多变量极限与连续

上一章我们已经会读二元函数的图像、等值线和定义域。本章要处理一个更细的问题：当点 $(x,y)$ 靠近某个点 $(a,b)$ 时， $f(x,y)$ 会不会靠近同一个数？

单变量极限只需要从左、右两侧靠近。多变量极限不同，靠近 $(a,b)$ 的路线有无穷多条：直线、抛物线、螺旋式曲线，甚至一边摆动一边靠近。正因为路线太多，多变量极限的核心不是“算某一条路”，而是判断所有靠近方式是否给出同一个结果。

二维邻域中的多变量极限示意图，左侧为点 (a,b) 周围缩小的圆盘邻域和多条靠近路径，右侧为函数值进入 L 附近窄带。

多变量极限把输入点限制在目标点附近的小圆盘内，而不是只限制在一条数轴区间内。

从单变量到多变量的极限

设 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 附近有定义，但可以不在 $(a,b)$ 本身有定义。如果当 $(x,y)$ 从定义域内任意方式靠近 $(a,b)$ 时， $f(x,y)$ 都靠近同一个数 $L$ ，就写作

\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L

稍微正式一点说，对任意 $\varepsilon>0$ ，都能找到 $\delta>0$ ，使得只要 $(x,y)$ 在定义域中，且满足

0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta

就有

|f(x,y)-L|<\varepsilon

这里的 $0<$ 排除了目标点本身。极限问的是“靠近时怎样”，不是“点上取什么值”。这也是为什么一个函数在某点没有定义，极限仍然可能存在。

多变量极限中的 $\delta$ 对应的是一个小圆盘。在三变量函数中，它对应的是小球。若 $(a,b)$ 是定义域边界点，只需要考虑小圆盘里同时属于定义域的点。

一个最简单的情况是连续公式的直接代入。例如

f(x,y)=x^2y+\cos(x-y)

是由多项式和余弦函数复合得到的，在整个平面上连续。因此

\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y+\cos(x-y)\right) =1^2\cdot 2+\cos(-1) =2+\cos 1

这类题看起来像“代数计算”，背后用的是连续性。真正需要小心的，是分母趋近于 $0$ 、定义域边界、分段定义、绝对值或带有振荡的函数。

路径依赖：不存在的最常见证据

要证明一个多变量极限不存在，最常用的方法是找两条靠近同一点的路径，使函数值趋向不同结果。因为极限若存在，所有路径都必须给出同一个 $L$ 。

xy 平面中两条不同路径 y=x 与 y=-x 接近原点，显示函数沿不同路径趋向不同值。

沿不同路径靠近同一点，若函数值趋向不同数，极限不存在。

看函数

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}

研究 $(x,y)\to(0,0)$ 时的极限。沿 $x$ 轴靠近，即 $y=0$ ，

f(x,0)=0

沿直线 $y=x$ 靠近，

f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}

两条路径都趋向原点，但函数值分别趋向 $0$ 和 $\frac12$ 。因此

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}

不存在。

先选择第一条容易计算的路径。这里取 $y=0$ ，因为分子立刻变成 $0$ ，得到沿这条路径的趋向值为 $0$ 。

再选择另一条也经过原点的路径。取 $y=x$ 后，分子和分母都是 $x^2$ 的数量级，化简得到恒等于 $\frac12$ 。

最后比较两条路径的结果。一个是 $0$ ，一个是 $\frac12$ ，同一个极限不可能同时等于两个不同的数，所以原极限不存在。

两条路径得到不同结果，可以证明极限不存在。反过来，几条路径得到相同结果，不能证明极限存在。路径检查是反证工具，不是存在性证明。

直线检查不够

很多初学者会先试 $y=mx$ 。这是好习惯，但不能停在那里。因为所有直线路径都通过，曲线路径仍然可能给出不同结果。

xy 平面原点附近多条 y=kx² 抛物线路径以不同颜色靠近原点，提示直线测试通过不等于极限存在。

直线只是无穷多路径中的一小类，抛物线、双曲线或更复杂曲线也可能改变极限行为。

考虑

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}

研究 $(x,y)\to(0,0)$ 。沿任意直线 $y=mx$ ，

f(x,mx) =\frac{x^2(mx)}{x^4+m^2x^2} =\frac{mx}{x^2+m^2}

当 $x\to0$ 时，上式趋向 $0$ 。如果只看直线，好像极限应该是 $0$ 。

但沿抛物线 $y=kx^2$ ，

f(x,kx^2) =\frac{x^2(kx^2)}{x^4+k^2x^4} =\frac{k}{1+k^2}

这个值随 $k$ 改变。例如 $k=1$ 时趋向 $\frac12$ ， $k=2$ 时趋向 $\frac25$ 。因此原极限不存在。

直线路径常用于快速发现问题，但它不能覆盖所有靠近方式。若直线检查都相同，下一步可以尝试让分子和分母的主要阶数匹配的曲线，例如 $y=kx^2$ 、 $x=ky^2$ 或 $y=kx^p$ 。

