多变量函数、定义域、图像与等值线

单变量函数把一个数 $x$ 送到一个数 $f(x)$ 。多变量函数把一个点送到一个数。点可以在平面上，也可以在空间中；输出仍然可以是高度、温度、压力、成本、浓度或概率密度。

本章先不急着求导。我们先学会看见一个多变量函数：哪些输入点允许使用，输出落在哪些数值上，曲面怎样长出来，等值线怎样把三维信息压回平面。

二元函数把定义域中的输入点映射到输出数值

多变量函数把点变成数

二元函数通常写成 $z=f(x,y)$ 。它的输入不是一个数，而是一个有序对 $(x,y)$ 。如果 $(x,y)$ 在允许的输入集合中，函数就给出一个确定的数 $z$ 。

这个允许的输入集合叫定义域。所有可能输出值组成值域。

二元函数的定义域通常是平面中的一个区域，图像通常是三维空间中的一个曲面。三元函数 $F(x,y,z)$ 的定义域通常是空间中的一个区域，它的等值面 $F(x,y,z)=c$ 是我们观察它的主要方式。

一些常见对象可以直接用多变量函数表达：

地形高度： $h(x,y)$ 表示平面位置 $(x,y)$ 处的海拔。
金属板温度： $T(x,y)$ 表示薄板上点 $(x,y)$ 的温度。
空气压力： $P(x,y,z)$ 表示空间点 $(x,y,z)$ 处的压力。
生产成本： $C(x,y)$ 表示使用 $x$ 单位劳动和 $y$ 单位材料时的成本。

多变量函数有两层信息。第一层是“能不能代入”，也就是定义域；第二层是“代入后得到多少”，也就是函数值。很多题一上来就画曲面，其实应该先问：这个曲面从哪块区域上长出来？

定义域先决定能画哪里

如果题目没有额外指定定义域，我们通常取公式的自然定义域，也就是所有让公式有意义的输入点。常见限制来自三类地方。

二元函数定义域由根号、对数和分母限制共同决定

根号内不能为负。如果出现 $\sqrt{g(x,y)}$ ，就需要 $g(x,y)\ge 0$ 。

对数内必须为正。如果出现 $\ln g(x,y)$ ，就需要 $g(x,y)>0$ 。

分母不能为零。如果出现 $\dfrac{1}{g(x,y)}$ ，就需要 $g(x,y)\ne 0$ 。

这些条件要同时满足。定义域不是把几个区域随便画在一起，而是取它们的交集。

例题：求自然定义域

求函数

f(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{\ln(y+1)}

的自然定义域。

先看根号。根号内必须非负，所以需要

9-x^2-y^2\ge 0

这表示以原点为圆心、半径为 $3$ 的闭圆盘。

再看对数。 $\ln(y+1)$ 有意义要求

y+1>0

也就是 $y>-1$ 。

最后看分母。分母 $\ln(y+1)$ 不能为 $0$ 。因为 $\ln(y+1)=0$ 等价于 $y+1=1$ ，所以要排除

y=0

把三个条件同时保留，定义域为

D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9,\ y>-1,\ y\ne 0\}

它是半径 $3$ 的圆盘中位于直线 $y=-1$ 上方的部分，并且挖掉其中的直线段 $y=0$ 。

公式的自然定义域和题目指定的定义域不是一回事。比如 $f(x,y)=x+y$ 的自然定义域是整个平面，但题目可以只让它定义在三角形区域上。后续求最大值、积分或画图时，要以题目指定的定义域为准。

曲面图像把输出看成高度

二元函数 $z=f(x,y)$ 的图像是所有三维点 $(x,y,z)$ 组成的集合，其中 $z$ 必须等于 $f(x,y)$ ：

\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}

所以图像不是平面上的定义域本身，而是从定义域上方长出的曲面。

曲面图像由定义域上方的点组成

如果 $f(x,y)=x^2+y^2$ ，图像是一个向上开的碗。越远离原点，输出值越大；原点处高度最小。这个曲面能帮助我们看出值的大小，但定义域仍然在下面的 $xy$ 平面里。

