Laplace 变换 II：阶跃、冲击与分段输入

上一章里，输入项大多是多项式、指数、正弦和余弦。它们连续、光滑，适合用待定系数法，也适合直接查 Laplace 变换表。现实系统常常没有这么温顺：电路在某个时刻接通，阀门开一段时间后关闭，药物被一次性注入，弹簧被锤子短促敲击。输入突然变了，系统却要从已有状态继续运动。

本章处理这类“有时间事件”的输入。单位阶跃函数负责开关，Dirac delta 负责理想冲击，卷积把任意输入拆成许多小冲击的叠加。学完本章后，Laplace 变换不再只是把微分方程改写成代数方程；它会变成描述输入、系统和响应之间关系的语言。

单位阶跃函数和窗口函数在时间轴上作为开启与关闭开关的示意图

单位阶跃从 $a$ 起开启；窗口函数在 $a$ 到 $b$ 之间开启，随后关闭。

阶跃函数：把时间轴切开

单位阶跃函数记作 $u(t-a)$ ，也常叫 Heaviside 函数。它在 $t=a$ 之前为 $0$ ，在 $t=a$ 之后为 $1$ ：

u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\ 1, & t\ge a. \end{cases}

在 Laplace 变换中，单个点的取值不影响积分，所以 $t=a$ 处取 $0$ 、 $1$ 或 $\frac12$ 通常都不改变计算。本课默认使用右连续写法，也就是 $u(0)=1$ 。

阶跃函数的第一种用法是“开启”。例如 $5u(t-3)$ 表示 $t=3$ 之前输入为 $0$ ，从 $t=3$ 开始输入为 $5$ 。第二种用法是“关闭”。例如表示之前为，之后为。把两个阶跃相减，就得到一个只在有限时间内打开的窗口：

u(t-a)-u(t-b)= \begin{cases} 0, & t<a,\\ 1, & a\le t<b,\\ 0, & t\ge b, \end{cases} \qquad a<b.

这件事很简单，但非常有用。一个矩形脉冲、一次开关电压、一段时间内持续施加的外力，都可以先写成阶跃组合，再送进 Laplace 变换。

用跳变量写分段函数

如果分段函数每一段都是常数，最省力的写法是从第一段开始，每遇到一个断点，就加上“新值减旧值”的修正。

例如

g(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t<2,\\ 3, & 2\le t<5,\\ 0, & t\ge 5. \end{cases}

从 $1$ 开始。到 $t=2$ 时，函数从 $1$ 跳到 $3$ ，修正量是 $2$ ；到 $t=5$ 时，函数从 $3$ 跳到，修正量是。因此

g(t)=1+2u(t-2)-3u(t-5).

检验也直接：当 $2\le t<5$ 时，只有 $u(t-2)$ 打开，函数值是 $1+2=3$ ；当 $t\ge 5$ 时，两个阶跃都打开，函数值是。

阶跃函数不是为了把图像写得更复杂，而是为了把“在某个时刻发生变化”写进一个统一公式。这个统一公式可以直接进入 Laplace 变换，不必在每个时间区间重新解一次微分方程。

下面的交互可以调节两个断点和三个电平，观察分段图像如何同步变成阶跃表示。

平移定理的关键细节

阶跃函数进入 Laplace 变换后，最重要的公式是第二平移定理。设

F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}.

若 $a>0$ ，则

\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s).

反过来，

\mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\}=u(t-a)f(t-a).

这条公式说的是：如果一个信号在 $t=a$ 才打开，并且打开后从 $f(0)$ 的形状重新开始，那么它的 Laplace 变换就是原来的 $F(s)$ 乘上延迟因子 $e^{-as}$ 。

公式从定义可以直接看出来：

\begin{aligned} \mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} &=\int_0^\infty e^{-st}u(t-a)f(t-a)\,dt\\ &=\int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\,dt. \end{aligned}

令 $r=t-a$ ，则

\int_a^\infty e^{-st}f(t-a)\,dt =\int_0^\infty e^{-s(r+a)}f(r)\,dr =e^{-as}F(s).

对比 u(t-a)f(t-a) 延迟后重新开始与 u(t-a)f(t) 截断原函数的中文教学图

平移定理中应先改变量再乘阶跃： $u(t-a)f(t-a)$ 从 $f(0)$ 重新展开，而 $u(t-a)f(t)$ 接上原函数在的高度。

公式要求阶跃后面的函数写成 $f(t-a)$ ，不是任意的 $f(t)$ 。看到 $u(t-a)t^2$ 时，不能直接写成；必须先把改写成。

一个必须改变量的例子

求

\mathcal{L}\{u(t-3)t^2\}.