证明存在：把所有方向同时压住

证明极限存在时，不能靠列举路径。常用思路有三种：使用连续性直接代入，先做代数化简，或用估计把 $|f(x,y)-L|$ 夹在一个一定趋于 $0$ 的量下面。

极坐标网格中，多条方向射线被同一收缩半径边界控制，右侧显示 |f-L| ≤ C r 与 r→0。

极坐标把“靠近原点”写成 $r\to0$ ，但证明时必须保证角度 $\theta$ 不会让估计失控。

用夹逼估计证明

求

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}

注意

0\le \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1

所以

\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| =|y|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le |y|

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $|y|\to0$ 。由夹逼定理，

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0

这段证明的关键是最后得到的上界 $|y|$ 对所有路径都成立。无论路径怎样弯，只要它趋向原点， $|y|$ 就会趋向 $0$ 。

用极坐标检查角度

当目标点是原点时，可以令

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

此时 $(x,y)\to(0,0)$ 等价于 $r\to0$ 。例如

g(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}

换成极坐标：

g(r,\theta) =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^2} =r^2\cos^2\theta\sin^2\theta

因为 $0\le \cos^2\theta\sin^2\theta\le1$ ，所以

0\le g(r,\theta)\le r^2

于是 $r\to0$ 时 $g(r,\theta)\to0$ ，且这个结论不依赖某个固定角度。

极坐标证明的好形式是：化成 $r$ 的正幂乘上一个有界的角度因子。若剩下的角度因子无界，或者极坐标表达式不随 $r$ 消失，就要重新判断。

连续：极限和函数值要接上

函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 连续，需要同时满足三件事：

$f(a,b)$ 有定义；
$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ 存在；
极限值等于函数值，即

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)

三栏图展示连续、可去间断和极限不存在三种情形，并标出有定义、极限存在、二者相等三项检查。

连续不只要求图像附近有趋势，还要求点上的函数值正好接住这个趋势。

多项式函数在整个平面上连续。有理函数在分母不为 $0$ 的地方连续。由连续函数通过加、减、乘、除和复合得到的新函数，在各项都有意义且分母不为 $0$ 的地方连续。

例如

h(x,y)=\frac{\ln(4-x^2-y^2)}{1-xy}

它的连续区域由两个条件决定：

4-x^2-y^2>0

以及

1-xy\ne0

因此 $h$ 在圆盘 $x^2+y^2<4$ 内，去掉曲线 $xy=1$ 的部分上连续。

平滑标量场曲面与等高线并排展示连续变化，并用断崖式小区域对比跳变。

温度、高度、压力等标量场常被看作连续变化的函数；若模型里出现跳变，就要检查它是物理边界、理想化假设，还是公式拼接造成的。

“函数在附近有定义”不等于“在点上连续”。可去间断的典型特征是极限存在，但函数在该点没有定义，或函数值被故意设成了别的数。

例题：判断极限与连续性

例题：一个可去间断

判断

\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^2-y^2}{x-y}

是否存在。

先观察原式在 $x=y$ 上没有定义，特别是在 $(1,1)$ 处分母为 $0$ 。但这并不直接说明极限不存在，因为极限不要求目标点本身有定义。

在 $x\ne y$ 时因式分解： $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ ，所以原式可化为 $x+y$ 。

当 $(x,y)\to(1,1)$ 时， $x+y\to2$ 。因此原极限存在，值为 $2$ 。

如果把函数在 $(1,1)$ 处补定义为 $2$ ，它就在该点连续；如果补成别的数，极限仍是 $2$ ，但函数不连续。

例题：用路径证明不存在

判断

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}

是否存在。

沿 $x$ 轴，即 $y=0$ ，函数变成 $\frac{x^2}{x^2}=1$ 。

沿 $y$ 轴，即 $x=0$ ，函数变成 $\frac{-y^2}{y^2}=-1$ 。

两条路径都趋向原点，但函数值趋向不同结果，所以该极限不存在。

例题：用夹逼证明存在

证明

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0

先把绝对值写出： $\left|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right|=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ ，因为分子分母都非负。