例题：半球函数的定义域和值域

考虑

z=\sqrt{9-x^2-y^2}

上半球函数的定义域是圆盘，值域是从 0 到 3 的高度区间

先由根号得到定义域条件：

9-x^2-y^2\ge 0

也就是 $x^2+y^2\le 9$ 。定义域是半径为 $3$ 的闭圆盘。

因为平方根的输出非负，所以 $z\ge 0$ 。当 $x^2+y^2=9$ 时， $z=0$ ，这是圆盘边界对应的底边圆。

当 $x=y=0$ 时，根号内最大， $z=3$ 。因此值域为

0\le z\le 3

把 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 两边平方，可得

x^2+y^2+z^2=9,\quad z\ge 0

所以图像是半径为 $3$ 的上半球。

不能把 $x^2+y^2+z^2=9$ 直接说成这个函数的图像。完整球面不是函数 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 的图像，因为下半球上的点满足 $z<0$ ，不在平方根函数的输出中。

截痕用切片读曲面

曲面一次看不清时，可以切开看。固定一个变量，就把多变量问题暂时变成单变量问题。

固定 $x=a$ ，曲面与竖直平面 $x=a$ 的交线叫 $x$ 方向截痕。固定 $y=b$ 也类似。固定 $z=c$ 时，曲面与水平平面 $z=c$ 的交线投影到 $xy$ 平面上，就是等值线。

固定 x、固定 y 和固定 z 得到截痕与等值线

例题：从截痕识别曲面

设

f(x,y)=x^2+4y^2

观察它的几个截痕。

固定 $x=1$ ，得到

z=1+4y^2

这是 $yz$ 平面中开口向上的抛物线。

固定 $y=0$ ，得到

z=x^2

这是 $xz$ 平面中的抛物线。

固定 $z=4$ ，得到

x^2+4y^2=4

这是 $xy$ 平面中的椭圆。它表示所有函数值等于 $4$ 的输入点。

这些切片共同说明：曲面向上开，并且在 $y$ 方向上升得比 $x$ 方向更快，因为 $y^2$ 前面的系数更大。

等值线把高度压回平面

等值线是方程

f(x,y)=c

在 $xy$ 平面中的解集。等值线上的点函数值都相同。地图中的等高线、天气图中的等压线、温度图中的等温线，都是这种思想。

地形图中的等高线用线密和线疏表达变化快慢

看等值线时，先读数值，再读间距。相邻等值线代表相同的函数值差，如果两条线在平面上靠得很近，说明同样的高度差发生在较短距离内，变化较快；如果线隔得远，变化较慢。

沿着同一条等值线移动，函数值保持不变。要让函数值增加，就必须跨过等值线，走向标号更大的那一侧。

同一个函数的两条不同等值线不能相交。若某点同时在 $f(x,y)=c_1$ 和 $f(x,y)=c_2$ 上，就会要求同一个输入点有两个不同输出值。这和函数的定义矛盾，除非 $c_1=c_2$ 。

