非齐次方程、待定系数法与共振

上一章我们主要研究自由系统：没有外部输入时，二阶常系数线性方程的根决定了解的形状。现在把外部输入放回来。一个弹簧受到周期性拉力，一个电路接上交流电源，一个结构被风周期性推动，它们都不只按自己的方式运动，还会被输入持续“喂”进新的变化。

本章研究的标准对象是

a y'' + b y' + c y = g(t), \qquad a \ne 0

左边是系统本身，右边的 $g(t)$ 是外部输入。线性方程最有用的一点是：总响应可以拆成两部分，

y(t)=y_h(t)+y_p(t)

其中 $y_h$ 解齐次方程 $a y''+b y'+c y=0$ ，是原非齐次方程的一个特解。待定系数法就是在常系数方程中快速构造的方法；共振则是当输入频率踩中系统自然频率时，响应会被放大的现象。

外部输入进入线性系统后分解为暂态响应和受迫响应的示意图 — 非齐次线性方程把“系统自己的运动”和“外部输入造成的运动”放在同一个响应里。

本章的主线不是背一张试探解表，而是理解输入、系统和响应之间的关系。待定系数法负责算出受迫响应；齐次解负责保留初始状态的影响；共振说明某些输入会被系统特别敏感地放大。

非齐次方程的结构

把微分方程写成算子形式会更清楚。记

L[y]=a y''+b y'+c y

那么非齐次方程就是

L[y]=g(t)

如果 $y_p$ 是其中一个特解，即 $L[y_p]=g(t)$ ，而 $y_h$ 是齐次方程的任意解，即，那么

L[y_h+y_p]=L[y_h]+L[y_p]=g(t)

所以 $y_h+y_p$ 仍然是原方程的解。反过来，如果 $y_1$ 和 $y_2$ 都解同一个非齐次方程，那么它们的差满足

L[y_1-y_2]=0

这说明所有非齐次解之间只差一个齐次解。因此，求非齐次方程的通解可以分成两步：先求齐次通解，再找一个特解。

暂态响应与稳态响应

在很多稳定系统中，齐次解会随时间衰减。例如阻尼振动的齐次部分常含有 $e^{-\alpha t}$ ，时间久了会接近 $0$ 。这一部分叫暂态响应，因为它反映初始状态，通常只在一段时间内明显。

非齐次项造成的特解常叫受迫响应。若输入是周期性的，而且系统有阻尼，特解通常会留下一个长期存在的周期运动，这部分也常叫稳态响应。

例如

y''+2y'+5y=10\cos t

的齐次解会衰减，而由 $10\cos t$ 造成的周期特解会长期保留。初始条件决定开始时怎么振，外部输入决定长期跟着什么节奏振。

求解时不要急着把初始条件代进去。先写出 $y=y_h+y_p$ ，再用初始条件确定齐次部分中的常数。这样才能把“输入造成的形状”和“初始状态造成的调整”分清。

待定系数法能处理哪些输入

待定系数法适合常系数线性方程，并且右端 $g(t)$ 的形式要足够“稳定”：反复求导以后，仍然只在有限几个同类函数之间来回变化。

常见可处理的输入包括：

多项式，例如 $3t^2-2t+1$
指数函数，例如 $5e^{2t}$
正弦余弦，例如 $4\cos 3t-7\sin 3t$

这背后的原因很朴素。微分算子会把这些函数送回同一个小空间里。只要我们把这个小空间里的函数都放进试探式，代回方程后就能通过比较系数求出未知常数。

待定系数法中根据输入形式选择试探特解的中文表格 — 待定系数法先判断输入所属的函数族，再写出包含足够自由度的试探特解。

下面是常用试探式的文字版。若右端是 $P_n(t)$ ，也就是次数为 $n$ 的多项式，试探式取同次数多项式：

y_p=A_n t^n+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots + A_1 t + A_0

若右端是 $e^{\lambda t}P_n(t)$ ，试探式取

y_p=e^{\lambda t}\left(A_n t^n+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots + A_0\right)

若右端是 $M\cos \omega t+N\sin \omega t$ ，试探式要同时放入正弦和余弦：

y_p=A\cos \omega t+B\sin \omega t

哪怕右端只有 $\cos \omega t$ ，也通常要把 $\sin \omega t$ 一起放进去，因为求导会让正弦和余弦互相转换。

待定系数法不是通用求解器。右端若是 $\ln t$ 、 $\tan t$ 、任意分段函数，或者方程左边不是常系数形式，通常不能直接套这套试探式。下一章的变参数法会处理更一般的输入。