利用 $x^2\le x^2+y^2$ ，得到 $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1$ ，所以 $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\le y^2$ 。

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $0\le \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\le y^2\to0$ 。

由夹逼定理，原极限为 $0$ 。

常见误区

把函数值当作极限

极限看的是靠近目标点时的趋势。函数在目标点可以没有定义，也可以被定义成一个和趋势不同的数。连续性才要求函数值和极限值相等。

只检查坐标轴

沿 $x$ 轴和 $y$ 轴结果相同，只说明两条特殊路径没有发现矛盾。很多反例正是沿坐标轴都给 $0$ ，沿 $y=x$ 或 $y=x^2$ 才暴露问题。

极坐标中忘记角度

把 $x,y$ 换成 $r,\theta$ 后，如果表达式仍然含有随 $\theta$ 任意变化的部分，就不能只说“ $r\to0$ 所以极限存在”。必须说明角度部分被统一控制。

看到分母为零就判不存在

分母在目标点为零，只说明函数在目标点可能没定义。经过因式分解、约分或其他化简后，极限仍可能存在。

练习

判断下列极限是否存在：

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+2y^2}

沿 $y=0$ 得到 $0$ 。沿 $y=x$ 得到

\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac13

两条路径结果不同，所以极限不存在。

证明下列极限：

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}=0

有

\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| =|x|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le |x|

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $|x|\to0$ 。由夹逼定理，原极限为 $0$ 。

判断函数

p(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0) \end{cases}

在原点是否连续。

当 $(x,y)\ne(0,0)$ 时，

p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

所以

\lim_{(x,y)\to(0,0)}p(x,y)=0

又因为 $p(0,0)=0$ ，极限值等于函数值，因此 $p$ 在原点连续。

q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0) \end{cases}

判断 $q$ 在原点是否连续。

沿 $y=0$ ，有 $q(x,0)=0$ 。沿 $y=x^2$ ，有

q(x,x^2) =\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4} =\frac12

极限不存在，所以 $q$ 在原点不连续。

找出函数

r(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x-y}

的连续区域。

平方根要求

9-x^2-y^2\ge0

分母要求

x-y\ne0

因此连续区域是闭圆盘 $x^2+y^2\le9$ 中去掉直线 $x=y$ 的部分。

小结

多变量极限的难点来自“所有路径”。证明不存在时，只需要找出两条路径给出不同趋向；证明存在时，要用连续性、代数化简、夹逼或极坐标估计覆盖所有靠近方式。连续性比极限多一步：函数值必须在目标点接住这个共同趋向。

下一章学习偏导数时，我们会再次“沿某些方向观察函数变化”。那时要记住本章的教训：沿坐标方向的信息很有用，但它不等于掌握了函数在整个邻域中的全部行为。

多变量极限与连续

上一章我们已经会读二元函数的图像、等值线和定义域。本章要处理一个更细的问题：当点 $(x,y)$ 靠近某个点 $(a,b)$ 时， $f(x,y)$ 会不会靠近同一个数？

二维邻域中的多变量极限示意图，左侧为点 (a,b) 周围缩小的圆盘邻域和多条靠近路径，右侧为函数值进入 L 附近窄带。

多变量极限把输入点限制在目标点附近的小圆盘内，而不是只限制在一条数轴区间内。

从单变量到多变量的极限

设 $f(x,y)$ 在 $(a,b)$ 附近有定义，但可以不在 $(a,b)$ 本身有定义。如果当 $(x,y)$ 从定义域内任意方式靠近 $(a,b)$ 时， $f(x,y)$ 都靠近同一个数 $L$ ，就写作

\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L

稍微正式一点说，对任意 $\varepsilon>0$ ，都能找到 $\delta>0$ ，使得只要 $(x,y)$ 在定义域中，且满足

0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta

就有

|f(x,y)-L|<\varepsilon

这里的 $0<$ 排除了目标点本身。极限问的是“靠近时怎样”，不是“点上取什么值”。这也是为什么一个函数在某点没有定义，极限仍然可能存在。

一个最简单的情况是连续公式的直接代入。例如

f(x,y)=x^2y+\cos(x-y)