例题：画简单等值线

设

f(x,y)=4-x^2-y^2

求 $c=3,1,0$ 时的等值线。

写出等值线方程：

4-x^2-y^2=c

移项得到

x^2+y^2=4-c

只要 $4-c\ge 0$ ，等值线就是以原点为圆心的圆。

当 $c=3$ 时， $x^2+y^2=1$ ，半径为 $1$ 。当 $c=1$ 时，半径为 $\sqrt{3}$ 。当 $c=0$ 时，半径为 $2$ 。

越靠近原点，函数值越大。这和曲面 $z=4-x^2-y^2$ 是向下开的碗一致。

三元函数用等值面观察

三元函数 $F(x,y,z)$ 的输入已经在三维空间中，所以它的图像不能像 $z=f(x,y)$ 那样直接画成普通曲面。我们通常固定一个输出值 $c$ ，看方程

F(x,y,z)=c

所描述的空间曲面。这些曲面叫等值面。

三元函数的等值面是空间中函数值相同的曲面

例如，若

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

则 $F(x,y,z)=9$ 是半径为 $3$ 的球面。若

F(x,y,z)=x+y+z

则 $F(x,y,z)=1$ 是一个平面。

温度场也常用等值面观察。空间中所有温度等于 $20^\circ$ 的点，可以组成一个或多个曲面。它们不是物体边界，而是函数值相同的位置集合。

从图像读变化方向

这一章还不正式引入梯度，但已经能从图像读出一些变化信息。

曲面图告诉我们高度如何随位置变化。向上爬的方向通常是函数值增加的方向，向下走则是函数值减小的方向。

截痕告诉我们沿某一条直线或某一个平面切过去时，函数怎样变化。如果截线很陡，沿那个方向变化快；如果截线平缓，变化慢。

等值线告诉我们平面上哪些点有同一个函数值。沿等值线走，函数值不变；跨过等值线，函数值改变。等值线越密，同样的数值变化发生在越短的距离内。

读多变量函数图像时，可以按一个固定顺序：先看定义域，再看值域和极端值，再看截痕，最后看等值线的数值和间距。这个顺序能减少很多“图像好像看懂了，但题目条件漏掉了”的错误。

练习

练习一

求函数

f(x,y)=\sqrt{x-y}

的自然定义域，并说明边界是否包含在内。

根号内需要 $x-y\ge 0$ ，所以定义域为

\{(x,y)\mid x\ge y\}

它是直线 $x=y$ 一侧的闭半平面。边界 $x=y$ 包含在内，因为根号内等于 $0$ 时函数仍有意义。

练习二

求函数

g(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)

的自然定义域。

对数内必须大于 $0$ ，所以

4-x^2-y^2>0

即

x^2+y^2<4

定义域是半径为 $2$ 的开圆盘，边界不包含在内。

练习三

求函数

h(x,y)=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}

的自然定义域。

根号要求 $x+y\ge 0$ ，分母要求 $x-y\ne 0$ 。因此定义域为

\{(x,y)\mid x+y\ge 0,\ x\ne y\}

也就是直线 $x+y=0$ 一侧的闭半平面，再挖掉其中直线 $x=y$ 的部分。

练习四

设

f(x,y)=x^2+y^2

写出 $c=1,4,9$ 时的等值线，并说明它们在平面上的形状。

等值线方程是

x^2+y^2=c

当 $c=1,4,9$ 时，分别是以原点为圆心、半径为 $1,2,3$ 的圆。 $c$ 越大，圆越靠外。

练习五

设

f(x,y)=x^2-4y^2

固定 $x=2$ 和固定 $y=1$ 时，各得到什么截痕？

固定 $x=2$ ，得到

z=4-4y^2

这是关于 $y$ 的向下开抛物线。固定 $y=1$ ，得到

z=x^2-4

这是关于 $x$ 的向上开抛物线。两条截痕开口方向不同，说明原曲面具有鞍形特征。

练习六

设

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

描述等值面 $F(x,y,z)=1$ 和 $F(x,y,z)=4$ 。

$F(x,y,z)=1$ 是

x^2+y^2+z^2=1

它是半径为 $1$ 的球面。 $F(x,y,z)=4$ 是半径为 $2$ 的球面。两个等值面同心，较大的函数值对应更大的球面。

多变量函数、定义域、图像与等值线

二元函数把定义域中的输入点映射到输出数值

多变量函数把点变成数

二元函数通常写成 $z=f(x,y)$ 。它的输入不是一个数，而是一个有序对 $(x,y)$ 。如果 $(x,y)$ 在允许的输入集合中，函数就给出一个确定的数 $z$ 。

这个允许的输入集合叫定义域。所有可能输出值组成值域。

一些常见对象可以直接用多变量函数表达：

地形高度： $h(x,y)$ 表示平面位置 $(x,y)$ 处的海拔。
金属板温度： $T(x,y)$ 表示薄板上点 $(x,y)$ 的温度。
空气压力： $P(x,y,z)$ 表示空间点 $(x,y,z)$ 处的压力。
生产成本： $C(x,y)$ 表示使用 $x$ 单位劳动和 $y$ 单位材料时的成本。