要使用平移定理，先把 $t^2$ 写成关于 $t-3$ 的表达式：

t^2=(t-3+3)^2=(t-3)^2+6(t-3)+9.

于是

u(t-3)t^2 =u(t-3)\left((t-3)^2+6(t-3)+9\right).

现在阶跃后的函数已经是 $f(t-3)$ 的形式，其中

f(t)=t^2+6t+9.

所以

\mathcal{L}\{u(t-3)t^2\} =e^{-3s}\left(\frac{2}{s^3}+\frac{6}{s^2}+\frac{9}{s}\right).

如果输入本来就是 $u(t-3)(t-3)^2$ ，那才可以直接得到

\mathcal{L}\{u(t-3)(t-3)^2\}=e^{-3s}\frac{2}{s^3}.

分段输入的 Laplace 解法

处理分段输入时，建议先做两件事。第一，画出断点，确认每个断点前后输入发生了什么变化。第二，把输入写成阶跃组合，且每个阶跃后的表达式都改成关于 $t-a$ 的形式。

分段输入写成阶跃组合的中文流程图，展示断点、基础段、跳变修正和 Laplace 变换示例

把分段输入写成阶跃组合：找断点，写基础段，每次跳变加修正，再做 Laplace 变换。

开关输入的一阶系统

考虑初值问题

y'+2y=g(t),\qquad y(0)=0,

其中输入从 $t=1$ 打开，到 $t=4$ 关闭：

g(t)= \begin{cases} 0, & 0\le t<1,\\ 3, & 1\le t<4,\\ 0, & t\ge 4. \end{cases}

这个输入可以写成

g(t)=3u(t-1)-3u(t-4).

现在求解。

对方程两边取 Laplace 变换，并使用 $y(0)=0$ 。若 $Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}$ ，则左边变为 $(s +$ 。

这条解的含义很清楚： $t=1$ 后系统开始向稳态 $3/2$ 上升； $t=4$ 后输入被关闭，解中减去一个从 $t=4$ 开始的同形响应，系统逐渐回到 $0$ 。

当分段表达式不是常数

如果分段函数的后半段含 $t$ ，也先写成修正量，再改变量。例如

q(t)= \begin{cases} t, & 0\le t<2,\\ 5, & t\ge 2. \end{cases}

从基础段 $t$ 开始。到 $t=2$ 后，新表达式是 $5$ ，旧表达式是 $t$ ，所以

q(t)=t+(5-t)u(t-2).

但 $5-t$ 还不是关于 $t-2$ 的表达式。把 $t=(t-2)+2$ 代入：

5-t=5-((t-2)+2)=3-(t-2).

因此

q(t)=t+\left(3-(t-2)\right)u(t-2).

现在才能直接变换：

Q(s)=\frac{1}{s^2}+e^{-2s}\left(\frac{3}{s}-\frac{1}{s^2}\right).

分段函数写成阶跃组合后，还不能立刻机械套公式。每个 $u(t-a)$ 后面的表达式都要检查：它是否已经写成关于 $t-a$ 的函数？这一步漏掉，延迟因子通常会对，但延迟后的形状会错。

冲击输入与 Dirac delta

阶跃函数描述的是突然打开或关闭。还有一种输入更短促：它只持续极短时间，但总作用量不小。锤子敲弹簧、球拍击球、瞬时电压脉冲、一次快速注射，都可以用“冲击”来近似。

Dirac delta 记作 $\delta(t-a)$ 。它不是普通函数，而是一种理想化对象。对本课来说，掌握它的积分性质就够了：

\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\delta(t-a)\,dt=1, \qquad \varepsilon>0,

并且对足够好的测试函数 $\phi(t)$ ，

\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}\phi(t)\delta(t-a)\,dt=\phi(a).

这第二条叫取样性质。delta 不关心 $\phi(t)$ 在整个区间上的形状，只取出 $t=a$ 处的值。

三幅矩形脉冲宽度逐渐变窄、高度逐渐变高，面积保持为 1，极限表示为 δ(t-a)。

冲击看面积，不看瞬时高度。

把取样性质用到 Laplace 变换定义中，可以得到

\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} =\int_0^\infty e^{-st}\delta(t-a)\,dt =e^{-as}, \qquad a>0.

特别地，

\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1

在工程直觉中， $\delta(t-a)$ 是一个面积为 $1$ 、集中在 $t=a$ 的单位冲击。如果前面乘上常数 $I$ ，那么 $I\delta(t-a)$ 的冲击量就是。

冲击怎样改变系统状态

看二阶机械模型

my''+cy'+ky=I\delta(t-a).