是由多项式和余弦函数复合得到的，在整个平面上连续。因此

\lim_{(x,y)\to(1,2)}\left(x^2y+\cos(x-y)\right) =1^2\cdot 2+\cos(-1) =2+\cos 1

这类题看起来像“代数计算”，背后用的是连续性。真正需要小心的，是分母趋近于 $0$ 、定义域边界、分段定义、绝对值或带有振荡的函数。

路径依赖：不存在的最常见证据

xy 平面中两条不同路径 y=x 与 y=-x 接近原点，显示函数沿不同路径趋向不同值。

沿不同路径靠近同一点，若函数值趋向不同数，极限不存在。

看函数

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}

研究 $(x,y)\to(0,0)$ 时的极限。沿 $x$ 轴靠近，即 $y=0$ ，

f(x,0)=0

沿直线 $y=x$ 靠近，

f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}

两条路径都趋向原点，但函数值分别趋向 $0$ 和 $\frac12$ 。因此

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2}

不存在。

先选择第一条容易计算的路径。这里取 $y=0$ ，因为分子立刻变成 $0$ ，得到沿这条路径的趋向值为 $0$ 。

再选择另一条也经过原点的路径。取 $y=x$ 后，分子和分母都是 $x^2$ 的数量级，化简得到恒等于 $\frac12$ 。

最后比较两条路径的结果。一个是 $0$ ，一个是 $\frac12$ ，同一个极限不可能同时等于两个不同的数，所以原极限不存在。

两条路径得到不同结果，可以证明极限不存在。反过来，几条路径得到相同结果，不能证明极限存在。路径检查是反证工具，不是存在性证明。

直线检查不够

很多初学者会先试 $y=mx$ 。这是好习惯，但不能停在那里。因为所有直线路径都通过，曲线路径仍然可能给出不同结果。

xy 平面原点附近多条 y=kx² 抛物线路径以不同颜色靠近原点，提示直线测试通过不等于极限存在。

直线只是无穷多路径中的一小类，抛物线、双曲线或更复杂曲线也可能改变极限行为。

考虑

f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}

研究 $(x,y)\to(0,0)$ 。沿任意直线 $y=mx$ ，

f(x,mx) =\frac{x^2(mx)}{x^4+m^2x^2} =\frac{mx}{x^2+m^2}

当 $x\to0$ 时，上式趋向 $0$ 。如果只看直线，好像极限应该是 $0$ 。

但沿抛物线 $y=kx^2$ ，

f(x,kx^2) =\frac{x^2(kx^2)}{x^4+k^2x^4} =\frac{k}{1+k^2}

这个值随 $k$ 改变。例如 $k=1$ 时趋向 $\frac12$ ， $k=2$ 时趋向 $\frac25$ 。因此原极限不存在。

证明存在：把所有方向同时压住

证明极限存在时，不能靠列举路径。常用思路有三种：使用连续性直接代入，先做代数化简，或用估计把 $|f(x,y)-L|$ 夹在一个一定趋于 $0$ 的量下面。

极坐标网格中，多条方向射线被同一收缩半径边界控制，右侧显示 |f-L| ≤ C r 与 r→0。

极坐标把“靠近原点”写成 $r\to0$ ，但证明时必须保证角度 $\theta$ 不会让估计失控。

用夹逼估计证明

求

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}

注意

0\le \frac{x^2}{x^2+y^2}\le 1

所以

\left|\frac{x^2y}{x^2+y^2}\right| =|y|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le |y|

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $|y|\to0$ 。由夹逼定理，

\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0

这段证明的关键是最后得到的上界 $|y|$ 对所有路径都成立。无论路径怎样弯，只要它趋向原点， $|y|$ 就会趋向 $0$ 。

用极坐标检查角度

当目标点是原点时，可以令

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

此时 $(x,y)\to(0,0)$ 等价于 $r\to0$ 。例如

g(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}

换成极坐标：

g(r,\theta) =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^2} =r^2\cos^2\theta\sin^2\theta

因为 $0\le \cos^2\theta\sin^2\theta\le1$ ，所以

0\le g(r,\theta)\le r^2

于是 $r\to0$ 时 $g(r,\theta)\to0$ ，且这个结论不依赖某个固定角度。

极坐标证明的好形式是：化成 $r$ 的正幂乘上一个有界的角度因子。若剩下的角度因子无界，或者极坐标表达式不随 $r$ 消失，就要重新判断。

连续：极限和函数值要接上

函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 连续，需要同时满足三件事：

$f(a,b)$ 有定义；
$\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ 存在；
极限值等于函数值，即

\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)=f(a,b)