一套稳定的操作流程

待定系数法最容易出错的地方不是代数计算，而是试探式写早了、写少了，或者忘记检查它是否已经出现在齐次解里。下面这套流程可以减少这类错误。

先把方程整理成常系数线性形式，并确认右端 $g(t)$ 属于多项式、指数、正弦余弦或它们的有限组合。如果输入不在这些族里，就不要硬套待定系数法。

求齐次方程 $L[y]=0$ 的通解。这一步必须先做，因为后面要检查试探式是否与齐次解重复。

为什么重复时要乘以 t

假设齐次解里已经有 $e^t$ 。如果右端也是 $e^t$ ，我们自然会先试

y_p=Ae^t

但这不可能成功，因为 $Ae^t$ 已经是齐次解的一部分，代入左边后一定得到 $0$ ，无法产生右端的 $e^t$ 。这时要把试探式移出齐次解空间，改为

y_p=Ate^t

若齐次解中 $e^t$ 是重根对应的两项 $e^t$ 和 $t e^t$ ，那还要继续乘一次 $t$ ，改用 $A t^2 e^t$ 。

试探特解与齐次解重合时乘以 t 使其独立的示意图 — 乘以 $t$ 不是形式补丁，而是把试探项从齐次解已经占据的方向中移出来。

最常见的错误是直接把 $Ae^t$ 代入，然后得到 $0=e^t$ ，于是以为方程无解。线性非齐次方程并没有无解；出错的是试探式落进了齐次解空间。

例题：多项式输入

求方程

y''-3y'+2y=4t+1

的通解。

先解齐次方程。特征方程是

r^2-3r+2=0

因而 $r=1,2$ ，所以

这个例题看起来简单，但它说明了待定系数法的基本节奏：先让齐次解占好位置，再为输入找一个刚好够用的特解形状。

例题：指数输入与重合

再看一个更容易犯错的方程：

y''-3y'+2y=e^t

齐次解仍然是

y_h=C_1e^t+C_2e^{2t}

右端是 $e^t$ ，初始试探式似乎应该是 $Ae^t$ 。但 $e^t$ 已经在齐次解中，所以必须乘以 $t$ ：

y_p=Ate^t

计算时有

y_p'=A(1+t)e^t

y_p''=A(2+t)e^t

代回原算子：

y_p''-3y_p'+2y_p=-Ae^t

要让它等于 $e^t$ ，必须取 $A=-1$ 。因此

y_p=-te^t

通解是

y=C_1e^t+C_2e^{2t}-te^t

这里的 $-te^t$ 是一个特解，不是齐次解的一部分。它虽然含有 $e^t$ ，但多出来的 $t$ 让它经过微分算子后留下了右端所需的 $e^t$ 。

正弦余弦输入要成对处理

考虑

y''+2y'+5y=6\cos t

如果只设 $y_p=A\cos t$ ，代入时 $2y'$ 会产生 $\sin t$ 项，左边无法只靠一个 $A$ 同时控制余弦项和正弦项。因此应设

y_p=A\cos t+B\sin t

代入得到

y_p''+2y_p'+5y_p=(4A+2B)\cos t+(4B-2A)\sin t

比较系数：

4A+2B=6,\qquad 4B-2A=0

解得

A=\frac{6}{5},\qquad B=\frac{3}{5}

所以一个特解是

y_p=\frac{6}{5}\cos t+\frac{3}{5}\sin t

右端虽然只有余弦，系统响应却带有正弦项。这在物理上对应相位滞后：输入的峰值和响应的峰值未必同时出现。

叠加输入可以分别求

线性方程允许把输入拆开。若

L[y]=g_1(t)+g_2(t)

并且 $L[y_{p1}]=g_1(t)$ ， $L[y_{p2}]=g_2(t)$ ，那么

L[y_{p1}+y_{p2}]=g_1(t)+g_2(t)

因此右端是多个简单输入之和时，可以分别求特解，再把它们相加。

多项式指数和正弦输入分别求特解后相加的线性叠加示意图 — 线性叠加让复杂输入变成几道较小的待定系数题。

例如

y''+y=e^t+3\cos 2t

可以分别找 $e^t$ 对应的特解和 $3\cos 2t$ 对应的特解。对 $e^t$ 设 $A e^t$ ，代入得

2A e^t=e^t

所以 $A=\frac12$ 。对 $3\cos 2t$ 设 $B\cos 2t+C\sin 2t$ ，代入后得到

-3B\cos 2t-3C\sin 2t=3\cos 2t

所以 $B=-1$ ， $C=0$ 。于是一个特解是

y_p=\frac12 e^t-\cos 2t

这一做法的前提是方程左边线性。若左边含有 $y^2$ 、 $yy'$ 或 $\sin y$ ，输入叠加通常不会变成响应叠加。

受迫振动模型

受迫振动是非齐次二阶方程最典型的模型。设 $x(t)$ 是质量块相对平衡位置的位移，质量为 $m$ ，阻尼系数为 $b$ ，弹簧常数为 $k$ ，外力为 $F(t)$ 。模型是

m x''+b x'+kx=F(t)

左边来自系统本身：质量带来惯性，阻尼带来速度反向的阻力，弹簧带来恢复力。右边是外部输入。

质量弹簧阻尼器受外力作用的受迫振动模型示意图 — 同一个二阶非齐次方程可以同时解释机械振动、电路响应和许多工程系统。

若外力是周期性的，例如

F(t)=F_0\cos \omega t

就可以用

x_p=A\cos \omega t+B\sin \omega t

求稳态响应。阻尼不为零时，齐次部分通常会衰减，长期运动主要由这个周期特解决定。

电路中也有同样的结构。串联 RLC 电路若以电荷 $q(t)$ 为未知量，可以写成

Lq''+Rq'+\frac{1}{C}q=E(t)