在 $a-\varepsilon$ 到 $a+\varepsilon$ 上积分：

\int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon} \left(my''+cy'+ky\right)\,dt = \int_{a-\varepsilon}^{a+\varepsilon}I\delta(t-a)\,dt.

右边等于 $I$ 。左边第一项是

m\left(y'(a+\varepsilon)-y'(a-\varepsilon)\right).

若位移 $y$ 在冲击瞬间没有跳变，另外两项在 $\varepsilon\to 0$ 时趋于 $0$ ，于是得到

m\left(y'(a^+)-y'(a^-)\right)=I.

也就是说，冲击通常让速度瞬间跳变，而位移保持连续。这个结论比“delta 在某一点无限大”更可靠，也更接近物理含义。

delta 的系数有单位。若右边是力， $I\delta(t-a)$ 中的 $I$ 是冲量；若右边是输入速率， $I$ 是一次性加入的总量。不要只看公式形状，忘记面积代表真实作用量。

冲击响应：系统自己的回声

设线性常系数系统从静止开始：

P(D)y=f(t),\qquad y(0)=y'(0)=\cdots=0.

如果输入是单位冲击 $\delta(t)$ ，输出称为单位冲击响应，记作 $h(t)$ ：

P(D)h=\delta(t).

在 Laplace 域里，零初始条件让微分算子变成多项式 $P(s)$ ，而 $\mathcal{L}\{\delta(t)\}=1$ ，所以

P(s)H(s)=1, \qquad H(s)=\frac{1}{P(s)}.

小锤敲击弹簧-质量-阻尼器产生冲击输入 δ(t)，右侧显示衰减振荡的冲击响应 h(t)。

冲击输入 $\delta(t)$ 后，系统按自身动力学产生自由衰减振荡响应 $h(t)$ 。

一个二阶冲击响应

求系统

y''+2y'+5y=\delta(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0

的冲击响应。

取 Laplace 变换。零初始条件下，

(s^2+2s+5)Y(s)=1.

如果输入不是 $\delta(t)$ ，而是延迟到 $t=3$ 的 $4\delta(t-3)$ ，那么

Y(s)=4e^{-3s}H(s).

逆变换给出

y(t)=2u(t-3)e^{-(t-3)}\sin(2(t-3)).

这说明延迟冲击不会改变系统自身的响应形状，只是把响应推迟到冲击发生后，并按冲击量放大。

冲击响应是理解线性系统的钥匙。知道 $h(t)$ 后，系统对复杂输入的响应可以看成许多延迟冲击响应的叠加。

卷积：把任意输入拆成小冲击

若系统从静止开始，冲击响应为 $h(t)$ ，输入为 $f(t)$ ，那么输出可以写成卷积：

y(t)=(h*f)(t)=\int_0^t h(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.

这个积分的读法是：过去时刻 $\tau$ 的输入 $f(\tau)$ 会激发一个从 $\tau$ 开始的响应；到了当前时刻 $t$ ，这份响应已经走过 $t-\tau$ 的时间，所以权重是 $h(t-\tau)$ 。把所有过去输入的贡献加起来，就是当前输出。

卷积定理把这件事变得很短：

\mathcal{L}\{h*f\}=H(s)F(s).

因此，时域里的卷积在 $s$ 域里只是乘法。反过来，如果在求逆变换时看到两个变换的乘积，也可以把它理解成两个时间函数的卷积。

一阶系统的卷积公式

考虑

y'+2y=f(t),\qquad y(0)=0.

零初始条件下

(s+2)Y(s)=F(s), \qquad Y(s)=\frac{1}{s+2}F(s).

所以

H(s)=\frac{1}{s+2}, \qquad h(t)=e^{-2t}.

系统对任意输入 $f(t)$ 的响应是

y(t)=\int_0^t e^{-2(t-\tau)}f(\tau)\,d\tau.

若 $f(t)=u(t-1)$ ，积分从 $\tau=1$ 才开始有贡献：

y(t)=u(t-1)\int_1^t e^{-2(t-\tau)}\,d\tau =\frac12u(t-1)\left(1-e^{-2(t-1)}\right).

这正是前面阶跃输入例题中的上升响应。卷积不是另一套独立技巧，它是在解释同一个 Laplace 结果。

传递函数入口

对零初始条件的线性常系数系统

P(D)y=f(t),

取 Laplace 变换得到

P(s)Y(s)=F(s).

如果 $F(s)\ne 0$ ，输入和输出的比值是

H(s)=\frac{Y(s)}{F(s)}=\frac{1}{P(s)}.