三栏图展示连续、可去间断和极限不存在三种情形，并标出有定义、极限存在、二者相等三项检查。

连续不只要求图像附近有趋势，还要求点上的函数值正好接住这个趋势。

例如

h(x,y)=\frac{\ln(4-x^2-y^2)}{1-xy}

它的连续区域由两个条件决定：

4-x^2-y^2>0

以及

1-xy\ne0

因此 $h$ 在圆盘 $x^2+y^2<4$ 内，去掉曲线 $xy=1$ 的部分上连续。

平滑标量场曲面与等高线并排展示连续变化，并用断崖式小区域对比跳变。

温度、高度、压力等标量场常被看作连续变化的函数；若模型里出现跳变，就要检查它是物理边界、理想化假设，还是公式拼接造成的。

“函数在附近有定义”不等于“在点上连续”。可去间断的典型特征是极限存在，但函数在该点没有定义，或函数值被故意设成了别的数。

例题：判断极限与连续性

例题：一个可去间断

判断

\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x^2-y^2}{x-y}

是否存在。

先观察原式在 $x=y$ 上没有定义，特别是在 $(1,1)$ 处分母为 $0$ 。但这并不直接说明极限不存在，因为极限不要求目标点本身有定义。

在 $x\ne y$ 时因式分解： $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$ ，所以原式可化为 $x+y$ 。

当 $(x,y)\to(1,1)$ 时， $x+y\to2$ 。因此原极限存在，值为 $2$ 。

如果把函数在 $(1,1)$ 处补定义为 $2$ ，它就在该点连续；如果补成别的数，极限仍是 $2$ ，但函数不连续。

例题：用路径证明不存在

判断

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}

是否存在。

沿 $x$ 轴，即 $y=0$ ，函数变成 $\frac{x^2}{x^2}=1$ 。

沿 $y$ 轴，即 $x=0$ ，函数变成 $\frac{-y^2}{y^2}=-1$ 。

两条路径都趋向原点，但函数值趋向不同结果，所以该极限不存在。

例题：用夹逼证明存在

证明

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0

先把绝对值写出： $\left|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right|=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}$ ，因为分子分母都非负。

利用 $x^2\le x^2+y^2$ ，得到 $\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1$ ，所以 $\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\le y^2$ 。

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $0\le \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\le y^2\to0$ 。

由夹逼定理，原极限为 $0$ 。

常见误区

把函数值当作极限

极限看的是靠近目标点时的趋势。函数在目标点可以没有定义，也可以被定义成一个和趋势不同的数。连续性才要求函数值和极限值相等。

只检查坐标轴

沿 $x$ 轴和 $y$ 轴结果相同，只说明两条特殊路径没有发现矛盾。很多反例正是沿坐标轴都给 $0$ ，沿 $y=x$ 或 $y=x^2$ 才暴露问题。

极坐标中忘记角度

把 $x,y$ 换成 $r,\theta$ 后，如果表达式仍然含有随 $\theta$ 任意变化的部分，就不能只说“ $r\to0$ 所以极限存在”。必须说明角度部分被统一控制。

看到分母为零就判不存在

分母在目标点为零，只说明函数在目标点可能没定义。经过因式分解、约分或其他化简后，极限仍可能存在。

练习

判断下列极限是否存在：

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{x^2+2y^2}

沿 $y=0$ 得到 $0$ 。沿 $y=x$ 得到

\frac{x^2}{x^2+2x^2}=\frac13

两条路径结果不同，所以极限不存在。

证明下列极限：

\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}=0

有

\left|\frac{x^3}{x^2+y^2}\right| =|x|\frac{x^2}{x^2+y^2} \le |x|

当 $(x,y)\to(0,0)$ 时， $|x|\to0$ 。由夹逼定理，原极限为 $0$ 。

判断函数

p(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0) \end{cases}

在原点是否连续。

当 $(x,y)\ne(0,0)$ 时，

p(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}

所以

\lim_{(x,y)\to(0,0)}p(x,y)=0

又因为 $p(0,0)=0$ ，极限值等于函数值，因此 $p$ 在原点连续。

q(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^2y}{x^4+y^2}, &(x,y)\ne(0,0),\\ 0, &(x,y)=(0,0) \end{cases}

判断 $q$ 在原点是否连续。

沿 $y=0$ ，有 $q(x,0)=0$ 。沿 $y=x^2$ ，有

q(x,x^2) =\frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4} =\frac12

极限不存在，所以 $q$ 在原点不连续。

找出函数

r(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{x-y}

的连续区域。

平方根要求

9-x^2-y^2\ge0

分母要求

x-y\ne0

因此连续区域是闭圆盘 $x^2+y^2\le9$ 中去掉直线 $x=y$ 的部分。