $h(t-s)$ ，于是

y_p(t)=\int_0^t h(t-s)g(s)\,ds.

这就是卷积思想。下一章学习 Laplace 变换时，卷积会再次出现，而且会和初值问题、阶跃输入、冲击输入自然连在一起。

下面的交互只做一件事：把输入拆成脉冲，看每个脉冲留下的回声怎样叠加成输出。

方法选择与常见误区

变参数法很通用，但不是每道非齐次线性方程都应优先用它。选择方法时，可以先问几个问题。

常微分方程非齐次特解方法选择流程图，区分待定系数、变参数法、数值方法和 Laplace 变换 — 根据输入形式、基本解组、近似需求和初值开关输入选择非齐次特解构造方法。

若方程是常系数，右端又是多项式、指数、正弦余弦的组合，待定系数法通常更短。若右端复杂，但齐次基本解组已知，变参数法更稳。若初值和开关输入、脉冲输入混在一起，Laplace 变换往往更自然。若齐次方程也解不出来，或数据输入只需要近似响应，数值方法可能更实际。

不先标准化

方程

2y''+3y'+y=\sin x

不能直接把 $g(x)$ 当成 $\sin x$ 套入公式。标准形式是

y''+\frac{3}{2}y'+\frac{1}{2}y=\frac{1}{2}\sin x.

公式里的右端应是 $\frac12\sin x$ 。

忘记检查基本解组

如果选了 $y_1=e^x$ 、 $y_2=2e^x$ ，它们虽然都是同一个齐次方程的解，但线性相关。Wronskian 恒为，不能构成二阶方程的基本解组。

把 $u_1,u_2$ 当成任意常数

变参数法真正要求的是 $u_1',u_2'$ 满足线性方程组。若只写 $y_p=u_1y_1+u_2y_2$ ，却没有让随输入变化，就只是又写了一遍齐次解。

以为积分必须初等化

有些题的积分不能写成初等函数。此时变参数法并没有失败。保留定积分表达式，或者把它交给数值积分，仍然可以得到有效的特解。

最危险的错误是把公式当作孤立记忆：没标准化、没确认基本解组、没检查 Wronskian、没注意区间。变参数法的公式很短，但它依赖的前提一个都不能省。

练习

练习一：用变参数法求

y''+y=\sec x

在 $\cos x\ne0$ 的区间上的通解。

齐次基本解组为 $y_1=\cos x$ 、 $y_2=\sin x$ ，Wronskian 为 $W=1$ ，右端。

练习二：判断下面说法是否正确：只要 $y_1,y_2$ 都是齐次方程的解，就可以直接用变参数公式。

不正确。还需要 $y_1,y_2$ 在所讨论区间上构成基本解组，也就是线性无关，Wronskian 不为 $0$ 。如果 $y_2$ 只是的常数倍，二者不能提供两个独立方向，公式中的分母也会出问题。

练习三：方程

x^2y''-2xy'+2y=x^3,\qquad x>0

已知齐次方程的基本解组为 $y_1=x$ 、 $y_2=x^2$ 。用变参数法求一个特解。

先标准化。因为 $x>0$ ，可除以 $x^2$ ：

y''-\frac{2}{x}y'+\frac{2}{x^2}y=x.

练习四：把变参数公式写成 Green 函数形式时，为什么积分上限常写成 $t$ ，而不是固定常数？

若把 $s$ 看成输入发生的时刻，时刻 $t$ 的响应只能由 $a\le s\le t$ 的输入贡献。未来的输入还没有发生，不应影响当前输出。因此公式写成

y_p(t)=\int_a^t G(t,s)g(s)\,ds.

y_1,y_2

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 12 章：变参数法与解的构造思想 | 自在学