这个 $H(s)$ 称为传递函数，也就是冲击响应 $h(t)$ 的 Laplace 变换。它把系统本身从具体输入中分离出来：换一个输入，只需换 $F(s)$ ；系统的部分仍由同一个 $H(s)$ 描述。

传递函数图示：时域中输入 f(t)、系统 h(t)、输出 y(t) 通过卷积对应，s 域中 F(s) 乘以 H(s) 等于 Y(s)。

传递函数 $H(s)$ 描述系统：时域卷积在 $s$ 域中转化为乘法。

在时域里，我们写

y(t)=h(t)*f(t).

在 $s$ 域里，我们写

Y(s)=H(s)F(s).

这两行表达的是同一件事。前者强调“过去输入逐渐累加”，后者强调“系统对输入的代数滤波”。后续学习线性系统、控制理论和频率响应时，传递函数会反复出现。

传递函数默认描述零初始条件下“输入到输出”的关系。如果初始条件不为零，完整解还要加上由初始状态产生的自然响应。不要把 $H(s)F(s)$ 误认为所有情况下的完整解。

综合例题：开关和冲击同时出现

求解

y''+3y'+2y =2u(t-1)-2u(t-3)+5\delta(t-4), \qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.

右边表示：从 $t=1$ 到 $t=3$ 有一个高度为 $2$ 的输入窗口， $t=4$ 又有一次冲击量为 $5$ 的瞬时作用。

零初始条件下，左边变成

(s^2+3s+2)Y(s)=(s+1)(s+2)Y(s).

这个解把三种作用分得很清楚：第一个延迟阶跃让系统上升，第二个延迟阶跃把窗口关闭，最后的冲击激发出一个从 $t=4$ 开始的自由响应。

常见误区与练习

本章最容易出错的地方，不在微分方程本身，而在输入函数进入 Laplace 变换之前的整理。

不要把 $u(t-a)f(t)$ 自动变成 $e^{-as}F(s)$ 。只有当阶跃后面是 $f(t-a)$ 时，才能直接套第二平移定理。若后面是，先改写成关于的表达式。

还要记住三个小检查。第一，分段函数的断点处取值通常不影响 Laplace 变换，但会影响你画图和解释模型时的约定。第二，delta 不是普通函数，不要讨论它在冲击点的“函数值”；讨论面积和取样性质。第三，传递函数描述零初始条件下的输入输出关系，非零初值会额外带来自然响应。

练习一

把下面的分段函数写成阶跃函数组合：

g(t)= \begin{cases} 2, & 0\le t<1,\\ -1, & 1\le t<4,\\ 3, & t\ge 4. \end{cases}

从基础值 $2$ 开始。 $t=1$ 时从 $2$ 跳到 $-1$ ，修正量是 $-3$ ； $t=4$ 时从跳到，修正量是。所以

练习二

求

\mathcal{L}\{u(t-2)t\}.

先把 $t$ 写成 $(t-2)+2$ ：

u(t-2)t=u(t-2)\left((t-2)+2\right).

练习三

求逆变换：

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{e^{-5s}}{s+1}\right\}.

先看不含延迟因子的部分：

\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s+1}\right\}=e^{-t}.

练习四

解初值问题

y'+3y=2u(t-1),\qquad y(0)=0.

取 Laplace 变换：

(s+3)Y(s)=\frac{2e^{-s}}{s}.

所以

Y (

练习五

系统

y''+4y=\delta(t-\pi),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0

的解是什么？

取 Laplace 变换：

(s^2+4)Y(s)=e^{-\pi s}.

所以

Y(s)=e^{-\pi s}\frac{1}{s^2+4}.

本章收束

阶跃函数让输入在指定时刻打开或关闭，第二平移定理把这种时间延迟变成 $e^{-as}$ 。Dirac delta 把极短作用抽象成面积固定的冲击，它的 Laplace 变换正好也是延迟因子。冲击响应 $h(t)$ 描述系统被单位冲击敲一下后如何自己运动；卷积把任意输入看成连续许多小冲击的叠加。

下一步进入幂级数解法时，我们会暂时离开 Laplace 变换。但这里形成的系统观点会继续留下来：输入、系统、输出之间的关系，往往比某一个具体公式更重要。

1 - u (t - 4)

1-u(t-4)

e^{-as}\mathcal{L}\{t^2\}

2

)

Y

(

s

)

(s+2)Y(s)

- 1

-1

s

)

=

2

e^{- s}

\frac{1}{s (s + 3)}

.

Y(s)=2e^{-s}\frac{1}{s(s+3)}.

常微分方程 I：一阶方程、线性系统与建模｜第 14 章：Laplace 变换 II：阶跃、冲击与分段输入 | 自在学