定义域先决定能画哪里

如果题目没有额外指定定义域，我们通常取公式的自然定义域，也就是所有让公式有意义的输入点。常见限制来自三类地方。

二元函数定义域由根号、对数和分母限制共同决定

根号内不能为负。如果出现 $\sqrt{g(x,y)}$ ，就需要 $g(x,y)\ge 0$ 。

对数内必须为正。如果出现 $\ln g(x,y)$ ，就需要 $g(x,y)>0$ 。

分母不能为零。如果出现 $\dfrac{1}{g(x,y)}$ ，就需要 $g(x,y)\ne 0$ 。

这些条件要同时满足。定义域不是把几个区域随便画在一起，而是取它们的交集。

例题：求自然定义域

求函数

f(x,y)=\frac{\sqrt{9-x^2-y^2}}{\ln(y+1)}

的自然定义域。

先看根号。根号内必须非负，所以需要

9-x^2-y^2\ge 0

这表示以原点为圆心、半径为 $3$ 的闭圆盘。

再看对数。 $\ln(y+1)$ 有意义要求

y+1>0

也就是 $y>-1$ 。

最后看分母。分母 $\ln(y+1)$ 不能为 $0$ 。因为 $\ln(y+1)=0$ 等价于 $y+1=1$ ，所以要排除

y=0

把三个条件同时保留，定义域为

D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 9,\ y>-1,\ y\ne 0\}

它是半径 $3$ 的圆盘中位于直线 $y=-1$ 上方的部分，并且挖掉其中的直线段 $y=0$ 。

曲面图像把输出看成高度

二元函数 $z=f(x,y)$ 的图像是所有三维点 $(x,y,z)$ 组成的集合，其中 $z$ 必须等于 $f(x,y)$ ：

\{(x,y,z)\mid (x,y)\in D,\ z=f(x,y)\}

所以图像不是平面上的定义域本身，而是从定义域上方长出的曲面。

曲面图像由定义域上方的点组成

例题：半球函数的定义域和值域

考虑

z=\sqrt{9-x^2-y^2}

上半球函数的定义域是圆盘，值域是从 0 到 3 的高度区间

先由根号得到定义域条件：

9-x^2-y^2\ge 0

也就是 $x^2+y^2\le 9$ 。定义域是半径为 $3$ 的闭圆盘。

因为平方根的输出非负，所以 $z\ge 0$ 。当 $x^2+y^2=9$ 时， $z=0$ ，这是圆盘边界对应的底边圆。

当 $x=y=0$ 时，根号内最大， $z=3$ 。因此值域为

0\le z\le 3

把 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 两边平方，可得

x^2+y^2+z^2=9,\quad z\ge 0

所以图像是半径为 $3$ 的上半球。

不能把 $x^2+y^2+z^2=9$ 直接说成这个函数的图像。完整球面不是函数 $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ 的图像，因为下半球上的点满足 $z<0$ ，不在平方根函数的输出中。