其中电感 $L$ 类似质量，电阻 $R$ 类似阻尼，电容项类似弹簧恢复力，电源 $E(t)$ 是输入。形式相同，所以同一套非齐次方程方法能在不同模型中重复使用。

共振从哪里来

先看最理想的无阻尼模型：

x''+\omega_0^2x=F_0\cos \omega t

这里 $\omega_0$ 是系统的自然角频率。如果 $\omega\ne \omega_0$ ，试探

x_p=A\cos \omega t

可以得到

x_p=\frac{F_0}{\omega_0^2-\omega^2}\cos \omega t

当 $\omega$ 接近 $\omega_0$ 时，分母变小，振幅会变大。若正好 $\omega=\omega_0$ ，这个公式不能用，因为试探项与齐次解中的 $\cos\omega_0 t$ 重合。此时要乘以，可以取

x_p=\frac{F_0}{2\omega_0}t\sin \omega_0 t

它的振荡包络随时间线性增大。这就是理想无阻尼共振的数学表达。

无阻尼共振中振荡包络随时间增大的曲线图 — 纯共振不是瞬间爆炸，而是在持续同频输入下不断积累振幅。

共振有两个层面的含义。代数上，它表现为试探项与齐次解重合，需要乘以 $t$ 。物理上，它表示外力每个周期都在合适的时刻给系统补能，能量逐步积累。

阻尼下的实际共振

现实系统通常有阻尼：

m x''+b x'+kx=F_0\cos\omega t

这时长期稳态响应的振幅可以写成

A(\omega)=\frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(b\omega)^2}}

这个公式说明两件事。第一，外力频率接近系统自然频率附近时，响应仍然可能明显变大。第二，只要 $b>0$ ，分母不会变成 $0$ ，振幅不会无限增长。阻尼越大，共振峰越低，也越不尖锐。

不同阻尼下稳态振幅随外力频率变化的共振峰图 — 阻尼把理想共振中的无限增长改造成有限的频率响应峰。

在建模中，“共振”不一定意味着系统立刻损坏。它更准确地说是系统对某些频率的输入特别敏感。工程上会通过增加阻尼、避开工作频率、改变结构参数等方式，把共振峰移开或压低。

常见误区

误区一：把特解中的待定系数写成 $C_1$ 、 $C_2$ 。齐次解里的常数是由初始条件决定的自由常数；特解里的 $A$ 、 $B$ 、 $D$ 是代入方程后被固定的系数。两类常数不要混用。

误区二：右端只有余弦，就只设余弦。含有 $y'$ 项时，余弦求导会产生正弦；即使没有 $y'$ 项，为了形成稳定流程，也应先考虑正弦余弦成对出现，再由系数比较决定某一项是否为零。

误区三：先代初始条件，再找特解。初始条件属于总解 $y_h+y_p$ ，不是只属于齐次解。过早代入会把输入造成的特解漏掉。

误区四：看到共振就认为“解不存在”。共振时解仍然存在，只是普通试探式和齐次解重复，需要乘以 $t$ ；在无阻尼同频输入下，解的振幅会随时间增长。

小结

本章把二阶常系数方程从自由运动推进到受迫运动。非齐次方程的通解结构是

y=y_h+y_p

齐次部分保存系统本身的模式和初始条件影响，特解描述外部输入造成的响应。待定系数法适用于常系数方程和若干稳定的输入函数族。它的关键动作是：根据输入选试探式，检查是否与齐次解重合，必要时乘以 $t$ ，再代入比较系数。

共振把这个代数规则和物理直觉连起来。当输入频率与系统自然频率重合时，普通试探项落入齐次解空间；在无阻尼模型中，修正后的特解带有 $t$ 因子，振幅会随时间增长。加入阻尼后，长期响应变成有限的频率响应峰。

练习

练习 1：求方程

y''+3y'+2y=5

的通解。

齐次方程的特征方程是

r^2+3r+2=0

所以

y_h=C_1e^{-t}+C_2e^{-2t}

练习 2：对方程

y''-y=e^t

写出合适的试探特解形式，并说明理由。

齐次方程的特征根是 $r=1,-1$ ，所以 $e^t$ 已经出现在齐次解中。普通试探式 $Ae^t$ 会失败，应乘以 $t$ ，取

练习 3：求方程

y''+y=4\sin 2t

的一个特解。

右端是正弦输入，设

y_p=A\cos 2t+B\sin 2t

代入 $y''+y$ 得

练习 4：无阻尼方程

x''+9x=6\cos 3t

为什么不能设 $x_p=A\cos 3t$ ？合适的试探式是什么？

齐次解是

x_h=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t

y_h

y_p=Ate^t

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