截痕用切片读曲面

曲面一次看不清时，可以切开看。固定一个变量，就把多变量问题暂时变成单变量问题。

固定 x、固定 y 和固定 z 得到截痕与等值线

例题：从截痕识别曲面

设

f(x,y)=x^2+4y^2

观察它的几个截痕。

固定 $x=1$ ，得到

z=1+4y^2

这是 $yz$ 平面中开口向上的抛物线。

固定 $y=0$ ，得到

z=x^2

这是 $xz$ 平面中的抛物线。

固定 $z=4$ ，得到

x^2+4y^2=4

这是 $xy$ 平面中的椭圆。它表示所有函数值等于 $4$ 的输入点。

这些切片共同说明：曲面向上开，并且在 $y$ 方向上升得比 $x$ 方向更快，因为 $y^2$ 前面的系数更大。

等值线把高度压回平面

等值线是方程

f(x,y)=c

在 $xy$ 平面中的解集。等值线上的点函数值都相同。地图中的等高线、天气图中的等压线、温度图中的等温线，都是这种思想。

地形图中的等高线用线密和线疏表达变化快慢

沿着同一条等值线移动，函数值保持不变。要让函数值增加，就必须跨过等值线，走向标号更大的那一侧。

例题：画简单等值线

设

f(x,y)=4-x^2-y^2

求 $c=3,1,0$ 时的等值线。

写出等值线方程：

4-x^2-y^2=c

移项得到

x^2+y^2=4-c

只要 $4-c\ge 0$ ，等值线就是以原点为圆心的圆。

当 $c=3$ 时， $x^2+y^2=1$ ，半径为 $1$ 。当 $c=1$ 时，半径为 $\sqrt{3}$ 。当 $c=0$ 时，半径为 $2$ 。

越靠近原点，函数值越大。这和曲面 $z=4-x^2-y^2$ 是向下开的碗一致。

三元函数用等值面观察

三元函数 $F(x,y,z)$ 的输入已经在三维空间中，所以它的图像不能像 $z=f(x,y)$ 那样直接画成普通曲面。我们通常固定一个输出值 $c$ ，看方程

F(x,y,z)=c

所描述的空间曲面。这些曲面叫等值面。

三元函数的等值面是空间中函数值相同的曲面

例如，若

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

则 $F(x,y,z)=9$ 是半径为 $3$ 的球面。若

F(x,y,z)=x+y+z

则 $F(x,y,z)=1$ 是一个平面。

温度场也常用等值面观察。空间中所有温度等于 $20^\circ$ 的点，可以组成一个或多个曲面。它们不是物体边界，而是函数值相同的位置集合。

从图像读变化方向

这一章还不正式引入梯度，但已经能从图像读出一些变化信息。

曲面图告诉我们高度如何随位置变化。向上爬的方向通常是函数值增加的方向，向下走则是函数值减小的方向。

截痕告诉我们沿某一条直线或某一个平面切过去时，函数怎样变化。如果截线很陡，沿那个方向变化快；如果截线平缓，变化慢。

练习

练习一

求函数

f(x,y)=\sqrt{x-y}

的自然定义域，并说明边界是否包含在内。

根号内需要 $x-y\ge 0$ ，所以定义域为

\{(x,y)\mid x\ge y\}

它是直线 $x=y$ 一侧的闭半平面。边界 $x=y$ 包含在内，因为根号内等于 $0$ 时函数仍有意义。

练习二

求函数

g(x,y)=\ln(4-x^2-y^2)

的自然定义域。

对数内必须大于 $0$ ，所以

4-x^2-y^2>0

即

x^2+y^2<4

定义域是半径为 $2$ 的开圆盘，边界不包含在内。

练习三

求函数

h(x,y)=\frac{\sqrt{x+y}}{x-y}

的自然定义域。

根号要求 $x+y\ge 0$ ，分母要求 $x-y\ne 0$ 。因此定义域为

\{(x,y)\mid x+y\ge 0,\ x\ne y\}

也就是直线 $x+y=0$ 一侧的闭半平面，再挖掉其中直线 $x=y$ 的部分。

练习四

设

f(x,y)=x^2+y^2

写出 $c=1,4,9$ 时的等值线，并说明它们在平面上的形状。

等值线方程是

x^2+y^2=c

当 $c=1,4,9$ 时，分别是以原点为圆心、半径为 $1,2,3$ 的圆。 $c$ 越大，圆越靠外。

练习五

设

f(x,y)=x^2-4y^2

固定 $x=2$ 和固定 $y=1$ 时，各得到什么截痕？

固定 $x=2$ ，得到

z=4-4y^2

这是关于 $y$ 的向下开抛物线。固定 $y=1$ ，得到

z=x^2-4

这是关于 $x$ 的向上开抛物线。两条截痕开口方向不同，说明原曲面具有鞍形特征。

练习六

设

F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2

描述等值面 $F(x,y,z)=1$ 和 $F(x,y,z)=4$ 。

$F(x,y,z)=1$ 是

x^2+y^2+z^2=1

它是半径为 $1$ 的球面。 $F(x,y,z)=4$ 是半径为 $2$ 的球面。两个等值面同心，较大的函数值对应更大的球面。